Bài kiểm tra Toán lớp 11 (tham khảo)

Bài 2 . 
Cho hàm số f(x) = . Xỏc định m để hàm số liờn tục trờn R..
	ã Khi ta cú ị f(x) liờn tục .
ã Khi x = 1, ta cú:
	 ị f(x) liờn tục tại x = 1 Û 
	Vậy: f(x) liờn tục trờn R khi m = 1.
Bài 3: Cho . Tớnh , với n ³ 2.
Bài 3: 	 = ị 
	, . Dự đoỏn 	(*)
	ã Thật vậy, (*) đỳng với n = 2.
	Giả sử (*) đỳng với n = k (k ³ 2), tức là cú 
	Vỡ thế ị (*) đỳng với n = k + 1
	Vậy .
Cõu 4: a) Tớnh gần đỳng giỏ trị của 
	b) Tớnh vi phõn của hàm số 
Cõu4:
	a) Tớnh gần đỳng giỏ trị 
	ã Đặt f(x) = , ta cú , theo cụng thức tớnh gần đỳng ta cú với:
	Tức là ta cú 
Cõu 5: (2 điểm) Cho hàm số cú đồ thị (C).
	a) Tỡm x sao cho .
	b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; –9). 
ã PTTT d: 
ã A(–1; –9) ẻ d ị 
ã 	
ã Kết luận:	,	
Bài 4. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC, đụi một vuụng gúc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC).
	2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
	3) Tớnh gúc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 
	4) Tớnh gúc giữa cỏc đường thẳng AI và OB
Bài 4: 
1) 	ã OA ^ OB, OA ^ OC ị OA ^ BC	(1)
	ã DOBC cõn tại O, I là trung điểm của BC ị OI ^ BC	(2)
	Từ (1) và (2) ị BC ^ (OAI) ị (ABC) ^ (OAI)
2) 	Từ cõu 1) ị BC ^ (OAI) 
3) 	ã BC ^ (OAI) ị 
	ã 
	ã DABC đều ị 
	ã DABI vuụng tại I ị ị 
	4) Gọi K là trung điểm của OC ị IK // OB ị 
	ã DAOK vuụng tại O ị 
	ã 	ã 	ã DAIK vuụng tại K ị 
 .
Bài 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú DABC vuụng tại A, gúc = 600 , AB = a; hai mặt bờn (SAB) và (SBC) vuụng gúc với đỏy; SB = a. Hạ BH ^ SA (H ẻ SA); BK ^ SC (K ẻ SC).
	1) Chứng minh: SB ^ (ABC)
	2) Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.
	3) Chứng minh: DBHK vuụng .
	4) Tớnh cosin của gúc tạo bởi SA và (BHK).
1)	
2) 	CA ^ AB, CA ^ SB ị CA ^ (SAB) ị CA ^ BH
	Mặt khỏc: BH ^ SA ị BH ^ (SAC) ị BH ^ SC
	Mà BK ^ SC ị SC ^ (BHK)
3) 	Từ cõu 2), BH ^ (SAC) ị BH ^ HK ị DBHK vuụng tại H.
4)	Vỡ SC ^ (BHK) nờn KH là hỡnh chiếu của SA trờn (BHK)
	ị 
	Trong DABC, cú: 
	Trong DSBC, cú: ; 
	Trong DSAB, cú: 
	Trong DBHK, cú: ị 
	ị 
Bài 6 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a.
	1) Chứng minh ; 
	2) Tớnh gúc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
	3) Tớnh d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6:
1) 	ã BD ^ AC, BD ^ SA ị BD ^ (SAC) ị (SBD) ^ (SAC)
	ã CD ^ AD, CD ^ SA ị CD ^ (SAD) ị (DCS) ^ (SAD)
2) 	ã Tỡm gúc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
	SA ^ (ABCD) ị 
	ã Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
	AB ^ (ABCD) ị 
	ã Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
	BO ^(SAC) ị .	
	, ị 
	3) ã Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SCD)
	Trong DSAD, vẽ đường cao AH. Ta cú: AH ^ SD, AH ^ CD ị AH ^ (SCD) ị d(A,(SCD)) = AH.
	 ị 
	ã Tớnh khoảng cỏch từ B đến (SAC)
	BO ^ (SAC) ị d(B,(SAC)) = BO = 
Bài 7: Cho hỡnh chúp S. ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, và SA = SB = SD = a.
	a) Chứng minh (SAC) vuụng gúc với (ABCD).
	b) Chứng minh tam giỏc SAC vuụng.
	c) Tớnh khoảng cỏch từ S đến (ABCD).
Bài 7:
a) 	Vẽ SH ^ (ABCD). Vỡ SA = SB = SC = a nờn HA = HB = HD 	ị H là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABD 	
	Mặt khỏc DABD cú AB = AD và nờn DABD đều. 
	Do đú H là trọng tõm tam giỏc ABD nờn 
	Như vậy, 
b) 	Ta cú DABD đều cạnh a nờn cú 
	Tam giỏc SAC cú SA = a, AC = 
	Trong DABC, ta cú: 
	Tam giỏc SHA vuụng tại H cú 
Cõu 8b : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = . Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
	a) Chứng minh rằng: SO (ABCD).
	b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD). Xỏc định gúc giữa (SIJ) và (SBC).
	c) Tớnh khoảng cỏch từ O đến (SBC).
a)	ã AB = AD = a, đều 
	ã BC ^ OK, BC ^ SO ị BC ^ (SOK).	
b)	Tớnh gúc của SK và mp(ABCD) 
	ã SO ^ (ABCD) 	
	ã cú 
	 ị 
	c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SB
	ã AD // BC ị AD // (SBC) ị 
	ã Vẽ OF ^ SK ị OF ^ (SBC)
	ã Vẽ AH // OF, H ẻ CF ị AH ^ (SBC) ị .
	ã DCAH cú OF là đường trung bỡnh nờn AH = 2.OF
	ã DSOK cú OK = , OS = a ị 
Cõu 6b: Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a. Xỏc định đường vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch của hai đường thẳng chộo nhau BDÂ và BÂC.
Cõu 6b:
	Gọi M là trung điểm của BÂC, G là trọng tõm của DABÂC.
	Vỡ DÂ.ABÂC là hỡnh chúp đều, cú cỏc cạnh bờn cú độ dài 	, nờn BD’ là đường cao của chúp này ị BDÂ ^ (ABÂC)
	ị BDÂ ^ GM.
	Mặt khỏc DABÂC đều nờn GM ^ BÂC
	 GM là đoạn vuụng gúc chung của BD’ và B’C.
	ãTớnh độ dài GM = 
2) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.AÂBÂCÂ, cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn bằng . Tớnh gúc giữa 2 mặt phẳng (AÂBC) và (ABC) và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (AÂBC).
2) 
Tớnh gúc giữa 2 mặt phẳng (AÂBC) và (ABC) và khoảng cỏch từ A đến (AÂBC)
ã	. 
	Gọi K là trung điểm BC ị AK ^ BC và A’K ^ BC
	ị BC ^ (AA’K ) ị (A’BC) ^(AA’K), 
	ị 
ã	
	ị .
	ã AK ^ BC và A’K ^ BC ị 
	ã Trong DAÂKA ta cú ị .
Cõu III: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuụng gúc với SA.
 	a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
 	b) CMR: MN ^ AD.
 	c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD).
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng
Cõu III: 
a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
	ã SO ^ AC, SO ^ BD ị SO ^ (ABCD).
	ã BD ^ AC, BD ^ SO ị BD ^ (SAC) ị BD ^ SA 	(1)
	ã OP ^ SA, OP è (PBD) 	(2)
	Từ (1) và (2) ta suy ra SA ^ (PBD).
b) CMR: MN ^ AD.
	ã Đỏy ABCD là hỡnh vuụng nờn OB = OC, mà OB và OC lần 	lượt là hỡnh chiếu của NB và NC trờn (ABCD) NB = NC 
	ị DNBC cõn tại N, lại cú M là trung điểm BC (gt) 	
	ị MN ^ BC	ị MN ^ AD (vỡ AD // BC)
c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD).
	ã SO ^ (ABCD) nờn AO là hỡnh chiếu của SA trờn (ABCD) 
	Vậy gúc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là .
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng. 
	ã Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là cỏc đường trung bỡnh của cỏc tam giỏc SDO, CBD, DSC nờn đồng thời cú EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đú ta cú M, M, E, F đồng phẳng.
	ã MN è (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ị đồng phẳng
--------------------------------------
Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Chú ý 
Nêu định nghĩa của đạo hàm 
Bài 1 Tính giới hạn (ĐHTCKT 2001)
HD : 
Suy ra 
Bài 2 Tính giới hạn (ĐHQGHN 2000)
HD : 
 vì 
Suy ra 
Bài 3 Tính giới hạn (ĐH GTVT 1998)
HD : 
Suy ra 
Bài 4 Tính giới hạn (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
Suy ra 
Bài 5 Tính giới hạn : (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
 Suy ra 
Bài 6 Tính giới hạn 
 (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
Bài 7 Tính các giới hạn sau: 
 (ĐHSP2 2000) (ĐH Thuỷ Lợi)