Bài tập Chuyên đề 7: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 1. Trong Oxy cho A(3; 1); B(-1; 2) và đường thẳng d: x - 2y +1 = 0. Tìm toạ độ điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC:
Cân với đáy là AB. 	ĐS: C(6/7; 13/14).
Vuông tại C.	ĐS: C1(3; 2), C2(-3/5; 1/5)
Bài 2. Trong Oxy cho A(1; -1), B(5; -3), C thuộc trục Oy. Tìm toạ độ diểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G thuộc trục Ox.
Bài 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết:
Toạ độ đỉnh B(-4; -5), hai đường cao của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0; 3x + 8y + 13 = 0. 
 ĐS: 8x - 3y + 17 = 0; 3x - 5y - 13 = 0; 5x + 2y - 1 = 0.
Toạ độ đỉnh A(1; 3) và hai trung tuyến của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: x - 2y + 1 = 0; y - 1 = 0. 
 ĐS: x +2y - 7 = 0; x - 4y - 1 = 0; x - y + 2 = 0.
Toạ độ đỉnh C(4; -1) đường cao và trung tuyến của tam giác kẻ từ cùng một đỉnh lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 2x - 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0. 
 ĐS: 3x +7y -5 = 0; 3x +2y - 10 = 0; 9x +11 y + 5 = 0.
Toạ độ đỉnh A(-1; 3). Đường cao BH và phân giác trong CK của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: x- y = 0; x+3y+2 = 0.
 ĐS: x +y - 2 = 0; x - 7y - 18 = 0; 3x - y + 6 = 0. 
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(2;4) cách đều hai điểm M(-1; 3) và N(5;1).
Bài 5. Cho tam giác ABC có diện tích S = 3/2. Toạ độ các đỉnh A(2; -3); B(3; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x - y - 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C. ĐS: C(- 2; -10); (1; -1). 
Bài 6. Viết phương trình của đường tròn (C) biết:
Có tâm I(5; 6) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: 3x - 4y - 6 = 0.
Đi qua ba điểm A(0; 6); B(4; 0); C(3; 0).
Đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ.
Tiếp xúc với d: x + y + 13 = 0 và tiếp xúc với d’: 7x - y - 5 = 0 tại M(1; 2).
Viết pt đường tròn có tâm thuộc d: 2x + y = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình là: 4x - 3y + 10 = 0 ; 4x - 3y + 30 = 0.
Bài 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x +8y - 6 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
Tiếp điểm (1; 1).
Tiếp tuyến đi qua D(0; 2).
Chứng minh đường thẳng : x + (m-1)y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm m để MN nhỏ nhất.
 Bài 8(ĐH-KA-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) nằm trên đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y - 5 = 0. Viết PT đường thẳng AB.	
 ĐS: y - 5 = 0; x - 4y + 19 = 0. 
Bài 9 (ĐH-KB-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x - y - 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18: 	ĐS: 
Bài 10 (ĐH-KD-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2 + y2=1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO=300. ĐS: . 
Bài 11. Cho đường tròn (C): (x-1)2 + y2 = 1 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0.
Tìm điểm A thuộc d sao cho từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau một góc 600.
Bài 12. Cho A(8;0) ; B(0;6). Viết pt đường tròn
 1) Ngoại tiếp tam giác OAB 
 2) Nội tiếp tam giác OAB
Bài 13. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đường thẳng có phương trình lần lượt là: 4x - 3y - 65 = 0 ; 7x - 24y + 55 = 0 ; 3x + 4y - 5 = 0
HD: A(11;-7) ; B(23;9) ; C(-1;2) . AB = 20 ; BC =25 ; CA =15 => tam giác tại A. S =150 , p=30 r =5 I (10;0)
Bài 14. Viết pt tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 Biết: 
 1. Tiếp điểm M (2;2) 2. Tiếp tuyến đi qua A (2;5) 3. Hệ số góc k = 1
Bài 15. Viết pt tiếp tuyến chung của hai đường tròn : 
(C1) : x2 + y2 - 6x + 5y = 0; (C2) : x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0 
Bài 16. Lập phương trình đường tròn đi qua A (2;1) và các giao điểm của đường tròn: 
 x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 và đường thẳng: x - 2y + 6 = 0
Bài 17. Viết pt đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết: A(-1;7) ; B(4;-3) ; C(-4;1) 
 ĐS : (x + 1)2 + (y - 2)2 = 0 
Bài 18. Viết pt đường thẳng đi qua O(0;0) và cắt (C): x2 + y2 - 2x + 6y - 15 = 0 bởi dây cung AB . biết:
 1) dây cung AB lớn nhất (nhỏ nhất) 2) AB = 8 
Bài 19. Cho họ đường cong: (Cm): x2 + y2 - 2x - 2y + m = 0 (m là tham số ). Với điều kiện nào của m thì(Cm) là đường tròn. Tìm m để (Cm) có R = 1. Gọi đường tròn này là (C). Viết pt tiếp tuyến của (C) tại . 
Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho ABC tại A. Phương trỡnh đường thẳng BC: x - y -= 0 ; các đỉnh A, B thuộc Ox và R đường tròn nội tiếp r = 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC . HD: A(0;0), B(1;0) S = p.r = 2 + 2 G1, G2.
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của Elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. ĐS: 
Bài 22. Tong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và Elíp (E) . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và ABC đều. ĐS
Bài 23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E): và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm của AB. 
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E) hai điểm M, N lần lượt di động trên các tia Ox và Oy sao cho MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N sao cho MN nhỏ nhất.
Bài 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x+5)2 + y2 = 441; 
(C2) : (x-5)2 + y2 = 25. Gọi M là tâm của đường tròn (C) di động sao cho (C) tiếp xúc trong với (C1), tiếp xúc ngoài với (C2). Tìm quỹ tích điểm M. ĐS: 
Bài 26. (ĐH-KA-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 = 8. Viết phương trỡnh chớnh tắc của (E), biết rằng (E) cú độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn đỉnh của một hỡnh vuụng. ĐS: .
Bài 27. Cho (E): = 1 và đường thẳng d: x + y - 4 = 0. Tìm điểm M thuộc (E) và N thuộc d, sao cho đoạn MN ngắn nhất.
BÀI TẬP LÀM THấM
Bài 28 (ĐH-KA-2013). Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(- 4; 8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đường thẳng MD. Tỡm tọa độ cỏc điểm B và C, biết rằng N(5; - 4). 
 ĐS: B( - 4; - 7), C(1; - 7).
Bài 29 (CĐ – 2013). Cho cỏc đường thẳng d: x + y – 3 = 0, ∆: x – y + 2 = 0 và điểm M(- 1; 3). Viết phương trỡnh đường trũn đi qua M cú tõm thuộc d và cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = .	ĐS: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5. 
Bài 30 (KB – 2013). Cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc và AD = 3BC. Đường thẳng BD cú phương trỡnh x + 2y – 6 = 0 và tam giỏc ABD cú trực tõm H(- 3; 2). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh C và D. 	ĐS: C( - 1; 6), D(4; 1) hoặc D(-7; 8).
Bài 31 (KD – 2013). Cho tam giỏc ABC cú điểm là trung điểm của cạnh AB, điểm H(- 2; 4) và điểm I(- 1; 1) lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B và tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Tỡm tọa độ điểm C. 	ĐS: C(4; 1) hoặc C(-1; 6).
Bài 32. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh AB và hai đường cao AH, BK lần lượt cú phương trỡnh: 5x – 3y + 2 = 0, 4x – 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0. 	 ĐS: A( - 1; -1), B(2; 4), C(6; 1).
Bài 33. Cho tam giỏc ABC cú A( -1; - 3), trọng tõm G(4; -2), đường trung trực của cạnh AB cú phương trỡnh là d: 3x + 2y – 4 = 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B, C. ĐS: B(5; 1), C(8; -4).
Bài 34. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm I(6; - 4), phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa cỏc cạnh AB: 9x + 11y + 5 = 0, AD: 3x + 7y – 5 = 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C, D.
Bài 35. Cho điểm I(- 2; 0) và hai đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0; d’: x + y – 3 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng ∆ đi qua I cắt d, d’ lần lượt tại A, B sao cho . ĐS: 7x – 37 + 14 = 0.
Bài 36. Cho tam giỏc ABC cú A(-6; -3), B(-4; 3), C( 9; 2). Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A.	ĐS: x – y + 3 = 0.
Bài 37. Cho hai đường thẳng d1: 2x – y + 1 = 0, d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng d qua gốc tọa độ sao cho d cựng với d1, d2 tạo thành tam giỏc cõn cú đỉnh là d1 giao d2.
 	 ĐS: 3x + y = 0; x – 3y = 0.
Bài 38. (ĐH-KB-2008) Tỡm tọa độ đỉnh C của tam giỏc ABC biết hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn AB là H( - 1; -1), đường phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh là x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là: 4x + 3y – 1 = 0. ĐS: .
Bài 39. (ĐH-KA-2010) Cho tam giỏc ABC cõn tại A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của cỏc cạnh AB, AC cú phương trỡnh là x + y – 4 = 0, điểm E(1; - 3) nằm trờn đường cao kẻ từ C. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B và C của tam giỏc ABC. ĐS: B(-6; 2), C(2; - 6) hoặc B(0; -4), C(- 4; 0).
Bài 40. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm I(1/2; 0), phương trỡnh đường thẳng AB: x–2y + 2=0 và AB = 2AD. Lập phương trỡnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật biết điểm A cú hoành độ õm. 
Bài 41. (ĐH-KA- 2012) Trong mặt phẳng Oxy cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử và đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh A. ĐS: A(4; 5) hoặc A(1; -1).
Bài 42. Cho tam giỏc ABC cú A(4; -1) và phương trỡnh hai đường phõn giỏc BB1: x – 1 = 0, CC1: x – y – 1 = 0. Tớnh tọa độ cỏc đỉnh B, C. ĐS: B(1; 5); C(- 4; - 5). 
Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: và d2: Gọi A là giao của d1 và d2. Lập phương trỡnh đường thẳng ∆ cắt d1, d2 lần lượt tại B, C sao cho tam giỏc ABC đều và cú diện tớch bằng .
Bài 44.Viết phương trỡnh cạnh AB của hỡnh chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua cỏc điểm M(4; 5), N(6; 5), P(5; 2), Q(2;1) và diện tớch hỡnh chữ nhật bằng 16. 
 	ĐS: x – y + 1 = 0 hoặc x – 3y + 11 = 0. 
Bài 45. (ĐH-KD-2010) Cho tam giỏc ABC cú A(3; -7), trực tõm H(3; -1), tõm đường trũn ngoại tiếp I(- 2; 0). Tỡm tọa độ đỉnh C biết C cú hoành độ dương. ĐS: 
Bài 46. (ĐH-KB-2005) Cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trỡnh đường trũn (C) tiếp xỳc với trục Ox ở A và cú tõm I cỏch B một đoạn bằng 5.
	 ĐS: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49.
Bài 47. Cho đường trũn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng d: x + my – 2m + 3 = 0. Tỡm m để d cắt (C) tõm I ở hai điểm A, B sao cho diện tớch tam giỏc IAB lớn nhất. 
 ĐS: m = 0; m = .
Bài 48. (ĐH-KA-2005) Cho hai đường thẳng d1: x – y = 0, d2: 2x + y – 1 = 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và cỏc đỉnh B, D thuộc trục hoành.	 ĐS: A(1; 1), B(0; 0), C(1; -1), D( 
Bài 49. Cho hai điểm A(1; 1), B(0; 2) và đường trũn (C): x2 + y2 – 10x – 10y + 34 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn (C2) đi qua A, B và tiếp xỳc ngoài với (C). ĐS: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1.
Bài 50. Cho hệ phương trỡnh . Tỡm a để hệ cú hai nghiệm (x1; y1), (x2; y2), chứng minh rằng .
Bài 51. (ĐH-KB-2006) Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 ; 1). Gọi T1T2 là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trỡnh đường thẳng T1T2.	ĐS: 2x + y – 3 = 0.
Bài 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip (E): nội tiếp trong hỡnh vuụng. Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa cỏc cạnh của hỡnh vuụng đú.
	ĐS: x + y + 3 = 0, x + y – 3 = 0, x – y + 3 = 0, x – y – 3 = 0.
Bài 53. Cho Elip (E): và điểm M(8; 6). Qua M vẽ cỏc tiếp tuyến với (E). Giả sử T1, T2 là cỏc tiếp điểm. Viết phương trỡnh đường thẳng T1T2. ĐS: 128x + 150y – 400 = 0.
Bài 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip (E): x2 + 4y2 = 4 và M(2; 2). Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua M, cắt (E) tại A, B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch lớn nhất.
Bài 55. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 và điểm C(2; 0). Xỏc định vị trớ cỏc điểm A, B trờn (E) thỏa món:
Tam giỏc ABC đều. 	ĐS: hoặc .
Tam giỏc ABC vuụng tại C và cú diện tớch lớn nhất. ĐS: .