Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5 - Phan Duy Nghĩa

Họ và tên: Phan Duy Nghĩa
Phó Hiệu Trưởng Trường Tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh.
Một phương pháp giải toán
	 Khi giải toán ở tiểu học hay ở các cấp học khác, ta bắt gặp không ít các bài toán có những đặc điểm, tính chất không thay đổi khi thay đổi các đại lượng nào đó, mà ta gọi là tính bất biến. Đôi khi có thể tìm ra lời giải cho một bài toán nhờ khai thác được tính bất biến này. Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau:
 Bài toán 1 : Toán có 3 tờ giấy màu. Toán lấy mỗi tờ cắt thành 4 mảnh nhỏ hoặc 10 mảnh nhỏ rồi lại lấy mỗi mảnh nhỏ cắt tiếp thành 4 mảnh nhỏ hoặc 10 mảnh nhỏ hơn và cứ tiếp tục như thế. Cuối cùng Toán đếm lại thì thấy có tất cả 2008 mảnh giấy to nhỏ khác nhau. Hỏi Toán đếm đúng hay sai ?
 Phân tích : Sau mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 4 mảnh hoặc 10 mảnh thì số mảnh giấy tăng lên là 3 hoặc 9. Như vậy tính bất biến của bài toán là "số mảnh giấy tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3".
 Bài giải : Mỗi lần cắt tờ giấy hay mảnh giấy thì số mảnh tăng lên là 3 hoặc 9. Do đó dù cắt bao nhiêu lần thì số mảnh tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3. Mà ban đầu Toán có 3 mảnh cũng là số chia hết cho 3 nên tổng số mảnh thu được sau một số lần cắt phải là một số chia hết cho 3. Số 2008 là số không chia hết cho 3. Vậy Toán đã đếm sai.
 Bài toán 2 : Cho 10 chữ số được xếp theo thứ tự như sau: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.
Hãy đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số sao cho được tổng có giá trị bằng 108.
 Phân tích : Tính bất biến của bài toán là: nếu bỏ đi một dấu cộng nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trước dấu cộng vừa bỏ.
 Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 10 = 45 + 9 x 1.
 Bài giải : Nếu đặt đủ 9 dấu (+) vào giữa 10 chữ số đã cho thì được tổng là:
 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45. Vì 45 < 108 nên trong tổng phải có ít nhất 1 số có 2 chữ số, do đó phải bỏ đi một số dấu cộng. Ta nhận thấy nếu bỏ đi một dấu (+) nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trước dấu (+) vừa bỏ. Mà: 108 - 45 = 63 = 9x7 = 9x(6+1) = 9x(5+2) nên ta có 3 cách điền như sau:
 Cách 1. Bỏ dấu (+) trước chữ số 6 ta có: 9 + 8 + 76 +5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 108.
 Cách 2. Bỏ dấu (+) trước chữ số 5 và trước chữ số 0 ta có:
 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 10 = 108.
 Cách 3. Bỏ dấu (+) trước chữ số 4 và chữ số 1 ta có:
 9 + 8 + 7 + 6 + 54 +3 + 21 + 0 = 108.
 Bài toán 3 : Điền dấu + và dấu - vào các sau đây để được phép tính đúng:
 9 	8	7	6 5	4	3	2	1 = 33
 Phân tích : Tính bất biến của bài toán là: mỗi lần thay một dấu "+" bởi một dấu "-" thì kết quả dãy tính trên sẽ giảm đi số đơn vị bằng 2 lần số đứng liền sau dấu trừ. Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 - 2 x 5.
 Bài giải : Giả sử ta điền tất cả các dấu + vào các ô trống, thì được tổng của vế trái là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
 Vì 45 > 33 nên không thể điền toàn dấu (+) mà phải thay một số dấu (+) bởi một số dấu (-) sao cho kết quả dãy tính giảm đi: 45 - 33 = 12.
 Ta nhận thấy mỗi lần thay một dấu "+" bởi một dấu "-" thì kết quả dãy tính trên sẽ giảm đi số đơn vị bằng 2 lần số đứng liền sau dấu trừ. Vậy tổng tất cả các số đứng liền sau dấu trừ là: 12 : 2 = 6.
 Vì 6 = 5 + 1 = 4 + 2 nên ta có 3 cách điền như sau:
 * 9 + 8 + 7 - 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 33
 * 9 + 8 + 7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 - 1 = 33
 * 9 + 8 + 7 + 6 + 5 - 4 +3 - 2 + 1 = 33
 Bài toán 4 : Trên bảng viết 100 dấu cộng và 101 dấu trừ. Mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc: nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngược lại. Hỏi rằng nếu làm như trên nhiều lần thì trên bảng có thể có 101 dấu cộng và 100 dấu trừ hay không?
 Phân tích : Khi xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngược lại thì có 3 khả năng xẩy ra:
 - Nếu xoá đi 2 dấu cộng thì viết lại 2 dấu trừ, do đó số dấu cộng giảm đi 2 dấu.
 - Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì viết lại 2 dấu cộng, do đó số dấu cộng tăng lên 2 dấu.
 - Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì viết lại 1 dấu trừ và 1 dấu cộng, do đó số dấu cộng không đổi. Như vậy, tính bất biến là: mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngược thì số lượng dấu cộng hoặc tăng lên 2 dấu, hoặc giảm đi 2 dấu, hoặc không đổi.
 Bài giải : Nếu xoá đi 2 dấu cộng thì viết lại 2 dấu trừ, do đó số dấu cộng giảm đi 2 dấu. Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì viết lại 2 dấu cộng, do đó số dấu cộng tăng lên 2 dấu. Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì viết lại 1 dấu trừ và 1 dấu cộng, do đó số dấu cộng không đổi. Như vậy, mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kỳ và viết lại 2 dấu khác theo quy tắc nếu xoá dấu cộng thì viết lại dấu trừ và ngược thì số lượng dấu cộng hoặc tăng lên 2 dấu, hoặc giảm đi 2 dấu, hoặc không đổi.
 Lúc đầu trên bảng có 100 dấu cộng (là số chẵn) nên nếu làm như trên nhiều lần thì số dấu cộng trên bảng vẫn luôn là một số chẵn. Mà 101 là số lẻ, vậy trên bảng không thể có 101 dấu cộng và 100 dấu trừ được.
 Bây giờ các bạn hãy thử sức mình giải bài toán sau nhé.
 Bài toán. Trên bảng viết 100 dấu cộng và 101 dấu trừ. Với 200 lần thực hiện, mỗi lần xoá đi 2 dấu bất kì rồi lại thêm vào một dấu (cộng hoặc trừ) để cuối cùng trên bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất. Biết rằng dấu được thêm vào sẽ là dấu trừ nếu trước đó đã xoá đi 2 dấu khác nhau, ngược lại dấu được thêm vào sẽ là dấu cộng. Hỏi dấu còn lại trên bảng là dấu gì ?
 _________________________________________________
Đáp án
 Ta thấy, nếu xoá đi hai dấu cộng thì phải thêm vào một dấu cộng, vì vậy số dấu trừ trên bảng không thay đổi.
 Nếu xoá đi 2 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu cộng, vì vậy số dấu trừ giảm đi 2.
 Nếu xoá đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu trừ, vì vậy số dấu trừ trên bảng không thay đổi.
 Như vậy, tính bất biến là: sau mỗi lần thực hiện việc xoá và thêm dấu, số dấu trừ trên bảng hoặc không thay đổi hoặc giảm đi 2.
 Mặt khác, số dấu trừ ban đầu là số lẻ (101 dấu) nên sau mỗi lần thực hiện thì số dấu trừ còn lại trên bảng bao giờ cũng là số lẻ.
 Sau 200 lần thực hiện, trên bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất mà dấu trừ không thể mất hết nên dấu còn lại trên bảng phải là dấu trừ.
 Bài toán : Cho 10 chữ số được xếp theo thứ tự như sau: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.
Hãy đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số sao cho được tổng có giá trị bằng 100.
 Bài giải : Giả sử ta điền tất cả các dấu cộng vào giữa 10 chữ số đã cho thì được tổng là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45. 
 Vì 45 < 100 nên trong tổng phải có ít nhất 1 số có 2 chữ số, do đó phải bỏ đi một số dấu cộng. Ta nhận thấy nếu bỏ đi một dấu (+) nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trước dấu (+) vừa bỏ (tức là tăng thêm một số chia hết cho 9). Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 10 = 45 + 9 x 1.
 Ta thấy 45 là số chia hết cho 9. Mà mỗi lần bỏ đi một dấu cộng thì tổng tăng thêm một số đơn vị chia hết cho 9. Nên tổng thu được luôn luôn là một số chia hết cho 9.
 Tuy nhiên 100 lại là số không chia hết cho 9. Vì vậy không thể đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số để được tổng có giá trị bằng 100 được.
 _____________________________________________