Bài giảng môn toán lớp 6 - 5 Bài toán vui về cấp số nhân

5 Bài toán vui về cấp số nhân
Ta thấy trong dãy số này: {3, 6, 12, 24, 48} thì số sau luôn gấp đôi số trước. Người ta gọi dãy số có tính chất như trên là cấp số nhân, nghĩa là dãy số có tỷ số giữa hai số liên tiếp là một hằng số. thí dụ : 6/3 =2; 12/6 = 2.48/24 = 2 
 Tỷ số này được gọi là công bội của cấp số nhân (ở dãy số này công bội là 2).
 Các phần tử của cấp số nhân còn được gọi là các số hạng. 
Nếu a là số hạng thứ nhất của cấp số nhân và b là công bội thì các số hạng tiếp theo lần lượt là: 
 a × b, a × b2, a × b3,... 
 Như thế, nếu n là một số tự nhiên khác 0 thì số hạng thứ n của cấp số nhân là
 a × b(n - 1). 
Bởi vậy sự thay đổi của cấp số nhân phụ thuộc vào số hạng thứ nhất và công bội. 
Một tính chất đặc trưng của cấp số nhân là bình phương của một số hạng trong dãy số (tức tích của số đó với chính nó) bằng tích của hai số xung quanh nó. Chẳng hạn, trong dãy số trên thì :
 6 × 6 = 3 × 12, 12 × 12 = 6 × 24...
Để tìm hiểu thêm về cấp số nhân, ta cùng làm vài bài toán sau.
 Bài toán 1. Từ một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 3 và công bội là 2. Kí hiệu 
 P {3, 6, 12, 24, 48}
 a) Viết 6 số hạng đầu tiên.
 b) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên.
 c) Viết công thức tổng quát cho số hạng thứ n.
 d) Tính tổng S của 100 số hạng đầu tiên.
 Bài giải.
 a) 6 số hạng đầu tiên là 3, 6, 12, 24, 48, 96.
 b) Tổng của 6 số hạng đầu tiên là 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
 c) Công thức tổng quát cho số hạng thứ n là : 3 × 2(n - 1).
 d) S = 3 + 6 + 12 +... + 3 × 299. 
 2S = 6 + 12 + 24 +... + 3 × 2100. 
 2S - S = 3 × 2^100 - 3. à Từ đó S = 3 × (2100 - 1).
Một điều thú vị là các khổ giấy thông dụng theo chuẩn quốc tế EN iso 216 do Viện tiêu chuẩn Đức ban hành từ năm 1922 (theo hình vẽ) có chiều dài các cạnh (đơn vị là mm) theo thứ tự là 
 1189, 841, 594, 420, 297, 210, 148, 105, 74, 52, 37, 26, 18, 13, 9... thì tỷ lệ của chiều dài và chiều rộng của mỗi hình chữ nhật đem nhân với chính nó (tức bình phương) luôn xấp xỉ bằng 2. Nghĩa là dãy số trên là cấp số nhân. Chẳng hạn, với khổ giấy A4 là 29,7 × 21 cm ta có kết quả của 29,7 × 29,7 : 21 × 21 làm tròn là 2,00020.
 Tìm hiểu về cấp số nhân, ta thường tìm cách cộng nhiều số liên tiếp. Chẳng hạn, nếu đem chia 1 cho 3 thì ta được số vô hạn 0,333... Đem số này viết thành tổng của các số là 0,3 + 0,03 + 0,003 +... Ta thấy đây là một cấp số nhân với số hạng thứ nhất là 0,3 và công bội là 0,1 (như 0,3 × 0,1 = 0,03; 0,03 × 0,1 = 0,003...). 
Bài toán 2. 
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ năm thứ tự là 10, 1250.
 a) Tìm số hạng thứ nhất.
 b) Viết 6 số hạng đầu tiên.
 Bài giải.
 a) Gọi r là công bội của cấp số nhân. Tỷ số của số thứ năm với số thứ hai là
 r (5 - 2) = r^3 hay r^3 = 1250 : 10 = 125 = 5^3. 
 à Từ đó r = 5. è Số thứ nhất là 10 : 5 = 2.
 b) 6 số hạng đầu tiên là : 2, 10, 50, 250, 1250, 6250. 
 Bài toán 3. Tìm một cấp số nhân có 4 số hạng biết tổng của hai số hạng đầu bằng 15 và tổng hai số hạng cuối bằng 60. 
 Bài giải. 
 Gọi r là công bội của cấp số nhân. Số hạng thứ ba và số hạng thứ tư tương ứng gấp số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai là r^2.
 Từ đó r^2 = 60 : 15 = 4. à Vậy r = 2.
 Gọi a là số hạng thứ nhất. Số hạng thứ hai là 2a. 
 à Từ đó a + 2a = 15 hay 3a = 15. è Từ đó a = 5.
 è Cấp số nhân là 5, 10, 20, 40.
 Bài tập thực hành: 
Bài 4 :
Giả sử một hồ sen, cứ sau một ngày mỗi một lá sen sẽ sinh ra 1 lá sen mới. Biết ban đầu hồ có 7 lá sen, hỏi sau 5 ngày thì có bao nhiêu lá sen (giả thiết khi đó chưa lá sen nào bị tàn). 
Gợi ý
Coi số hạng thứ nhất là 7
Công bội = 2
Bài 5:
Một người có 1 thông tin “mật”, nhưng sau 1 giờ người đó nói cho 2 người bạn thân biết. Cứ thế theo cách lan truyền “cấp số nhân” tin ấy. Hỏi sau 5 giờ và sau 12 giờ có bao nhiêu người biết thông tin “mật” đó ?
Gợi ý : Xem sơ đồ dưới đây và áp dụng công thức để tính
PHH sưu tầm và chỉnh lí 4- 2014 ----- Nguồn TK tạp chí Toán Tuổi thơ,