Bài giảng môn Toán lớp 6 - Mặt cầu

MẶT CẦU
1. C/mr: Tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
2. Cho DABC ^ tại B, đoạn DA vuông góc với (ABC) 
a) Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính bán kính của mặt cầu nói trên.
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = b. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
HD: Gọi S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh DABC tại A’, B’, C’. Gọi I là hình chiếu của O trên (ABC) Þ IA’ = IB’ = IC’ Þ I là tâm của đường tròn (c) nội tiếp DABC Þ O Ỵ D trục của (c) . Ngược lại lấy " O Ỵ D Þ S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh DABC tại A’, B’, C’ có R = OA’với A’, B’, C’ Ỵ (c) . Vậy: có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác có tâm nằm trên D trục của đường tròn nội tiếp DABC.
4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a, b, c.
b) C/mr: O, I và trọng tâm DABC là ba điểm thẳng hàng.
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm I của trung trực cạnh OA và trục d của đáy (d qua trung điểm M cạnh BC và // OA) R = . Gọi G = AM Ç OI . Vì AO // IM Þ . Þ G là trọng tâm DABC.
5. Ba cạnh của một tam giác có độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu có bán kính 5 tiếp xúc với ba cạnh tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính k/cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
LG: Gọi (c) là đường tròn nội tiếp DABC có r = 4. Xét DOIA’ ^ tại I Þ OI = 3.
6. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt (P) tại A và B . C/mr: .
HD: DAMB = DAIB Þ 
7. C/mr: Nếu có một mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau.
HD: Gọi M, N, P, Q, E, F là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh tứ diện . Dùng đlí 2 Þ ĐPCM
8. Một hình tứ diện có các cạnh đối bằng nhau. C/mr: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là trọng tâm của tứ diện và cách đều bốn mặt của tứ diện.
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD là giao điểm I của trung trực cạnh bên và trục của đáy Þ R = a.
9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD)
a) C/mr: H là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD. Tính AH.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Gọi K là trung điểm AH. C/mr: KB, KC, KD đôi một vuông góc .
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao điểm của trung trực cạnh bên và trục của đáy AH = , R = , KB = KC = KD = Þ KB2 + KC2 = BC2 Þ KB ^ KB.
10. Cho DABC cân có và đường cao AH = . Trên đường thẳng d ^ (ABC) tại A lấy 2 điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho DIBC đều và DJBC vuông cân.
a) Tính các cạnh của DABC.
b) Tính AI, AJ và C/mr: DBIJ,DCIJ là các tam giác vuông.
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
HD: a) DABC cân tại A Þ H là trung điểm BC Þ AB = AC = , BC = 
b) IB = IC = BC Þ IA = 4a, JB = JC = Þ JA = 2a, 
c) · Ta có Þ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC có đường kính IJ Þ R = 3a.
 · Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp DABC (d // IJ). Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao điểm O của d và trung trực OM của đoạn IA (M Ỵ IA) Þ OM = AK = (AK là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC)