Bài giảng Một số dạng bài tập về số chính phương

Ngày soạn: 12/02/2008	TUẦN 22	 Ngày dạy: 14/02/2008
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 7, 8: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
 	I/ MỤC TIÊU:
 	1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
 	2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giải một số dạng toán có liên quan.
 	3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

 	II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước)
 	1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
 	2/ Một số tính chất của số chính phương:
 	3/ Nhận biết một số chính phương: 
 	4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
	(a b)2 = a2 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)
 	III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP
BÀI GIẢI
Bài 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là 
 (với a, b, c, d nguyên; và 1 a 9; 0 b, c, d 9)
 là số chính phương => d = 0; 1; 4; 5; 6; 9
d nguyên tố => d = 5
Đặt = k2 32 k 100
k là một số có 2 chữ số mà d = 5 nên k cũng có chữ số tận cùng là 5. Tổng các chữ số của k là một số chính phương; nên k = 45; và = 2025. Vậy số phải tìm là 2025
Bài 2: Tìm một số chính phương có 4 chữ số mà 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
Số phải tìm có dạng với a, b N và 1 a 9; 0 b 9
=> = k2, k N; 32 k < 100
=> 11(100a + b) = k2. Do đó: k2 11 => k = 11t
=> 100a + b = 11t2; với 3 t 9 (1)
=> a + b 11 (2)
Với a, b N; 1 a 9; 0 b 9, ta có: 1 a + b 18 (3)
Từ (2) và (3) => a + b = 11; Nên từ (1) => 9a + 1 = t2
 t2 – 1 = 9a (4)
=> t2 – 1 9 => (t – 1)(t + 1) 3
Vì (t + 1) – (t – 1) = 2 nên t + 1 và t – 1 không đồng thời chia hết cho 3
a/ Nếu t + 1 3 thì (4) => t + 1 9, mà 3 t 9 => t + 1 = 9
=> t = 8 => a = 7 => b = 4. Suy ra = 7744
b/ Nếu t – 1 3 thì (4) => t – 1 9; (loại)
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho 3 chữ số đầu hoặc cuối giống nhau. 
1/ Giả sử là một số chính phương 
Nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ thì chữ số hàng chục là số chẵn, do đó b không thể lẻ. Mặt khác chính phương thì b chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; 9. Do đó b = 0, 4, 6
Nếu b = 0 => không chính phương
Nếu b = 4 => chính phương khi a = 1 
Nếu b = 6 => không chính phương
Do đó ta có số 1444 là số chính phương.
2/ Không có số chính phương nào có dạng 
Bài 4: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số, biết rằng số có 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Đặt = k2, ta có – = 1; và k N, 32 k < 100
Suy ra: 101 = k2 – 100 = (k + 10)(k – 10)
=> (k + 10) 101 hoặc k – 10 101
Mà (k – 10, 101) = 1 => (k + 10) 101 và 42 k + 10 < 110
Do đó: => = 81; k = 91
Vậy = 8281 = 912. Số phải tìm là số 8281
Bài 5: Tìm một số chính phương có 3 chữ số và chia hết cho 56
Gọi số phải tìm là với a, b, c N và 1 a 9; 0 b, c 9. Theo giả thiết ta có: => k2 = 56l = 1.14l
=> l = 14q2; q N (1)
Mặt khác ta lại có: 100 56l 999 => 2 l 17 (2)
Từ (1) và (2), ta có: q = 1 => l = 14
Vậy số chính phương phải tìm là 784
Bài 6: Cho 1 số tự nhiên n sao cho 2n = a2 + b2. Chứng tỏ a và b cùng tính chất n cũng là tổng của 2 số chính phương.
Từ 2n = a2 + b2 => a2 + b2 2 => a2 và b2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Hay a và b cùng tính chất chẵn lẻ.
Suy ra a + b và a – b đều chẵn ( giả sử a > b > 0)
Đặt a + b = 2x và a – b = 2y; với x, y Z
Suy ra a = x + y và b = x – y 
Do đó 2n = 2(x2 + y2). Vậy n = x2 + y2
Bài 7: Tìm những số tự nhiên A sao cho A chia cho 359 thì có số dư bằng số thương. Có số A nào là số chính phương nhỏ nhất không? Có bao nhiêu số A chính phương?
Đặt A = 359.q + r (q, r N; q = r < 359)
Vì q = r nên A = 360.q
* A 35 => 360q 35 => q 7. Vì A nhỏ nhất nên q = 7. 
Ta có A = 2520
* A = n2 (n N) => 360q = n2 => q = 10m2 (n Z) 
=> q = 10 (A nhỏ nhất). Ta có A = 3600
* A = 360q = e2 => q = 10t2 (t, e N). 
Suy ra có 5 số như vậy (vì q < 359): 3600; 14400; 32400; 57600; 90000

 	IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: