Bài giảng toán lớp 10 - Đại cương về phương trình

Chương III
PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 Đại cương về phương trình
I. Khái niệm phương trình
1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg . 	Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.
 D : tập xác định của phương trình.
 Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình .
 Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình.
 Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
 Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm.
 Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = và g(x)=. Khi đó : 
	 và = được gọi là phương trình theo ẩn số x.
2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình
	Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình 
a) 	b) 	c) x-2=
3. Phương trình nhiều ẩn
 	Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn
 Ví dụ: 2x+3y-z = 2;	 x2+3xy-2z = 0 
 Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả, cũng tương đương với phương trình một ẩn.
4. Phương trình chứa tham số
 Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình chứa tham số.
 Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m
 ax+2 = | x-1| chứa tham số a.
 Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đó.
II. Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương
 1. Phương trình tương đương
 Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau (có thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D.
 Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết :
	f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x).
 	Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x-=0 tương đương nhau vì cùng có nghiệm duy nhất x=.
	Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau.
 2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D.
	(ta dùng dấu "Û" để chỉ sự tương đương của các phương trình)
	Ví dụ: 2x-5=0 Û 3x-=0 
* Các phép biến đổi tương đương của phương trình:
	Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì phương trình:
 Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi dấu của nó thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
	* Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương.
	Ví dụ 1: 
3. Phương trình hệ quả
	a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đó ta viết:	f(x)=g(x)Þ f1(x)=g1(x)
b) Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :
 	 Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả.
* Chú ý: Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.
	Ví dụ 1: Giải phương trình 	(1)
	Điều kiện pt(1) là x≠-2 và x≠2
	(1) Þ (x+2)2+(x-2)2= 3x+7
	Hoặc:	Với điều kiện x≠-2 và x≠2 thì (1)Û(x+2)2+(x-2)2= 3x+7 (???)
	Ví dụ 2: 
a) |x-2|=x+1 Þ (x-2)2=(x+1)2
	b) =x Þ x-1= x2.
	Ví dụ 3: Giải phương trình 	(3)
	Giải 
	Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3) 
	Þ x2-4x+4 = xÞ x2-5x+4=0 	(3')
	Phương trình (3') có nghiệm x=1 hoặc x=4
	Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm của (3) và x=4 là nghiệm. Vậy pt(3) có ngiệm duy nhất x=4.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Tìm điều kiện của các phương trình 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Đáp số
a) x≤ 3, x≠ ± 2	b) Không có giá trị x thỏa	c) x≥-1/2 và x≠0	d) " x Î Re) x>1	f) x≥-1 và x≠2
2/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm
	a) 	b) 
3) Giải các phương trình sau
a) 	b) 
c) 	d) 
	ĐS: a) x=3	b) Vô nghiệm	c) Vô nghiệm	d) x=2
4) Giải các phương trình sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	Đáp số: a) x=2	b) x=3	c) VNo	d) x=-2
	 e) VNo	f) x=0 và x=2	g) x=4/3	h) x=-2
5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax2-(2a+1)x+a=0 (2)
	Tìm a để (1) tương đương (2)
HD
	Giả sử (1)Û(2) thì x= -1 của (1) là nghiệm của 2. Thế x=-1 và (2) ta tìm được a=-1/4. Khi a=-1/4 thế vào (2) Û (x+1)2=0
	Vậy (1) Û (2)
6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương
	a) x+2=0 và 
	b) x2-9=0 và 2x2+(m-5)x-3(m+1)=0
	c) 3x-2=0 và (m+3)x-m+4
	d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m2x+2=0
Đáp số: a) m=1	b) m=5	c) m=18	d) m=1
BÀI TẬP (Đại cương về phương trình)
1/ Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nĩ
2/ Giải các phương trình sau 
3/ Giải các phương trình sau
4/ Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế
5/ Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện
a) - 2 = - x	b) 3 = + 2
6/ Giải các phương trình sau :
a/ = 	b/ x + = 3 + 
c/ + 1 = 	d/ x + = - 2
e/ = 	f/ = 	g/ = 
7/ Giải các phương trình sau :
a/ x + = 	b/ (x2 - x - 6) = 0
c/ = 0	d/ 1 + = 	e/ = 
8/ Giải các phương trình :
a/ |x - 1| = x + 2	b/ |x + 2| = x - 3	c/ 2 |x - 3| = x + 1
d/ |x - 3| = 3x - 1	e/ = 	f/ = 
g/ = 	h/ = 
BÀI TẬP THÊM
Bài 1: Giải các phương trình sau
= 	
= +1 
x+= 2+ 
x+= 1+ 
.
Bài 2: giải các phương trình sau 
(x2-3x+2) = 0 
(x2-x-2) = 0 
 .
Bài 3: Giải các phương trình sau 
Bài 4: Giải các phương trình sau
 .
§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,
BẬC HAI
I. Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc nhất 
Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0 
 	· a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= -
· a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm
· a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ (vô số nghiệm)
* Chú ý:
 + Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0 .
 + khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b .
 + Khi a0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 
	Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1)
Giải 
	Phương trình (1) Û (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a)
	Ta xét các trường hợp sau đây :
	+ Khi (m-1) ≠ 0 Û m ≠ 1 nên phương trình (1a) có nghiệm duy nhất 
	x = = m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất
	+) Khi (m – 1) = 0 Û m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R; nên pt(1) đúng với mọi x Î R.
Kết luận : 	m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})
 	m = 1 : đúng " x ÎR (Tập nghiệm là S = R)
	Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2)
 Giải
 	Ta có (2) ó mx-m = 2x+1 ó (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0)
 Biện luận:
 + nếu m-20ó m2 thì (2a) có nghiệm duy nhất 
 + nếu m-2= 0ó m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm.
 Kết luận: 
 m2 thì (2) có nghiệm 
 m=2 thì (2) vô nghiệm. 
	Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3)
Giải
 	Ta có: (3)ó m2x-x = 2m-2 ó (m2-1)x = 2(m-1) (3a)
 	Biện luận:
 	 + Nếu m2-10 ó m thì (3a) có nghiệm duy nhất 	 ; nên (3) có nghiệm duy nhất. 
 	+ Nếu m2-1=0 ó m= 
 	- với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi xR (phương trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm.
 	- với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm.
 Kết luận:
 + m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm duy nhất 
 + m =1 thì (3) có vô số nghiệm
 + m= -1 thì (3) vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 
 Giải
 Với x-1 thì (*) ó mx-m-3 = x+1
 ó (m-1)x = m+4 (**) 
 Biện luận (**) với x-1
 + Nếu m 1 thì (**) có nghiệm 
 + Nếu m=1: (**) ó0x=4, vô nghiệm
 Kết luận : 
 m1 và m thì (*) có nghiệm x= 
 thì (*) vô nghiệm 
 Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m: 
 (1)
 Giải
 Ta có (1)ó 
 + giải và biện luận (2)
 (2)ó (m-3)x= m-3
 . nếu m3 thì (2) có nghịêm x=1
 . nếu m=3 thì (2)ó0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm
 + giải và biện luận (3)
 (3)ó(m-3)x=-m+3
 . nếu m-3 thì (3) có nghiệm x= 
 . nếu m = -3 thì (3)ó 0x=4, vô nghiệm
 Kết luận:
 - với m3 và m-3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 =
 - với m=3: (1) có vô số nghiệm
 - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )
2. Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai)
	Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0
· a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 
· a ≠ 0 . Lập D= b2 - 4ac (hoặc D’=b’2-ac)
 	 Nếu D > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt 
x = v x = 
 	 Nếu D = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 
 	 Nếu D < 0 : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0 
 Giải 
 Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học. Biện luận:
 . Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x= 
 . Nếu m0 , tính = m+1, khi đó :
 + nếu < 0 ó m < -1 ó pt vô nghiệm
 + nếu = 0 ó m = -1 ó pt trình có nghiệm kép x1=x2 = 0 
 + nếu > 0 ó m > -1 ó pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 
 * Kết luận: 
 Ví dụ 2: Định m để phương trình 
 mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 có nghiệm
3. Định lí Vi-ét
 Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm đó là: 
 	S = x1+x2 = P = x1.x1 = 
 Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. 
 Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 
 Giải
 Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2-19x+84 = 0 ,pt này có hai nghiệm 
 óhoặc vậy hai số cần tìm là 7 và 12. 
 * Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S24P . Đây cũng là điều kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P. 
	* Ứng dụng
=(S2-2P)2-2P2
	Ví dụ 1: Cho phương trình x2-4x+m-1= 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm =10.
	Điều kiện pt có nghiệm D'≥0 Û 5-m≥0 Û m≤5
	Þ S2-2P = 10 Þ m =4.
Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức 
Giải
 	Phương trình có nghiệm ó 
 	Theo giả thiết óS3-3PS=40 ó 64-12(m-1)=40 ó m= 4 (nhận) 
* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
 Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:
 x1< 0 < x2 ó P < 0 (hai nghiệm trái dấu) 
 	x1x2 < 0 ó ( hai cùng âm) 
 	 0 < x1x2 ó (hai cùng dương)
 Ví duï: cho phöông trình 
 x2+5x+3m-1 = 0 (1) 
 a) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu. 
 b) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät. 
 Giaûi 
 a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu 
 ó P < 0 ó ó m < 
 b) ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät ó ó
 ó ó vaäy khi thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät. 
II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
1. Phương trình trùng phương
	Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 
	Cách giải:
+ đặt t=x2, đk: t≥ 0. 
+ Giải phương trình: at2 + bt + c=0
+ kết hợp điều kiện Þ x
Ví dụ: Giải phương trình x4-8x2-9 = 0
 	 Ñaët y = x2 , y 0. Khi ñoù:
 	(*)ó y2-8y-9 = 0 ó vôùi y = 9 ó x2 = 9 ó x = . 
 	Ví duï 2: Cho phöông trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0. Ñònh m ñeå :
 a) Phöông trình voâ nghieäm. 
 b) Phöông trình coù ñuùng moät nghieäm.
 c) Phöông trình coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät. 
 d) Phöông trình coù ñuùng 3 nghieäm phaân bieät. 
 e) Phöông trình coù ñuùng 4 nghieäm phaân bieät. 
2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối.
	Các dạng cơ bản
Dạng 1: |f(x)| = c (với c Î R)
	Nếu c<0 phương trình vô nghiệm
	Nếu v≥0 thì	|f(x)| = c Û 
	Ví dụ: a)	b)
Dạng 2: |f()|= |g()|. Sử dụng phép biến đổi tương đương
	Cách 1: |f()|= |g()|Û 
	Cách 2: |f()|= |g()|Û [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế)
Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x-2|
Giải
Cách 1:	|2x+5|=|3x-2| Û 
	Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= -3/5
Dạng 3: |f()|= g() 
Cách 1: : dùng phép biến đổi tương đương
 |f()|= g() Û 
Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối
	+ Nếu f()≥0 thì phương trình trở thành f()=g()
	+ Nếu f()<0 thì phương trình trở thành -f()=g().
	Ví dụ 1: Giải phương trình |-3|= 2+1 
	 |-3|= 2+1Û
	Vậy nghiệm của phương trình là =
Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = 0 (1)
 Giải 
 	* Nếu x-1 0 ó x 1 thì :
 	(1) ó x2-5x+5-1 = 0ó(I)
 	* Nếu x-1 < 0ó x < 1 thì: 
 	(1)ó x2+5x-6 = 0 (II) 
 	S = (I) (II) = { -6;1;4 }. 
	Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản
3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ)
	Cách giải:
	- Bình phương hai vế + đặt điều kiện Þ để làm mất căn
	- Đặt ẩn phụ
	Các dạng cơ bản
Dạng 1: , ta sử dụng phép biến đổi tương đương
	(có thể chọn điều kiện g(x)≥0)
	Ví dụ: 
Dạng 2: , ta sử dụng phép biến đổi tương đương
	Ví dụ: Giải phương trình 	
ó 
 ó ó 
 vậy nghiệm của phương trình là x = 9.
Dạng 3: 	( c Î )
	Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm
	Nếu c≥0 thì Û f(x) = c2
	Ví dụ: Giải phương trình 
Dạng 4: 
 * Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được)
BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3
1/ Giải các phương trình
a/ x4 - 4x2 + 3 = 0	b/ -x4 + 10x2 - 9 = 0
c/ x4 - 3x2 - 4 = 0	d/ x4 - x2 - 12 = 0
e/ x4 - x2 + 3 = 0	f/ (1 - x2)(1 + x2) + 3 = 0
2/ Giải và biện luận các phương trình sau
(m+2)(x-2) + 4 = m2
(x+2)(m+3) + 9 = m2
(1-m3)x+1+ m + m2 = 0
(m+1)x + m2-2m + 2 = (1-m2)x -x
x+(m-1)2 -2mx = (1-m)2 + mx 
x +m2x+2 = m + 4
3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = 0 , định m để : 
Phương trình có nghiệm duy nhất. 
Phương có nghiệm duy nhất x = 2. 
Phương trình vô nghiệm. 
Phương trình có vô số nghiệm. 
4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để :
Phương trình có nghiệm duy nhất. 
Phương trình có vô số nghiệm. 
Phương trình vô nghiệm. 
5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để : 
Phương trình vô nghiệm. 
Phương trình có nghiệm duy nhất. 
Phương trình có vô số nghiệm. 
6/ Tìm hai số có: 
 a) Tổng là 19, tích là 84 	 b) Tổng là 5, tích là -24 
 c) Tổng là -10, tích là 16. 
7/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m=0
	a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.
	Đáp số: a) m<9/4;	b) m=-2; 
8/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0
	a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
	b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
	Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3;	b) m=-4; m=3/4
	(câu b khi tìm m xong thế vào D kiểm tra lại)
9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = 0
	a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
	b) Xác định m để phương trình vô nghiệm.
	c) Xác định m để phương trình kép.
	d) Với giá trị của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.
	Đáp số: a) m	c) m=	d) m= -2; 
10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0
	a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
	b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
	.
	Đáp số: a) m=1 hoặc m= -3Þ x= 1; m= -1 hoặc m=3Þ x= -1
11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 -3m + 4 = 0 (x2 – 2(m – 1)x - 4m + 8 = 0)
Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho:
 i) x1 + x2 = 4 ii) x1. x2 = 8
 Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó.
12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0 
 a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
 c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt
13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số)
a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.
 b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia.
 c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 . (ĐS: m = 1)
14/ a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có 
 hai nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = -3)
b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai 
 nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = 2 v m = ¼)
 c. Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai 
 nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = 4)
15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 :
a. x2 - 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = -2/3)
b. mx2 - 2(m + 3)x + m - 2 = 0 (ĐS: m = -1 v m = 27)
16/ Giải các phương trình sau
	a) |2x-3|= x-5	b) |2x+5| = |3x-2|	c) |4x+1| = x2 + 2x-4	
d) |x-3|=|2x-1|	e) |3x+2|=x+1	f) |3x-5|= 2x2+x-3
g)* 	h)* 
Đáp số:a) Vô nghiệm	b) x=-7; x=3/5	c)) 	d) x=-2; 4/3	e) x= -1/2;-3/4	f) x=
g) x= 5; x=-1; x=	h) 
17/ Giải các phương trình sau
a) ú 3x - 4ú = x + 2 b)ú x + 3ú = x2 – 4x +3 
c) ú 5x + 1ú =ú 2x - 3ú d)ú x2 - 4x - 5ú =ú 2x2 – 3x -5ú 
 	e) x2 + 2ú xú - 3 = 0 f) x2 -3ú x - 2ú + 2 = 0
 g) h) 
 k) l) 
 	m) ú x + 1ú +ú x - 2ú = 3
18/ Giải các phương trình sau
	a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
	g) 
Đáp số:	a) 	b) x=1	c) Vô nghiệm
	d) x=	e) 	f) Vô nghiệm
	g) x= -1; 3
19/ Giải các phương trình sau :
a/ |3x + 4| = |x - 2|	b/ |3x2 - 2| = |6 - x2|
c/ |3x - 1| = |2x + 3|	d/ |x2 - 2x| = |2x2 - x - 2|
e/ |x2 - 2x| = |x2 - 5x + 6|	f/ |x + 3| = 2x + 1
g/ |x - 2| = 3x2 - x - 2	h/ |x2 - 5x + 4| = x + 4
i/ |2x2 - 3x - 5| = 5x + 5	j/ |x2 - 4x + 5| = 4x - 17
20/ Giải các phương trình chứa căn thức :
a/ = x - 2	b/ = 2(x - 1)
c/ = 2x - 1	d/ = x - 4
e/ = 2x - 7	f/ 2 = x - 2
g/ = x + 4	h/ = 3x + 4
i/ - 9 = 3x	j/ x - = 4
21/ Giải các phương trình sau
 a) 	b. 
 c) 	 	d. 
e) 	f) 
 	g) 	h) 
 	k) 	 l) 
22/ Giải các phương trình :
a/ = x2 - 3x - 4 	b/ x2 - 6x + 9 = 4
c/ 4 = x2 + 7x + 4 	d/ x2 + x + = 4
e/ x2 + - 9 = x + 3 	f/ = x2 - 2x
g/ x2 + 11 = 7	
h/ x2 - 4x - 6 = 
i/ (x + 1)(x + 4) = 3
j/ x2 - 3x - 13 = 
23/ Giải và biện luận các phương trình sau
	a) |4x-3m|=2x+m	b) |3x-m| = |2x+m+1|
	c) 	d) |3x+2m| = x-m	
e) |2x+m| = |x-2m+2|	f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0	
g) 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN
1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ 2mx + 3 = m - x	b/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2
c/ (m2 - 1)x = m3 + 1	d/ (m2 + m)x = m2 - 1
e/ m2x + 3mx + 1 = m2 - 2x	f/ m2(x + 1) = x + m
g/ (2m2 + 3)x - 4m = x + 1	h/ m2(1 - x) = x + 3m
i/ m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x - 1
j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2
2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b :
a/ (a - 2)(x - 1) = a2 	b/ a(x + 2) = a(a + x + 1)
c/ ax + b3 = bx + a3	d/ a(ax + 2b2) - a2 = b2(x + a)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ = 3	b/ (m - 2) - = 0
c/ = m	d/ = 
e/ + = 2	f/ + = 2
g/ = 	h/ = 2
i/ = 	j/ + = 2
3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ |x + m| = |x - m + 2|	b/ |x - m| = |x + 1|
c/ |mx + 1| = |x - 1|	d/ |1 - mx| = |x + m|
4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a/ m(2x - 1) + 5 + x = 0	
b/ m2x - 2m2x = m5 + 3m4 - 1 + 8mx
c/ = 
5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
a/ m2(x - 1) + 2mx = 3(m + x) - 4
b/ (m2 - m)x = 12(x + 2) + m2 - 10
c/ (m + 1)2x + 1 - m = (7m - 5)x
d/ + = 2
6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R
a/ m2(x - 1) - 4mx = -5m + 4
b/ 3m2(x - 1) - 2mx = 5x - 11m + 10
c/ m2x = 9x + m2 - 4m + 3
d/ m3x = mx + m2 - m
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 :
a/ x2 - (2m + 1)x + m = 0
b/ mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0
c/ (m - 1)x2 + (2 - m)x - 1 = 0
d/ (m - 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0
e/ (m - 3)x2 - 2mx + m - 6 = 0
f/ (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0
g/ (4m - 1)x2 - 4mx + m - 3 = 0
h/ (m2 - 1)x2 - 2(m - 2)x + 1 = 0
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
a/ x2 - 2mx + m2 - 2m + 1 = 0
b/ x2 - 2(m - 3)x + m + 3 = 0
c/ mx2 - (2m + 1)x + m - 5 = 0
d/ (m - 3)x2 + 2(3 - m)x + m + 1 = 0
e/ (m + 1)x2 - 2mx + m - 3 = 0
f/ (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0
g/ (m - 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0
h/ (3 - m)x2 - 2mx + 2 - m = 0
3. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
a/ x2 - (2m + 3)x + m2 = 0
b/ (m - 1)x2 - 2mx + m - 2 = 0
c/ (2 - m)x2 - 2(m + 1)x + 4 - m = 0
d/ mx2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0
e/ x2 - 2(m + 1)x + m + 7 = 0
f/ (m - 1)x2 - 3(m - 1)x + 2m = 0
g/ (m + 2)x2 + 2(3m - 2)x + m + 2 = 0
h/ (2m - 1)x2 + (3 + 2m)x + m - 8 = 0
4. Tìm m để phương trình có nghiệm.
a/ x2 - (m + 2)x + m + 2 = 0
b/ x2 + 2(m + 1)x + m2 - 4m + 1 = 0
c/ (2 - m)x2 + (m - 2)x + m + 1 = 0
d/ (m + 1)x2 - 2(m - 3)x + m + 6 = 0
5. Định m để phương trình có 1 nghiệm.
a/ x2 - (m - 1)x + 4 = 0
b/ x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m + 4 = 0
c/ (3 - m)x2 + 2(m + 1)x + 5 - m = 0
d/ (m + 2)x2 - (4 + m)x + 6m + 2 = 0
B. ĐỊNH LÝ VIÉT
1. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại.
a/ 2x2 - (m + 3)x + m - 1 = 0	; x1 = 3
b/ mx2 - (m + 2)x + m - 1 = 0	; x1 = 2
c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0	; x1 = 2
d/ (4 - m)x2 + mx + 1 - m = 0	; x1 = 1
e/ (2m - 1)x2 - 4x + 4m - 3 = 0	; x1 = -1
f/ (m - 4)x2 + x + m2 - 4m + 1 = 0	; x1 = -1
g/ (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0	; x1 = 2
h/ x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0	; x1 = 0
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện :
a/ x2 + (m - 1)x + m + 6 = 0	đk : x12 + x22 = 10
b/ (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0	đk : x12 + x22 = 2
c/ (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0	đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2
d/ x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m + 4 = 0	đk : x12 + x22 = 20
e/ x2 - (m - 2)x + m(m - 3) = 0	đk : x1 + 2x2 = 1
f/ x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0	đk : x1 = 2x2 
g/ 2x2 - (m + 3)x + m - 1 = 0	đk : + = 3
h/ x2 - 4x + m + 3 = 0	đk : ïx1 - x2ï = 2
3. Tìm hệ thức độc lập đối với m :
a/ mx2 - (2m - 1)x + m + 2 = 0
b/ (m + 2)x2 - 2(4m - 1)x - 2m + 5 = 0
c/ (m + 2)x2 - (2m + 1)x + = 0
d/ 3(m - 1)x2 - 4mx - 2m + 1 = 0
e/ mx2 + (m + 4)x + m - 1 = 0
f/ (m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - 4 = 0
C. DẤU CÁC NGHIỆM SỐ
1. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
a/ x2 + 5x + 3m - 1 = 0
b/ mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0
c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
d/ (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0
e/ (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
a/ x2 - 2(m + 1)x + m + 7 = 0	
b/ x2 + 5x + 3m - 1 = 0
c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0
d/ (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0
e/ x2 + 2x + m + 3 = 0
3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.
a/ mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0	b/ x2 - 6x + m - 2 = 0
c/ x2 - 2x + m - 1 = 0	d/ 3x2 - 10x - 3m + 1 = 0
e/ (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0
4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
a/ (m - 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0
b/ (m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - 1 = 0
c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0 
d/ (m + 1)x2 - 2mx + m - 3 = 0
e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
Bài toán lập phương trình:
 1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình 
 phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm . (ĐS: 9 tuổi)
 2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của 
 anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay? 
 (ĐS: 8 tuổi)
 3. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ 
 hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. 
 (ĐS: 12m ; 35m ; 37m)
 4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài 
 hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm)
 5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều 
 rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi 
 kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m)
 6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất 
 mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của 
 miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m)
 7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai 
 cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m)
 8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam 
 giác lần lượt bằng 120m và 480m2 . (ĐS: 20m ; 48m ; 52m)
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn 
 Dạng : 
 + Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c a và b là hệ số và a2+b2; c gọi là hằng số của phương trình 
 + Nếu tồn tại cặp số thực x0, y0 sao cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là một nghiệm của phương trình
 *Giải và biện luận phương trình do a,b không đồng thời bằng không nên có 3 trường hợp:
 a) a0 và b 0 :
	Ta có : (x R) hoặc (y R)
	Vậy nghiệm của phương trình là : hoặc 
 b) a = 0 và b 0 : phương trình có dạng 
 	 Vậy nghiệm của phương trình là : 
 c) a 0 và b = 0 : phương trình có dạng : 
 	Vậy nghiệm của phương trình là : 
 Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm. 
* Chú ý:
 Nếu a = b = 0 thì phương trình có dạng 0x+0y = c, khi đó:
 + nếu c0 phương trình vô nghiệm.
 + nếu c = 0 phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (CB không giải và biện luận)
 Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : 
 Trong đó : x , y gọi là ẩn số . a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0 .
 Nếu tồn tại cặp số thực (x0 , y0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình trong hệ trên thì (x0 , y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. 
 Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó. 
 Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng tương tự như ở phương trình.
 * Giải và biện l