Bài giảng môn toán lớp 6 - Phần 1: Góc với đường tròn

Hình 2
Hình 1
ÔN TẬP HÌNH HỌC
PHẦN 1: 	GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
I/ HỆ THỐNG KIẾN THỨC:
1/ Góc ở tâm: Góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC của đường tròn tâm O (Nêu cách vẽ góc ở tâm)
Tính chất: = sđ (Phát biểu bằng lời)
 2/ Góc nội tiếp: Góc EDF là góc nội tiếp chắn cung nhỏ EF 
đường tròn tâm O (Nêu cách vẽ góc nội tiếp)
Hình 3
Tính chất: sđ (Phát biểu bằng lời)
Hình 4
Hệ quả: Trong một đường tròn:
2.1.Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
2.2.Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau và ngược lại.
2.3.Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
2.4.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 900
3/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Góc NMx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến
Và dây cung chắn cung nhỏ MN của đường tròn tâm O
Hình 5
Tính chất : sđ (phát biểu bằng lời)
Hệ quả: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
4/ Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Hình 6
a/ Góc SER là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung nhỏ SR và PQ
Tính chất: (phát biểu bằng lời)
b/ Góc KDH là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung nhỏ RE và
KH của đường tròn tâm O
Hình 7
Tính chất: 
II/ BÀI TẬP:
1.Dạng bài tập chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến của đường tròn.
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: Ta cần chứng minh
1. Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc 900 
2.Một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng.
3.Trực tâm của một tam giác 
4.Các đường đặc biệt (đường cao, trung trực,phân giác, trung tuyến) trong tam giác cân xuất phát từ đỉnh cân.
5.Hai đường chéo của hình thoi, hình vuông
6.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.
*Chú ý: Để chứng minh tiếp tuyến của đường tròn ta cần chỉ ra đường thẳng và đường tròn chung nhau một điểm và chứng minh đường thẳng vuông góc với đường tròn. 
Bài tập 1:Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC với O thuộc BC , M đối xứng với A qua O.CMR:AB vuông góc với BM
Từ đó suy ra tứ giác ABMC là hình chữ nhật.
Bài tập 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , AD là đường kính CE là dây song song với BD, đường cao AH cắt CE tại M. Chứng minh rằng:
a/BM vuông AC b/ Tứ giác MBDC là hình bình hành. 
(Gợi ý câu a: Chứng minh M là trực tâm của tam giác ABC)
Bài tập 3: Cho đường tròn (O) AB là đường kính, BC là dây , Tiếp tuyến tại B cắt AC tại M. Gọi điểm N là trung điểm của AM.
Chứng minh rằng: a/ ON vuông góc với AB. (Gợi ý: Chứng minh đt vuông góc với một trong hai đt song song) 
b/Tam giác ANO đồng dạng với tam giác BMC
Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD và BC cắt nhau tại tại E, AB cắt DC tại F. Phân giác góc AFC cắt BC , AD tại H và K và phân giác góc AEB tại M. CMR : EM vuông góc với KH (Gợi ý: Dùng tính chất tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp và tính chất góc ngoài của tam giác để chứng minh tam giác EKH cân )
Bài tập 5: Cho hai đường trịn tâm O và tâm O’ tiếp xúc nhau tại A. Kẻ đường kính AOB và AO’C, tiếp tuyến chung DE của hai đường trịn với D thuộc (O) và E thuộc (O’). Chứng minh rằng:
a/ AD vuơng gĩc với AE b/ BD vuơng gĩc với CE 
 ( Gợi ý : Câu a. Kẻ đường phụ là hai bán kính, dùng tính chất hai gĩc trong của hai đường thẳng song song để tính tổng hai gĩc)
Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD , BE cắt nhau tại H vẽ đường trịn (O;AH/2) . Chứng minh rằng:
DE là tiếp tuyến của (O) (Gợi ý: Chứng minh tứ giác nội tiếp, tìm các gĩc bằng nhau dự vào tam giác cân tính gĩc OED bằng 900)
Bài tập 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB, lấy điểm M thuộc (O) . Gọi N là điểm đối xứng với A qua M , BN Cắt (O ) tại C, AC giao BM tại E , F đối xứng với E qua M : Chứng minh rằng: 
a/ NE vuơng gĩc với AB 	b/ FA là tiếp tuyến của (O) (Gọi ý: Chứng minh AFNE là HBH)
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TỐN CHỨNG MINH KHÁC
I/ Dạng bài tập chứng minh hai gĩc bằng nhau: PHƯƠNG PHÁP: Hai gĩc bằng nhau suy ra từ: (Cần chứng minh)
Hai tam giác bằng nhau.
Cặp gĩc so le trong, đồng vị của hai đường thẳng song song
Hai gĩc đáy của tam giác cân.
Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung, chắn các cung bắng nhau, gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung.
Các gĩc cùng phụ (tổng số đo 900) hoặc cùng bù (tổng số đo 1800) với một gĩc.
II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Hai đường cao BH, CK cắt nhau tại G . CMR:
a/Tứ giác BKHC nội tiếp đường trịn xác định tâm và bán kính của đường trịn đĩ
b/ Gĩc AKH bằng gĩc ACB(Gợi ý: dùng tính chất hai gĩc đối của tứ giác nội tiếp,CM hai gĩc cùng bù một gĩc) 
c/ Tam giác BGC đồng dạng với tam giác KGH
Bài tập 2: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường trịn (O) vẽ đường cao AD và đường kính AOE
 a/ CMR: Hai tam giác ABE và ADC đồng dạng 
b/Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , AD kéo dài cắt (O ) ở F 
 1/ CMR: Gĩc HBC bằng gĩc DBF 2/ BFEC là hình thang cân
(Gợi ý: câub1: CM hai gĩc cùng phụ với hai gĩc bằng nhau là ACB và AFB. Câub2 CM: EC song song BH)
Bài tập 3: Cho đường trịn tâm O bán kính R cĩ hai đường kính AB , CD vuơng gĩc với nhau. Lấy điểm E trên đoạn OA sao cho OE = 2/3 OA , đường thẳng CE cắt đường trịn tâm O ở M 
1/ Chứng minh tứ giác OEMD nội tiếp . Tính bán kính đường trịn đĩ theo R
2/Trên tia đối của tia MC lấy điểm F sao cho MF = MD, AM cắt DF ở I .Chứng minh hai gĩc DMI và IMF bằng nhau.
 Bài tập 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O). Các đường cao AD, BP, CK cắt nhau tại H. 
 1.Chứng minh gĩc HAB bằng gĩc OAC.(Gợi ý: Quan hệ giữa gĩc nội tiếp ABC và gĩc ở tâm AOC) 
 2.Gọi E,M tương ứng là trung điểm của AH và BC. Chứng minh rằng tứ giác KEPM là tứ giác nội tiếp được. 
 (Gợi ý: Dùng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuơng với các tam giác AKH,APH,KBC,PBC và tứ giác AKHP nội tiếp)
 Bài tập 5: Cho đường trịn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường trịn (O), (A khác B,C). Tia phân giác của gĩc ACB cắt đường trịn (O) tại điểm D khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường trịn (O) tại điểm K khác điểm B. 
 a.Chứng minh tam giác KAC cân. (Gợi ý: Dùng tính gĩc nội tiếp và gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn)
 b.Chứng minh đường thẳng AI luơn đi qua 1 điểm J cố định. (Gợi ý: Dùng tính chất đường phân giác trong tam giác)
Bài tập 6: Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Một dây CD cắt AB tại E . Một tiếp tuyến d tiếp xúc với đường trịn tại B cắt các tia AC;AD tại M và N. Chứng minh rằng:
a/Hai tam giác ABC và ABM đồng dạng 
b/ AC.AM = AD.AN (Gợi ý : Dùng quan hệ giữa đường cao, hình chiếu và cạnh huyền trong tam giác vuơng)
c/ Tiếp tuyến tại C cắt d tại I. Chứng minh I là trung điểm của BM (Gợi ý: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
d/ Xác định vị trí của dây CD sao cho tam giác AMN là tam giác đều. (Gợi ý: góc BCD = 300 suy ra góc DCA = 600)
d/ Xác định vị trí của dây CD sao cho tam giác AMN là tam giác đều. (Gợi ý: góc BCD = 300 suy ra góc DCA = 600)
 Bài tập 7: Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn , M là trung điểm cạnh BC , AD là đường cao. Gọi E,F lần lược là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a/ Chứng minh : Góc EDC và góc BAE bằng nhau.(Gợi ý: CM tứ giác ABDE nội tiếp, CM các góc cùng bù một góc)
b/Chứng minh : DE vuông góc với AC (Gợi ý:CM tổng hai góc bằng 900 ,có dùng kết quả của câu a)
MN là đường trung trực của DE với N là trung điểm của AB (Gợi ý:CM tam giác EDN cân và MN vuông góc DE )
c/ Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. (Gợi ý : Gọi P là trung điểm của BC chứng minh M là tâm )
Bài tập 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D , Hai dây PC, PD lần lược cắt dây AB ở E và F.
a/ Chứng minh: Hai góc FDE và FCE bằng nhau (Gợi ý: CM CEFD nội tiếp dùng tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)
b/Các đường thẳng AD và PC cắt nhau ở I , BC và PD cắt nhau ở K. Chứng minh 4 điểm C,D,I,K cùng nằm trên một đường tròn.(Gợi ý:CM: hai góc CKD và CID bằng nhau dựa vào hai tam giác KPC và IPD)
c/ CM: IK song song với BA (Gợi ý: CM hai góc KID và BAD bằng nhau dựa vào tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Bài tập 9: Cho đường tròn tâm O , AB là một dây của đường tròn , C là điểm nằm ngoài (O) và C nằm trên tia AB. Từ điểm P là điểm chính giữa của cung lớn AB ta kẻ đường kính PQ cắt dây AB tại D , CP cắt (O) tại I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K .Chứng minh rằng a/CI,CP = CK.CD
b/Giả sử A,B,C cố định , đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua A,B . Chứng minh rằng QI luôn đi qua điểm cố định
(Gợi ý: CM IQ đi qua K là trực tâm của tam giác CQP) 
Bài tập 10:Cho đường tròn tâm O đường kính AB , gọi K là điểm chính giữa của cung AB , M là điểm di động trên cung nhỏ AK (M khác A và K) . Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN = AM.
a/ Chứng minh hai góc AMK và BNK bằng nhau.
b/ Chứng minh tam giác MNK vuông cân (Gợi ý: Dùng đến góc nội tiếp AKB)
c/ Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D . Chứng minh MK là đường phân giác góc DMN (Gợi ý: Góc BMK bằng 450 và BMA nội tiếp chắn nửa đường tròn)
d/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định (Gợi ý : Kéo dài AK cắt đường thẳng đó tại E, tứ giác BEKN nội tiếp CM tam giác ABE vuông cân)
Bài tập 11: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở D và AC ở E (D và E khác A)
Chứng minh : D, H, E thẳng hàng
Chứng minh hai góc MAE và ADE bằng nhau (Gợi ý: Dùng tính chất các góc tam giác vuông và tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
CM : AM vuông góc với DE
Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì? (Gợi ý: O là giao điểm các đường trung trực của BC và DE)
Cho và AH = a . Tính diện tích tam giác HEC (Gợi ý: Kẻ HK vuông góc AC, tính Ac theo a, tam giác HEA đều tính HK)
2
1
1
2
A
B
II/ Dạng bài tập chứng minh hai đường thẳng song song: PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta cần chứng minh:
1.Một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo thành các cặp góc so le trong , đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau.
2. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng
3.Hai cạnh đối của tứ giác đặc biệt (hình bình hành,hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật) 
G
F
D
E
H1
4.Đường trung bình của tam giác , hình thang
a
b
c
5. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng.
D
B
C
A
H4
H2
H5
H3
Bài tập 1: Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A .Trên d lấy đoạn AC = R từ C vẽ tiếp tuyến CD đến (O) . Gọi AB là đường kính. 
a/ Tứ giác ABCD là hình gì? D là điểm đặc biệt gì trên cung AB
b/ Chứng minh CO song song với BD
Bài tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B vẽ đường kính AOD và AO’C . CMR
a/ OO’ song song với CD b/ ba điểm D,B,C thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H . Phân giác trong góc A cắt đường tròn (O) tại M kẻ đường cao AK của tam giác . Chứng minh rằng 
a/ AK song song với OM
b/ AM là tia phân giác góc HAO từ đó suy ra hai góc BAH và OAC bằng nhau (Gợi ý : Chứng minh hai góc KAM và MAO bằng nhau)
c/ AH = 2ON (Gợi ý: Kẻ OE vuông góc với AC chứng minh hai tam giác AHB và NOE đồng dạng)	
Bài tập 4: Cho đường tròn tâm (O) dây BC cố định (BC<2R) và điểm A nằm trên cung lớn BC (A không trùng với B,C và điểm chính giữa của cung BC ) .Gọi H là hình chiếu của A trên BC , E và F lần lược là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’, AA’ và BC cắt nhau tại G , AH cắt CF tại K. chứng minh rằng:
a/ GK song song với A’C b/ GK song song với EH (Gợi ý: Chứng minh EH song song với A’C bằng cách CM BAHE nội tiếp suy ra các cặp góc bằng nhau)
c/ Chứng minh HE.BC = AB.EF (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác HEF và ABC đồng dạng bằng cách CM tứ giác BAHE và AFHC đồng dạng )
d/ Khi A di chuyển CM: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định (Gợi ý: Gọi các trung điểm của AB,AC,BC dựa vào các đường trung bình để chứng minh tâm là trung điểm của BC)
Bài tập 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC , Góc A bằng 900), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tương ứng BC,CA,AB. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao điểm của MC,IH.
a/ Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác góc HMK (Gợi ý: Dựa vào góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện của các tứ giác nội tiếp)
c/ Chứng minh PQ song song với BC (Gợi ý: Chứng minh tứ giác QMPI nội tiếp bằng cách tính góc QMP bằng 1350 và góc HIP bằng 450)
III/ Dạng bài tập chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta cần chứng minh: (Được suy ra từ)
1.Hai tam giác bằng nhau
2. Hai cạnh bên tam giác cân, hình thang cân,tam giác đều.
3. Hai cạnh đối của tứ giác đặc biệt (hình bình hành,hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật)	
4. Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.
5.Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng.
6. Hai bán kính của đường tròn, hai tiếp tuyến cắt nhau 
IV/ Bài tập áp dụng:
Bài tập 1:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm (O;R) đường kính AI, M thuộc đoạn AB. Trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho MB = CN . Chứng minh rằng 
 a/ IN = IM từ đó suy ra hai tam giác BMI và CNI bằng nhau. (Gợi ý: Dùng định lý Pytago)
b/ Tứ giác AMIN nội tiếp
c/ Tính diện tích phần đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABIC
d/ MN cắt BC tại K chứng minh rằng IK vuông góc với MN (Gợi ý: Chứng minh tứ giác MBIN nội tiếp bằng cách chứng minh hai góc nhìn một cạnh với số đo không đổi)