Bài giảng toán lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1.Cho 1 điểm O ở trong tam giác ABC .Từ O dựng OF ^ AB, OG ^ BC , OH ^ AC
Chứng minh rằng AF2 + BG2 + CH2 = BF2 + CG2 + AH2
2.Cho hình vuông ABCD.Một đường thẳng qua A cắt BC tại M và cắt CD kéo dài tại I
Chứng minh rằng : 
3.Cho tam giác ABC vuông tại A,AC = 2AB,AH = 4.Tính các cạnh tam giác ABC
4.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Chứng minh rằng : AB2.HC = AC2.HB
5.Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến AD,BE,CF
Chứng minh rằng : BE2 + CF2 = 5AD2
6.Cho tam giác ABC cân tại A, CK là đường cao,chứng minh rằng :
AB2 + BC2 + CA2 = KB2 + 2KA2 + 3KC2 
7.Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu vuông góc của A lên BC,gọi E và F là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC. Chứng minh rằng :
a) ( )2 = b) ( )3 = c) AD3 = BC.EB.CF
8.Cho tam giác ABC cân tại A ,vẽ các đ]ơngf cao AH và BK. Chứng minh rằng : = + 
Định lý cosin
1.Chứng minh rằng trong 1 hình bình hành tổng bình phương 2 đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh
1.Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB)
2.Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng :
 AC ^ BD Û AB2 + CD2 = AD2 + BC2
3.Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD = 2CD
Chứng minh rằng : AB2 + 2AC2 = 3AD2 + BC2
4.Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD = 3CD
Chứng minh rằng : AB2 + 3AC2 = 4AD2 + BC2
5.Cho 3 số a,b,c.Một tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 
Chứng minh rằng tam giác ấy có 3 góc nhọn
5.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a, b, c thoả mãn a4 = b4 + c4
a)Chứng minh rằng : B < A và C< A
b)Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn 
6.Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a = 1,b = 2 , c = .Tính các góc
6.Tam giác ABC có B = 60o ; C = 45o ; BC = a
a)Tính độ dài các cạnh AB, AC
b)Chứng minh rằng : cos75o = 
7.Cho tam giác ABC có a = ,b= 2,c = + 1.Tính A ,S ,ha,R
8.Cho tam giác ABC có a = 2 , b = , C = 120o.Tính c,S ha
9.Cho tam giác ABC, Chứng minh rằng :
abc(cosA + cosB + cosC) = a2(p – a) + b2(p – b) + c2(p – c)
10.*Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’,BB’,CC’ và H là trực tâm
Chứng minh rằng : 
 . + . + . = (AB2 + BC2 + CA2)
Định lý sin
1.Cho tam giác ABC có góc A = 60o và a = 6 Tính R
1.Cho tam giác ABC có góc A = 60o , B = 45o , b = 4.Tính hai cạnh b và c
1.Cho tam giác ABC có 3 cạnh a,b,c thoả :2(b – c) = a
Chứng minh rằng :a) sinA = 2(sinB – sinC)
 b) 
1. Tam giác ABC có bc = a2 . Chứng minh rằng: 
a) sin2A = sinB.cinC
b) hb.hc = ha2
2.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu sinA = 2sinB.cosC thì ΔABC là tam giác cân 
3.Cho tam giác ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau 
4. Cho tứ giác ABCD có AB = a , a , b ,a’ , b’ .Tính độ dài cạnh AD
5.Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 
a) a = b.cosC + c.cosB
b) sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
c) ha = 2RsinB.sinC
6.Cho tam giác nhọn ABC.Kẻ các đường cao AA’ ,BB’ ,CC’
a)Chứng minh rằng: B’C’ = 2RsinA.cosA
b)Lấy A1,A2 lần lượt là điểm đối xứng với A’ qua AB và AC. Chứng minh rằng: chu vi tam giác A’B’C’ bằng độ dài đoạn thảng A1A2 
c)Chứng minh rằng:
 sinA.cosA + sinB.cosB + sinC.cosC = 2sinA.sinB.sinC
Định lý đường trung tuyến
1. Tam giác ABC có a = 7, b = 8 ,c = 6 .Tính ma
2. Tam giác ABC có a = 5,b = 4,c = 3.Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD
1.Cho tứ giác ABCD.Gọi I,J là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD
Chứng minh rằng : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2
2.Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm trong hình tròn.Kẻ dây cung AB//OM
Chứng minh rằng : MA2 + MB2 = 2(OM2 + R2)
3.Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : (MA2 + MC2) – (MB2 + MD2) = 2(OA2 – OB2)
3.Cho tam giác ABC có 3 cạnh AB = c,BC = a,AC = b.Độ dài trung tuyến AM = c
Chứng minh rằng : a2 = 2(b2 – c2)
4Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm BC,G là trọng tâm.Gọi D là điểm đối xứng với G qua I.Chứng minh rằng :
 a) MB2 + MC2 = MG2 + MD2 + 2IB2 – 2IG2
 b) MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
5.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Gọi G là trọng tâm
a)Chứng minh rằng : GA2 + GB2 + GC2 = (a2 + b2 + c2)
b) Chứng minh rằng: 4 = 3(a2 + b2 + c2)
5. Chứng minh rằng khoảng cách d từ trọng tâm tam giác ABC đến tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác thoả mãn
	R2 – d2 = 
5*.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của G lần lượt xuống các cạnh BC, CA, AB của tam giác .Hãy tính diện tích của tam giác A’B’C’ biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng S và khoảng cách từ G đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng d 
6.Cho tam giác ABC .Tìm điểm M trong mặt phẳng sao cho 
 MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất
7.Chứng minh rằng nếu 2 trung tuyến AM và BN vuông góc nhau thì
 a2 + b2 = 5c2
8. Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông tại A Û 5ma2 = mb2 + mc2 
8.*Cho điểm M cố định trên đường tròn (O,R) và hai điểm N,P thay đổi trên đường tròn sao cho góc NMP = 30o 
a) Tìm quĩ tích trung điểm I của NP
b)Xác định vị trí của N và P để diện tích tam giác MNP đạt giá trị lớn nhất 
9.Cho tam giác đều ABC có cạnh 6cm.Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2cm
a)Tính độ dài đoạn AM và cosBAM 
b)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
c)Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM
d)Tính diện tích của tam giác ABM
10. Tam giác ABC có = ¹ 1. Chứng minh rằng: 
2cotA = cotB + cotC
11.Chứng minh rằng: hai trung tuyến BM và CN của tam giác ABC vuông góc nhau khi và chỉ khi: cotA = 2(cotB + cotC)
Định lý về diện tích
1.Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp nhân với sin của 1 góc của hình bình hành 
2.Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: S = 2R2.sinA.sinB.sinC
2.Cho tứ giác ABCD,gọi a là góc giữa hai đường chéo
a)Chứng minh rằng SABCD = AC.BD.sina
b)Suy ra công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc
2.Cho tứ giác ABCD. Dựng hình bình hành ABDE. Chứng minh rằng: tứ giác ABCD và tam giác ACE có diện tích bằng nhau
3.Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r và độ dài các đường cao là ha ,hb ,hc. Chứng minh rằng : = + + 
4.Cho tam giác ABC vuông tại A có hai cạnh góc vuông là b và c.Trên cạnh BC lấy điểm M,đặt góc BAM là a
Chứng minh rằng AM = 
5. Chứng minh rằng ≥ 2 
5.Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8
a)Tính diện tích tam giác ABC
b)Tính cosB
6.Tam giác ABC vuông tại A các cạnh góc vuông là b và c,chứng minh rằng :
a) la = ( la là độ dài phân giác trong góc A)
b) r = ( b + c – )
7.Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a ,góc BAC = a
a)Tính BC theo a và a
b)Chứng minh rằng : r = 
7.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi r1,r2,r3 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,ABH,ACH. Chứng minh rằng : AH = r1 + r2 + r3
*8.Cho tam giác ABC thoả mãn : ha = . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân
9*.Cho tam giác có a = 10, góc A = 60o và bán kính đường tròn nội tiếp 
 r = 
a)Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp 
b)Tính độ dài các cạnh b,c Þ tam giác ABC đều
10*.Cho tứ giác ABCD nội tiếp có độ dài các cạnh là a,b,c,d. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác S = trong đó p là nửa chu vi của tứ giác 
11*.Cho tam giác ABC với AB = c ,AC = b .Gọi M là trung điểm của BC
a)Chứng minh rằng: 2 = 2 + 
b)Chứng minh rằng : 4. = b2 – c2
c)Giả thiết thêm rằng góc BAM = 30o và góc MAC = 45o. Đặt AM = m
Chứng minh rằng : c = b và b = ()m 
12*.Cho tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến bằng 15, 18, 27
a)Tính diện tích tam giác ABC
b)Tính độ dài các cạnh của tam giác 
13*Trên đường tròn (O;R) cho điểm M cố định và hai điểm N ,P chạy trên đường tròn sao cho góc NMP = 30o
a)Tìm quĩ tích trung điểm I của NP
b)Xác định vị trí của N và P để diện tích tam giác MNP đạt giá trị lớn nhất 
Định lý cosin suy rộng
1. Chứng minh rằng : cotgA = cotgB= 
 cotgC = S: diện tích tam giác ABC
2.Cho tam giác ABC.Trên cạnh Bc lấy hai điểm M ,N sao cho BM = MN = NC . Đặt BM = a , MN = b , NC = g . Chứng minh rằng :
 (cotga + cotgb)(cotgb + cotgg) = 4(1 + cotg2b)
3.Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm trong tam giác sao cho 
MB = MC = MA = a. Chứng minh rằng: 
 cotga = cotgA + cotgB + cotgC
4.Cho tam giác ABC vuông tại A,cạnh huyền BC = a,đường cao AH = h. Chia cạnh huyền BC ra làm n phần bằng nhau (n lẻ). Gọi PQ là một trong các đoạn bằng nhau ấy và chứa trung điểm M của BC. Đặt PQ = a. Chứng minh rằng : tga = 
5.Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ trong tam giác .Gọi A1 , B1 , C1
lần lượt là hình chiếu của M lên BC ,AC ,AB. Đặt AB = a , BC = b CA = g . Chứng minh rằng : cotga + cotgb + cotgg = 0 
6.Cho tam giác ABC có trọng tân G. Chứng minh rằng :
	cotgC – cotg AB = 
7.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là một điểm tuỳ ý trong hình chữ nhật 
Đặt AC = a , BD = b . Chứng minh rằng : = 
Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vào thực tế
1.Khoảng cách giữa hai cầu môn là 7,32m.Từ chấm phạt đền cách cầu môn 11m,góc sút là bao nhiêu
2.Kích thước sân bóng là 75m và 110m.Quả bóng được đặt ở điểm cách biên dọc 3m,cách biên ngang 6m.Hỏi góc sút bao nhiêu độ,biết rằng quả bóng và cầu môn cùng ở về một nửa sân
3.Một đám đất hình tứ giác ABCD có kích thước AB = 7m; BC = 8m; CD = 13m; DA = 6m. Đường chéo BD = 10m,Tính diện tích đám đất đó
4. Diện tích một đám đất hình tam giác là 86m2.Các cạnh a = 16m;b = 12m.Hỏi độ dài hàng rào bao quanh đám đất đó,biết góc giữa hai cạnh a,b là góc nhọn
5.Một tấm bìa hình thang cân có đường chéo là d ,đáy nhỏ là a, góc nhọn là a.Tính các cạnh và diện tích của tấm bìa 
6.Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m.Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp các góc BPA = 35o và BQA = 48o .Tính chiều cao của tháp 
7.