Bài giảng môn toán lớp 12 - Vấn đề 2: Phương trình mặt phẳng

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
Ví dụ: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm A(-1,3,-2) vµ nhËn lµm VTPT.
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm và song song hoặc chứa giá của hai vectơ .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là 
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp(P): .
Ví dụ: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và song song với cặp véctơ 
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp: 
Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: 
, với .
Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và 
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
Ví dụ: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(-1,3,-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ: Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc, vôùi: M(1;-2;4), d: 
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Pt(P): 
Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 1) , B (-1; 1; -2) , C(1; - 2; 3)
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ : Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua hai ñieåm A, B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (b) cho tröôùc, vôùi: 
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 6: 
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp: 
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ : Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø chöùa ñöôøng thaúng d
M(0; 1; 3), d:
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp: 
Gọi I là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết: A(2;1;1), B(2;-1;-1)
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ : Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (b), (g) cho tröôùc, vôùi: 
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng 
TH1 : cắt 
TH2 : song song 
TH3 : 
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp: 
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Ptmp(P): 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S).
r = d(I,(P))
I
P)
Phương pháp: 
Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
 Vì mp(P) có VTPT .
Do mp(P) tiếp xúc mc(S) 
Chú ý: .
Chú ý: Các kết quả thường dùng:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Vấn đề 5: Khoảng cách:
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là
Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d:
Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp của d . 
ADCT: 
Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :
Trước tiên ta xác định: 
1 có vtcp và đi qua điểm M1
2 có vtcp và đi qua điểm M2
d(1;2) = 0