Bài giảng toán lớp 10 - Bài 1: Bàn về Bất đẳng thức
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài giảng toán lớp 10 - Bài 1: Bàn về Bất đẳng thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1. Định nghĩa 1
Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a-b > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a)
a > b ó a-b > 0 (b-a<0)
a b ó a-b 0 (b-a≤0)
2. Định nghĩa 2:
Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng thức.
+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;
+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;
+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;
+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu
"a>b Þ c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"
"a>b Û c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"
3. Các tính chất
ta có :
1) a > b Û a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)
a > b+ c Û a-c > b (chuyển vế)
3) a > b Û (nhân hai vế cùng 1 số)
4)
5)
6) Với n nguyên dương: a > b Û a2n+1 > b2n+1
a > b>0 Þ a2n > b2n
7) Nếu b>0 thì
a>b Û;
a>b Û
8) (bắc cầu)
9) a > b Û
10) a > b > 0 an > bn ( n )
11) a > b > 0 ( n )
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp chung:
Một số hằng đảng thức:
(a±b)2= a2 ± 2ab +b2
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a±b)3= a3 ± 3a2b+3ab2 ± b3
a2 -b2 = (a-b)(a+b)
a3-b3= (a-b)(a2 +ab +b2)
a3-b3= (a+b)(a2 -ab +b2)
Ví dụ: Chứng minh rằng
a) Nếu a,b0 thì a+b
b) Chứng minh a2+b2-ab 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
Giải
a) Cách 1: ta có a+b ó a+b- 0
ó ( )2 0 đúng với mọi a,b0. Dấu '=' xảy ra khi a = b
Cách 2: ta đã biết
( )2 0
Þ a+b- 0 Þ a+b Þ đpcm.
b) Ta có: a2+b2-ab = = (a- +
dấu '=' xảy ra ó Þ đpcm
4. Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a0, b0 thì hay a+b
Dấu '=' xảy ra Û a=b
b/ Các hệ quả:
b.1. Nế a0,b0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max Û a = b
b.2. Nếu a0,b0 có a.b = const thì a + b là min Û a = b
b.3. Nếu a1, a2, a3,..,an 0 thì:
b.4. , a > 0
* Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
c. Ví dụ:
Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,ta có:
=> đpcm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì
(a+b)(ab+1) 4ab
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:
a+b2 (1)
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:
ab + 1 2 (2)
Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm
5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| =;
ta có
, dấu '=' xảy ra ó a.b 0
, dấu '=' xảy ra khi a.b
ó a.b0
ó a.b
Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|
Giải
Ta có |x-y|+|y-z||x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)
ó
Chứng minh:
Ta có (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)
ó a2b2+c2d2+2abcd a2b2+a2d2+b2c2+c2d2
ó a2d2+b2c2-2abcd 0
ó (ad-bc)20 đúng => đpcm
Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng
Giải
Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:
(1.x+1.y)2(12+12)(x2+y2)
ó (x+y)22 ó
=> đpcm.
Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng:
HD: Đưa về hằng đẳng thức
2/ Chứng minh rằng:
Giải
Vậy Þ đpcm
3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1
Vì >0, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:
y= +
mà
vậy y= +
Þ y= +³ 4. Dấu "=" xảy ra Û
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= + bằng 4 khi x =
BÀI TẬP
1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
a)
Giải
Vậy Þ đpcm
b)
Giải
Vậy Þ đpcm
c)*
Giải
Þ đpcm
d)
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: (1)
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương (2)
Lấy (1) nhân (2) ta được: Þ. đpcm
e)* (bđt Cô-si cho 4 số)
Giải
f)
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:
(1)
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương ta được;
(2)
Nhân (1) với (2) ta được:
Vậy
g)
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b
h)
Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.
i)
Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho và
j)
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:
(1)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương ta được;
(2)
Nhân (1) với (2) ta được:
Vậy
2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) Với x>-3. Chứng minh
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3
b) Với . Chứng minh |x.y|≤3
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho ,
c)* Với a, b, c³0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c ³ 16abc
HD: b+c ³ Û (b+c)2 ³ 4bc (1)
a+(b+c) ³Û 1³ 4a(b+c) (2)
lấy (1)x(2) ta đượcÞ đpcm
d) Cho a, b, c, d ³ 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ³ 32abcd
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
e) Cho a,b,c >0. CMR :
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho
f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)16abcd.
HD:
g) Cho a,b,c > 0. CMR :
HD:
h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)() 9
HD:
k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)() 4
HD:
l) Cho a,b,c > 0. CMR :
HD:
m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR :
HD:
n) Cho a > 1 . CMR :
HD: bình phươn 2 vế
o) Cho a,b,c >0 . CMR :
3/ Chứng minh bất đẳng thức
a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì
b) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?
c) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?
d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c.
e) a2b+ab2a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với. Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) f(x)= b) f(x)= với x > 1
2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1
Giải
Đẳng thức xảy ra Û
3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 - x4 với 0≤ x ≤ 4
Giải
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
I. CMR
a2 – 3a + 3 > 0 , "aÎR
a2 + b2 ³ 2ab , "a, bÎRa2 +3a +3 > 0 "aÎR
a2 + b2 + 4 ³ ab + 2(a +b) , "a, bÎR
a2+ b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b +c + d + e) , "a, b, c, d, eÎR
. Suy ra , "a, bÎR
, "a, b, cÎR
a3 + b3 ³ ab(a+b) , "a, b ³ 0
a3b + ab3 £ a4 + b4 , "a, bÎR
a4 + 16 ³ 2a3 + 8a , "aÎR
, "a, b, c, d > 0
, "a, b > 0
, "a, bÎR
, "a ³ 1
, "a, b, c > 0
a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , "aÎR
x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , "xÎR. Hd: BĐT
II.CMR
1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
i. Nếu ii. Nếu
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)
b. abc ³ (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2
4. Cho x + y + z = 1. CMR:
5. CMR: a. , "xÎR
b. , "x, yÎR
III.CMR
. (a, b , c, d ³ 0)
. (a, b , c ³ 0)
(a, b , c > 0)
(a, b , c > 0)
(a, b , c > 0)
(x , y > 0)
(a + b)(b+c)(c+a) ³ 8abc (a, b , c ³ 0)
(a, b , c > 0)
(a + 2)(b + 8) (a + b) ³ 32ab (a, b ³ 0)
(1 –a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c ³ 0
với x+y =1 và x , y > 0.
(a + 2) (b + 8) ³ 36 với ab = 4 và a, b > 0
"a, b ³ 1
với a + b + c = 1 và a, b, c ³ -
IV.CMR:
1. (ab +by)2 £ (a2 + b2)(x2 +y2) ,"a, b, x, yÎR. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. với x2 + y2 = 1
3. 2 với 9x2 + 4y2 = 1
4. với 2x2 + 3y2 = 7
5. biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?
6. biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?
V.Tìm GTLN của hàm số sau:
1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 £ x £ 7 (maxy = 36 khi x = 1)
2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với
3. y = với x ³ 4 (maxy = khi x = 8)
4. y = x + (maxy = 4 khi x = ± 2)
VI.Tìm GTNN của hàm số sau:
1. y = với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)
2. y = với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
3. y = với x ¹ 0 (miny = 6 khi x = )
4. y = với x ¹ 0 (miny = 2 khi x = ±1)
5. y = với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)
6. y = (miny = 2 khi 2 < x < 4)
VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì <
b) nếu a > b thì >
c) 1 < < 2
d) 2 < < 3
2/ Cho 0, Chứng minh rằng < <
3/ Chứng minh rằng " a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0
e) 2abc £ a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab
g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 £ (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) ≥ l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
m) £ n) ( )2 £
o) ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2
u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4/ Cho a ,b Î [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| £ |1 + ab|
a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ +
5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + 1 > 0
7/ Cho ba số a ,b ,c Î [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca £ 1
8/ Cho 0 < a £ b £ c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) £ ()(a + c)
9/ Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥
10/ Cho a + b + c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥ 0
11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
+ + £
12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : ≥
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : ≥
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
≥
14/ " a,b,c,d chứng minh rằng
a) ≥
b) 1 < < 2
15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) < 1
b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3
*d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e) (a + b + c)2 £ 9bc với a £ b £ c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) £ abc
16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3
17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a £ b £ c
Chứng minh rằng : (a + b + c)2 £ 9bc
19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥
20*/ Cho a ,b ,c Î [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) £ 4
21/ Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N
22/ Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N n ≥ 2
23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
£ a + b + c £
24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0
c) ≥ 1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b)
e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) £
i) ≥ j) + ≥ + +
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ 2
k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ 4
m) ≥
2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2≥ 16
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:
a) a2b + ≥ 2a
b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + )
4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < < <
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b £ ab
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab + ≥ 2 (b ¹ 0)
b) a + b + c ≥
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc
d) ( + )2 ≥ 2
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + )3
7/ Chứng minh rằng "x Î(0; p/2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
b) ≥ a + b + c
c)()( )() ≥ 8
d) ()()( ) ≥ 8
e) (a + b + c)() ≥ 9
f) (a + b + c)() ≥
g) ≥ 6
h) ≥
i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2
j) 3a + 2b + 4c ≥ + 3 + 5
k) ≥ + +
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)( + ) ≥ 4
b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)
c) + ≥
d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2
e) ≥ 6
f) + + ≥
g) + + + ≥
h) ≥ 3a2b3 – 16
i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6
11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n Î N
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
ab £ b)a2 + b2 ≥
c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥
13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : ≥ 2
14/*. Chứng minh rằng – £ £
15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : ≥
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 9
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a) ()()( ) ≥ 64
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc £
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3
Chứng minh rằng abcd £
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) £
d) ≥ 2( )
e) < + + <
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.
Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng
– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 +
23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,.,an. Chứng minh rằng
a) ≥ n
b) (a1 + a2 + + an)() ≥ n2
c) (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n với a1.a2.an = 1
24/ Cho n số a1 ,a2 ,.,an Î [0;1] ,chứng minh rằng :
(1 + a1 + a2 + + an)2 ≥ 4(a12 + a22 + + an2)
25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 + 3≥ 5 b)
c) ≥ 3a2b3 – 16
27/ Chứng minh rằng 1.3.5.(2n – 1) < nn
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
a + b + c ≥
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,.,an và b1 ,b2 ,.,bn. Chứng minh rằng :
£
30/ Chứng minh rằng : ≤
" a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/*. " n Î N chứng minh rằng :
a) 1. . < b) 1.22.33.44nn <
32/*.Cho m,n Î N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + )m > ( 1 + )n
33/*.Cho x1,x2,xn > 0 và x1 + x2 + .+ xn = 1 Chứng minh rằng
()()( ) ≥ (n + 1)n
34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22
Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2
35/*.Cho 3 số a ,b ,c Î (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
+ + £
37/** Cho x ,y ,z Î [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) £
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a) £ 2
b) 2 ≥
39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a) ≥
b) ≥
c) ≥ 6
d) ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc
f) ≥ a + b + c
g) ≥ ≥
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 4
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c £ k. Chứng minh rằng :
) ≥ 3
44/ Cho ba số a ,b ,c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥
45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :
a) ha + hb + hc ≥ 9r b) <
Dùng tam thức bậc hai
1/ " x , y Î R Chứng minh rằng :
a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z
b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3
e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ (x + y)
f) 3 + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1
4/ Cho ax + by ≥ ," x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
5*/ Cho – 1 £ x £ và – 0
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc +
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 "x
b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x £ y . Chứng minh rằng x3 – 3x £ y3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x2 +
b) y = x + 2 + với x > – 2
c) y = x + với x > 1
d) y = với x > – 2
e) y = với x > 0
f) y = + với x Î (0;1)
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0£ x £ 2
y = (2x – 3)(5 – 2x) £ x £
y = (3x – 2)(1 – x) £ x £ 1
y = (2x – 1)(4 – 3x) £ x £
y = 4x3 – x4 với x Î [0;4]
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +
§2 Bất phương trình bậc nhất
I. Khái niệm bất phương trình một ẩn
1. Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến xÎ D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn.
Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x5x+3
2. Tập hợp nghiệm
Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0
3. Điều kiện của bất phương trình
Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa
Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình là
3-x³0 và x+1³0
4. Bất phương trình chứa tham số
Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.
Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)
5. Hệ bất phương trình một ẩn
Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.
Ví dụ: Giải hệ
III. Bất phương trình tương đương
1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Định lý
2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):
Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì:
f(x) > g(x) Û f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x thì bất phương trình:
f(x) > g(x)Û f(x).h(x) > g(x).h(x)
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x thì bất phương trình:
f(x) > g(x)Ûf(x).h(x) < g(x).h(x)
2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x) ³ 0, g(x)³ 0 thì
f(x) > g(x) Û f2(x) > g2(x)
* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau
+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.
+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.
+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.
+ Nếu f(x) -g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.
* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a) 2x+3 > x+7
ó x > 4 => tập nghiệm là T=(4;
b) 2x-10 3x-2
ó -x8 ó x => T=(
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) Đáp án: x≤1
b) Đáp án: x<1
c) Đáp án: x> ¼
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) Đáp án: 1/3<x≤3
b) Đáp án: 1<x≤2
c) Đáp án: x<4
Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:
;
;
;
IV. Bất phương trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > 0 ó ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 => (1) ó 0x > -b
. nếu b > 0 => bpt VSN
. nếu b bpt VN
. nếu b = 0 => bpt VN
+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x >
+ Nếu a bpt có nghiệm x <
Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình
(m-1)x -2+3m > 0 (1)
Giải
(1)ó (m-1)x > 2-3m (2)
. Nếu m-1= 0 ó m=1 (2)ó 0x > -1 => bpt VSN
. Nếu m-1> 0 ó m > 1 => bpt có nghiệm x >
. Nếu m-1 bpt có nghiệm x <
Kết luận:
. m =1 bpt VN
. m > 1 bpt có nghiệm x >
. m < 1 bpt có nghiệm x <
BÀI TẬP
1/ Giải các bất phương trình sau
a) b)
c) d)
e) 2(x-1)+x > f)
g) x(7-x)+6(x-1)<x(2-x) h)
k) l)
m) n)
Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (-¥;-5) c) S=(-1;4) È (4;+¥) d) S= (3;+¥)
e) S=(9/4;+¥); f) S=(-¥;); g) (-¥;6/11); h) S=[5;+¥); k) S=[-3;-2]
l) S=(-¥;-4) È(-3;-2) m) S={1}È[2;;+¥) n) S=[21/4;13/2)
2/ Giải các hệ bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(-¥;13/27]
3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau:
a. b.
4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm:
a/ b/ c/ d/
5/Giải các bất phương trình sau:
a. b. x2 > x c. d.
6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:
a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m
7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:
a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2
8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: (ĐS: m<1)
9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:
a. b.
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : (ĐS: m=)
§3 Dấu của nhị thức bậc nhất
1. Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a
2. Định lý :
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.
* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3
Giải
Đặt f(x)=0 ó 2x+3= 0 ó x =
3/ Xét dấu biểu thức được quy về tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức.
* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)
Giải
Đặt x-2=0ó x= 2
5-3x= 0ó
lập bảng xét dấu:
Vậy A 0 ó ; A= 0 Û x=2; 5/3
* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B =
4/ Giải bất phương trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất
Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ)
Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau
a) b)
Giải
a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
ó
đặt 2x-2 = 0 ó x=1
x-2 = 0 ó x = 2
xét dấu biểu thức f(x)=
vậy S=
b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
ó ó
Xét dấu biểu thức f(x)=
Đặt -5x-11 = 0 ó x =
Vậy S =
5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối
1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình
2. Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải.
* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối
3. Ví dụ
3.1 Ví dụ 1: giải phương trình
| x-1| + | 2x-4 | = 3 (1)
Giải
Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4
nhìn vào bảng xét dấu ta có:
* nếu x thì (1)ó -(x-1)-(2x-4)=3
ó-3x = -2 ó x = (nhận)
* nếu x thì (1)ó x-1-(2x-4) = 3
ó x = 0 (loại)
* nếu x thì (1)ó x-1+2x-4 = 3
ó 3x=8ó x =(nhận)
Vậy S =
3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:
a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x
Tóm tắt lý thuyết
1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất dạng ax + b >0óax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 thì (1) ó0.x > -b
- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm.
- nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x >.
+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x .
Kết luận
2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a0)
x
- -b/a +
f(x)
Trái dấu a 0 Cùng dấu a
* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
( ví dụ : (ax+b)(cx+d)(fx+k);) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu.
* Các bước xét dấu biểu thức :
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất.
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất.
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu.
B4 : Tổng hợp => kết luận.
3. Giải bất phương trình bậc nhất
B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x) 0.
B2 : Xét dấu biểu thức f(x).
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm.
4. Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng
(I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1.
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 .
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1S2.
BÀI TẬP 1
1/ Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x)= (2x-1)(x+3) b) f(x)= (-3x-3)(x+2)(x+3)
c) f(x)= d) f(x)= 4x2-1
2/ Giải các bất phưFile đính kèm:
CHUONG IVBAT DANG THUC BAT PHUONG TRINHTong hopcac de thi 1 tiet avf cac bai tap co ban nang cao.doc
