Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
(Với lần lượt là các véc tơ chi phương của 2 đường thẳng)
Khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì vận dụng các kiến thức đã biết trong hình học phẳng
Dùng định lý về ba đường vuông góc
2) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng
3) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
4) Cách tính góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
Cách 1:
+ Lấy O tùy ý. Qua O vẽ a’//a và b’//b
+ 
Cách 2:
Tìm lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b. Khi đó: .
5) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
. Để tìm ta lấy tùy ý điểm , dựng tại H , suy ra 
6) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng 
 trong đó: 
7) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
(Tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng)
Cách giải: 
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
+ Xác định .
+ Dựngsuy ra MH là đoạn cần tìm.
8) Cách tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Khi 
Khi với 
9) Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Khi 
Khi 
với 
10) Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
a) 
b) với 
c) Trường hợp a và b chéo nhau: 
Cách 1:Dựng thì:
Cách 2: Dựng 
Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cần chú ý các trường hợp sau:
a) Khi 
+ Dựng tại H
+ Trong (P) dựng tại K.
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b
b) Khi a và b không vuông góc:
+ Dựng .
+ Dựng , bằng cách lấy 
+ Dựng đoạn tại N, lúc đó a’ là 
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi , dựng 
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có . 
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải: Gọi I, J thứ tự là trung điểm của AB và CD 
Vì AB = AC nên ACD là tam giác cân đỉnh A A J ⊥ CD .
Tương tự BJ⊥ CD 
 CD ⊥ (ABJ) .
Do AJ = BJ
BJA là tam giác cânJI⊥AB 
JI là đọan vuông góc chung của AB với CD.
A
B
C
D
J
I
JAD có (1)
JAI có (do 1). 
Vậy 
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy 
 b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc. Tính khoảng cách giữa chúng ?
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (A'B'C') thì H là trung điểm của B'C'.
Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH(A'B'C') do đó AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. 
Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam giác AHA' có .
A
B
C
A'
B'
C'
H
K
b) Kẻ KH vuông góc với AA’ thì HK là đoạn vuông góc chung của AA' và B'C' .
Dùng định lý Pitago trong tam giác vuông AKH (vuông tại K) ta tính được KH
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'. 
Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') và (ACD') chứa hai cạnh BC' và CD'
do (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách giữa BC' và CD' chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng ((A'BC') với (ACD').
Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a Vậy B'D là trục của hai mặt phằng trên.
Hai mặt phẳng trên chia đường chéo B'D thành ba phần bằng nhau. Với B'D=
C'
A
B
C
D
A'
D'
B'
O'
O
I
K
Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông 
Þ Þ các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều. Ta có: 
Ta có: 
Dựng 
Vì 
A’FD vuông có: 
Vậy, 
A/
B/
C/
C
B
A
H
D
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông 
Þ 
Þ các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều.
Ta có: 
Ta có: 
Dựng 
Vì 
A/FD vuông có: 
Vậy, 
B/
C
B
A
H
F
D
Bài 6: Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = và đường cao . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Giải: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình)
Þ OM // (ABN)Þ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Dựng 
Ta có: 
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
Vậy, 
A
C
N
O
M
B
K
H
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a 
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.
Giải: Gọi M là trung điểm của BC 
 (DABC vuông cân)
Ta có: .
Suy ra: 
Dựng và 
 là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).
 cân tại I.
G
M
C
S
I
A
B
Ta có: 
Vậy, 
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng , SA vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.
Giải: Gọi M là trung điểm của BF Þ EM // AF
SAE vuông tại A có: 	
C
S
F
M
B
E
K
H
A
Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong SBF có: 
Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF. Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:
Dựng Ta có: và 
Vì 
SAK vuông có: 
Vậy, .
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Giải: Gọi H là trung điểm của BC.
Do S.ABC đều và ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao là trực tâm O của ABC và có SBC cân tại S.
suy ra: nên .
Ta có: 
 vuông góc: 
 và 
Thể tích hình chóp S.ABC: 
S
A
O
B
H
C
j
Diện tích SBC: 
Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).
Giải: Bốn tam giác vuông:
 bằng nhau (c.g.c)
 là hình thoi.
Hai hình chóp B’.A’MCN và B’.A’NC có chung 
đường cao vẽ từ đỉnh B/ và 
nên: 
D/
A/
B/
C/
D
A
B
C
M
N
Mà: 
Ta có: với 
Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: 
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Giải: Gọi H là trung điểm 
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a 
Þ và 
 vuông có: 
AIC vuông có: 
A/
B/
C/
A
B
C
30o
H
I
Ta có: (AB’ là đường chéo hình vuông AA’B’B cạnh a)
Vậy AB’I vuông tại A.
Ta có: ; 
Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tứ diện ABCD, AD ^ (BCD) Gọi E là chân đường cao DE của tam giác BCD
a) Chứng minh (ADE) ^ (ABC)
b) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD) 
Chứng minh (BFK) ^ (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh (SIJ) ^ (SBC) 
b) Tính khoảng cách giữa AD và SB
Bài 3: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; AC=2a. Cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA = a
a) Chứng minh (SAB) ^ (SBC) 
b) Tính khảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm AC .Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = h. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính khoảng cách:
a) Từ B đến (SCD) 
b) Từ O đến (SCD)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông vạnh a, mặt bên (SAB) ^ đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD) 
b) Từ AD đến (SBC).
c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SA và BD. 
b) SC và BD. 
c) AC và SD.
Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB.
a) Chứng minh AB ^ CD. 
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA ^ (ABCD) ; SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^ (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
SC và BD 
b) AC và SD
Bài 10: Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC.
Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
OA và BC 
b) AI và OC