Bài giảng toán lớp 10 - Các định lý hình học nổi tiếng và vận dụng

CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG VÀ VẬN DỤNG
1. Định lý Stewart
*Cho tam giác ABC bất kỳ, D là điểm trên cạnh BC. Ta luôn có :
BC.AD2 = BD.AC2 + DC.AB2 – BC.BD.DC
Bài tập áp dụng:
Đề: cho tam giác ABC. Các đường AD, BE, CK ( D,E,K tương ứng thuộc các cạnh BC. CA, AB) gọi
 là các đường n - tuyến của ABC nếu như: 
( n là số dương cho trước). Đặt AD=da, BE = db, CK= dc ( và gọi da , db , dc là độ dài của các đường n- tuyến). Chứng minh rằng:
da2 + db2 + dc2 = 
Chú ý:
Với bài toán tổng quát trên, ta thay n là một số nguyên dương cụ thể thì ta sẽ có các định lý quen thuộc đã học.Chẳng hạn, khi n = 2 thì các đường 2-tuyến trở thành các đường trung tuyến của tam giác.
Ngoài ra, n-tuyến có nhiều tính chất lý thú như: các tam giác KDE, A’B’C’ và ABC có cùng trọng tâm.( ta có thể chứng minh bằng hình học vector )
2. Công thức Euler
Cho tam giác ABC. Gọi O và I tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Đặt l = IO. Chứng minh rằng:
l2= R2 – 2Rr
Công thức Euler cho khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại 
tiếp và bàng tiếp
Ký hiệu O là tâm đường tròn ngoại tiếp và Ia là tâm đ ường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đặt da = OIa. Chứng minh công thức Euler :
da2 = R2 + 2Rr
3. Định lý Euler
Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm O. M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác chứa tam giác. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu của M lân các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
S = ở đây MO = d
4.Bài toán về điểm Broca
1) Cho tam giác ABC và một điểm M trong tam giác ABC sao cho . Chứng minh rằng :
cotg = cotgA + cotgB + cotgC
(Điểm M xác định như trên gọi là điểm Broca, còn là góc Broca)
2) Chứng minh rằng:
3) Chứng minh :
sin = 
4) Chứng minh :
Gọi Ra, Rb, Rc tương ứng là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB,MAC,MCB. Chứng minh rằng 
RaRbRc = R3.
6) Chứng minh :
MA.MB.MC = 8R3sin3
5. Định lý Cacnô
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Gọi ka, kb, kc lần lượt là các khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB. Thì :
ka + kb + kc = R + r
Chú ý :
Định lý Cacnô còn được viết dưới dạng sau đây :
Trong mọi tam giác ABC thì :
AH + BH +CH = 2(R + r) với H là trực tâm của tam giác .
 ( Do theo định lý về đường thẳng Euler, thì ta có H,G,O thẳng hàng, với G là trọng tâm của tam giác ABC và GH = 2GO AH = 2OP = 2ka. Tương tự BH = 2kb, CH = 2kc)
Bài tập ứng dụng
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi ka, kb, kc lần lượt là các khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB. Chứng minh hệ thức: 
6. Định lý Ptoleme
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Khi đó ta có: 
	AC.BD = AB.CD + AD.BC
 7. Định lý Peletier
Cho tam giác A2B2C2. Lấy ba điểm A,B,C tương ứng nằm trong các cạnh B2C2, C2A2 và A2B2. Lấy lại ba điểm A1,B1,C1 tương ứng nằm trong các cạnh BC,CA,AB của ABC sao cho A1B1// A2B2; B1C1//B2C2 và C1A1//C2A2.Suy ra:
S2ABC = S. S
S2ABC = SABC.SABC
Hệ quả của định lý Peletier
Tam giác ABC nhọn. Vẽ ba chiều cao AA’, BB’, CC’. Khi đó A’B’C’ gọi là tam giác trực tâm. Tam giác A1B1C1 trong đó A1B1, A1C1, B1C1 tương ứng là các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C, B, A.
Tam giác A1B1C1 gọi là tam giác tiếp xúc. Và diện tích tam giác ABC là trung bình nhân của diện tích tam giác trực tâm và tam giác tiếp xúc.
Bài tập ứng dụng
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với 3 cạnh AB, BC, CA tương ứng tại C1, A1, B1. Qua A, B, C theo thứ tự lần lượt kẻ các đường thẳng song song với B1C1, C1A1, A1B1. Chúng cắt nhau và tạo thành A2B2C2.
Đặt AB = c, BC = a, CA = b, gọi R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC. Gọi S2, R2 tương ứng là diện tích và bán kính đường trón ngoại tíêp A2B2C2. Chứng minh rằng: a) S2 = ; b) R2 = 2R
8. Định lý Steine
Hai tam giác ABC và giả sử AD và AE là các đường đẳng giác. Ta có hệ thức sau :
Hệ quả của định lý Steine
Đường thẳng đẳng giác với một trung tuyến gọi là đường đối trung của tam giác. Và đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề.