Bài tập Đại số 12 - Phần 1

 1 
Phần 1 
ĐẠI SỐ 
Chương 1 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 
Dạng 1: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 
Bài 1. 
Giải hệ phương trình: 
 2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
  

   
ĐS:        3;2 , 2;3 , 3; 7 , 7, 3    
Bài 2. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
   

  
ĐS:        2;1 , 1;2 , 1; 2 , 2; 1    
Bài 3. DBA05 
Giải hệ phương trình: 
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
    

    
ĐS:        2; 2 , 2; 2 , 2;1 , 1; 2    
Bài 4. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1 1 4
1 1 4
x y
x y
x y
x y
    

    

ĐS:  1;1 
Bài 5. 
Cho hệ phương trình: 
2 2
1x y
x y m
  

 
a, Giải hệ phương trình khi 1
2
m  . 
b, Tìm m để hệ có nghiệm. 
ĐS: a, 
1 1 1 1 1 1 1 1; , ; , ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2
                 
       
 b, 1 1
2
m  
Bài 6. 
Cho hệ phương trình: 
2 2 8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m
    

  
 2 
a, Giải hệ khi 12m  . 
b, Tìm m sao cho hệ có nghiệm. 
ĐS: a,                3;1 , 3; 2 , 2;1 , 2; 2 , 1; 3 , 1;2 , 2; 3 , 2; 2         b, 33 16
16
m   
Bài 7. D07 
Cho hệ phương trình: 
3 3
3 3
1 1 5
1 1 15 10
x y
x y
x y m
x y
    

     

Tìm m để hệ có nghiệm thực. 
ĐS: 
7 2
4
m  hoặc 22m  
Dạng 2: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 
Bài 1. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
   

  
ĐS:    1;1 , 2;2 
Bài 2. 
Giải hệ phương trình: 
1 32
1 32
x
y x
y
x y
  

  

ĐS:        1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2; 2    
Bài 3. B03 
Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
23
23
yy
x
xx
y
 


 

ĐS:  1;1 
Bài 4. 
Giải hệ phương trình: 
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
  

 
ĐS:      0;0 , 11; 11 , 11; 11  
Bài 5. 
Cho hệ phương trình: 
2
2
( ) 2
( ) 2
y x y m
x x y m
   

  
a, Giải hệ khi m = 0. 
 3 
b, Tìm m để hệ có duy nhất một nghiệm. 
ĐS: a,    0;0 , 2;2 b, 1
2
m   
Bài 6. 
Cho hệ phương trình: 
3
3
2
2
x y x m
y x y m
   

  
a, Giải hệ phương trình khi m = 2. 
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
ĐS: a,    1; 1 , 2;2  b, 2, 2m m   
Dạng 3. HỆ ĐẲNG CẤP 
Bài 1. 
 Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y
   

  
ĐS:     5 1 5 13;2 , 3; 2 , ; , ;
2 2 2 2
   
      
   
Bài 2. 
Giải hệ phương trình: 
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
  

  
ĐS:    2; 1 , 2;1  
Bài 3. 
Giải hệ phương trình: 
2
2
12
26
xy y
x xy m
  

  
a, Giải hệ phương trình khi m = 2. 
b, Tìm m để hệ có nghiệm. 
ĐS: a,    7;3 , 7; 3  b, 14m   
Dạng 4. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 
Bài 1. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
  

 
ĐS:   11;2 , ;1
2
 
 
 
Bài 2. D09 
Giải hệ phương trình: 2
2
( 1) 3 0
5( ) 1 0
x x y
x y
x
   


   
 4 
ĐS:   31;1 , 2;
2
  
 
Bài 3. 
Giải hệ phương trình: 
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
    

   
ĐS:      0;0 , 3;2 , 2; 3  
Bài 4. A03 
Giải hệ phương trình: 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
   

  
ĐS:   1 5 1 5 1 5 1 51;1 , ; , ;
2 2 2 2
          
      
   
Bài 5. 
Giải hệ phương trình: 
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y y x x
  

  
ĐS: 
1 1, 2 , ;3
3 2
       
   
Bài 6. B08 
Giải hệ phương trình: 
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
    

  
ĐS: 
174;
4
   
 
Bài 7. A08 
Giải hệ phương trình: 
2 3 2
4 2
5
4
5(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
      

     

ĐS: 3 3
5 25 3; , 1;
4 16 2
           
Bài 8. B09 
Giải hệ phương trình: 
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
  

  
ĐS:  11; , 3;1
3
 
 
 
Bài 9. A11 
 5 
Giải hệ phương trình: 
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
     

   
ĐS:     2 10 10 2 10 101;1 , 1; 1 , ; , ;
5 5 5 5
   
        
   
Bài 10. D11 
Cho hệ phương trình: 
3 2
2
2 ( 2)
1 2
x y x xy m
x x y m
    

   
Tìm m sao cho hệ có nghiệm thực. 
ĐS: 
2 3
2
m  
Bài 11. A12 
Giải hệ phương trình: 
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
  

     
ĐS:   1 5 1 51;1 , ; 5 , ; 5
2 2
      
      
   
Bài 12. 
Giải hệ phương trình: 
9 3 3
2 2 0
x x y y
x y y x
   

  
ĐS:      0;0 , 1; 1 , 1;1  
Bài 13. 
Giải hệ phương trình: 
4 2
3 4
1
2 4
x y
x y y x
  

  
ĐS: HPT vô nghiệm. 
Bài 14. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 3 2 0
6 1 0
x y xy x y
x y x
     

   
ĐS:   1 21; 2 , ;
5 5
    
 
Chương 2 
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT 
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
Bài 1. D06 
Giải phương trình: 22 1 3 1 0x x x     
 6 
ĐS: 1, 2 2x x   
Bài 2. 
Giải phương trình: 5 1 3 2 1x x x     
ĐS: x = 2. 
Bài 3. 
Giải phương trình:   2 23 10 12x x x x     
ĐS: x = -3. 
Bài 4. 
Giải phương trình: 2( 1) ( 2) 2x x x x x    
ĐS: 
90,
8
x x  
Bài 5. 
Giải phương trình: 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
ĐS: x = 4, x = 5. 
Bài 6. 
Giải phương trình:  3 2 2 2 6x x x     
ĐS: 
11 3 53,
2
x x   
Bài 7. 
Giải phương trình: 22 1 ( 1) 0x x x x x x       
ĐS: x = 2. 
Bài 8. 
Giải phương trình: 22 4 2 5 2 5x x x x x       
ĐS: x = 3. 
Bài 9. B10 
Giải phương trình: 23 1 6 3 14 8 0x x x x       
ĐS: x = 5. 
Bài 10. 
Giải phương trình: 3 3 31 2 3 0x x x      
ĐS: x = -2. 
Bài 11. 
Giải phương trình: 2 23 2 1x x x x      
ĐS: 
1 5
2
x  
Bài 12. 
Giải phương trình: 211 1
3
x x x x     
ĐS: x = 0, x = 1. 
Bài 13. 
Giải phương trình: 2 23 1 ( 3) 1x x x x     
 7 
ĐS: 2 2x   
Bài 14. A09 
Giải phương trình: 32 3 2 3 6 5 8 0x x     
ĐS: x = -2. 
Bài 15. 
Giải phương trình: 3 3 32 2 24 4 4 2 1 4 2x x x x x x        
ĐS: 
10
7
x  
Bài 16. B11 
Giải phương trình: 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x       
ĐS: 
6
5
x  
Bài 17. 
Giải phương trình: 3 31 2 2 1x x   
ĐS: 
1 51,
2
x x    
Bài 17+. 
Giải phương trình:    2 23 3 32 7 (7 )(2 ) 3x x x x       
ĐS: x = 1, x = -6 
Bài 18. 
Giải phương trình:  2 3 3 21 1 (1 ) (1 ) 2 1x x x x        
ĐS: 
1
2
x  
Bài 19. 
Giải phương trình: 24 1 4 1 1x x    
ĐS: 
1
2
x  
Bài 20. 
Giải phương trình: 2 215 3 2 8x x x     
ĐS: x = 1. 
Bài 21. C12 
Giải phương trình:  34 1 2 1 0x x x x     
ĐS: 
1 5
4
x  
Bài 22. 
Giải phương trình: 2 4 6 2 3 5 2 0x x x x        
ĐS: x = 2. 
Bài 23. 
Giải phương trình: 4 244 1 8 3 4 3 5x x x x x      
 8 
ĐS: 
1
2
x  . 
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH CĂN CHỨA THAM SỐ 
Bài 24. B07 
Chứng minh với mọi m dương thì phương trình: 2 2 8 ( 2) 0x x m x     luôn có 2 
nghiệm thực phân biệt. 
Bài 25. B06 
Tìm m để phương trình: 2 2 2 1x mx x    có hai nghiệm thực. 
ĐS: 
9
2
m  . 
Bài 26. A07 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 243 1 1 2 1x m x x     . 
ĐS: 
11
3
m   
Bài 27. B04 
Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 
 2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x          
ĐS: 2 1 1m   . 
Bài 28. A08 
Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
4 42 2 2 6 2 6x x x x m      . 
ĐS:    342 6 6 3 4 4m    
Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
Bài 1. B02 
Giải hệ phương trình: 
3
2
x y x y
x y x y
   

   
ĐS: 
3 1;
2 2
 
 
 
Bài 2. A06 
Giải hệ phương trình: 
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
ĐS:  3;3 
Bài 3. D08 
 9 
Giải hệ phương trình: 
 
2 22
2 1 2
xy x y x y
x y y x x y
    

   
ĐS:  5;2 
Bài 4. A10 
Giải hệ phương trình: 
   2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
     

   
ĐS: 1 ;2
2
 
 
 
Bài 5. 
Giải hệ phương trình: 
   
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
   

   
ĐS:    3;3 , 3;3 
Bài 6. 
Giải hệ phương trình: 
4 4
2 2 2 2
144x y
x y x y y
  

   
ĐS:    2 5;4 , 2 3;0  
Bài 7. 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
          

         
ĐS:  4;4 
Bài 8. D04 
Tìm m sao cho hệ phương trình: 
1
1 3
x y
x x y y m
  

  
 có nghiệm. 
ĐS: 
10
4
m  
Bài 9. 
Cho hệ phương trình: 
1 2
1 2
x y m
y x m
    

   
a, Giải hệ phương trình khi m = 9. 
b, Tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm. 
ĐS: a,  3;3 b, 3m  
Bài 10. 
Cho hệ phương trình: 
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x y x m
    

       
 10 
a, Giải hệ phương trình khi m = 6. 
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. 
ĐS: a,    3;0 , 0;3 b, 270
4
m  
Bài 11. 
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm thực: 
 
24
3 2 2 2 1 0
3 1 10 2 2 1
x x y y
y m x y
     

    
ĐS: 
1 1
6 2
m   
Bài 12. B13 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
      

      
ĐS:    0;1 , 1;2 
Bài 13. A13 
Giải hệ phương trình: 
 
44
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
      

     
ĐS:    1;0 , 2;1 
Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
Bài 1. D02 
Giải bất phương trình:  2 23 2 3 2 0x x x x    
ĐS:    1; 2 3,
2
       
Bài 2. 
Giải bất phương trình:      5 3 4 4 1x x x    
ĐS:   4; 5 ;4
3
     
 
Bài 3. A05 
Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x     
ĐS: 2 10x  
Bài 4. A04 
Giải bất phương trình: 
 22 16 73
3 3
x xx
x x
 
  
 
ĐS: 10 34x   
Bài 5. A10 
 11 
Giải bất phương trình: 
2
1
1 2( 1)
x x
x x


  
ĐS: 
3 5
2
x  
Bài 6. DB D08 
Giải bất phương trình:      221 3 2 3 2 1x x x x x        
ĐS: 1 3 1 3x    
Bài 7. 
Giải bất phương trình: 
 
2
2
2 21
3 9 2
x x
x
 
 
ĐS: 
9 7;0 0,
2 2
         
Bài 8. DB A08 
Giải bất phương trình: 2 2
1 31
1 1
x
x x
 
 
ĐS: 
1 21; ;1
2 5
  
   
   
Bài 9. 
Giải bất phương trình: 21 4 1 3x x x x     
ĐS:  10; 4;
2
    
Bài 10. 
Cho bất phương trình: 1x x m   . Tìm tham số m dương để bất phương trình có 
nghiệm. 
ĐS: 0 1m  
Bài 11. 
Tìm m sao cho bất phương trình:    2 2 2 1 2 0m x x x x      
có nghiệm x trên 0,1 3   . 
ĐS: 
2
3
m  
Bài 12. CĐ13 
Tìm m để bất phương trình  2 1 4x m x m     có nghiệm. 
ĐS: 2m  
Chương 3 
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 12 
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Bài 1. 
Giải các phương trình sau: 
a, 3 1 2 3 0x x    
b, 31 1x x x    
c, 2 5 1 1 0x x    
ĐS: a, 
24,
5
x x   b, 0x  c, 1, 4, 6x x x    
Bài 3. 
Giải phương trình: 2 22 6 8 1 30x x x     
ĐS: 1, 5x x   
Bài 4. 
Giải phương trình: 52 2 1 2 2 1
2
xx x x x         
ĐS: 3, 1x x   
Bài 5. 
Giải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x      
ĐS: 2x  
Bài 6. 
Tìm m sao cho phương trình: 2 22 10 8 5x x x x m      có 4 nghiệm phân biệt. 
ĐS: 
434
4
m  
Dạng 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Bài 1. 
Giải các bất phương trình sau: 
a, 22x x x  
b, 2 2 3 3 3x x x    
c, 3 1 1x x   
d, 
2
2
3 1 3
1
x x
x x
 

 
e, 
3
1
2
x x
x
 


ĐS: a, 0, 1x x  b, 2 5x  c, 1, 0x x   d, 3 5 3 5,
2 2
x x     
e, 5 2, 1x x      
 13 
Bài 2. 
Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 
2 2 4 5 0x mx x m     
ĐS: 2 2m   
Bài 3. 
Cho bất phương trình:  2 1a x a x    
Tìm a để bất phương trình có nghiệm trên  0,2 . 
ĐS: 1, 5a a   
Chương 4 
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Bài 1. 
Giải phương trình: 
2 2
2 4.2 2 4 0x x x x x     
ĐS: x = 1, x = 0. 
Bài 2. 
Giải phương trình: 
2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x        
ĐS: 1, 5, 2x x x     
Bài 3. 
Giải phương trình:  
22 2 114 2 2 1xx x x     
ĐS: 1, 0x x   
Bài 4. D10 
Giải phương trình: 
3 32 2 2 2 4 44 2 4 2x x x x x x        
ĐS: 2, 1x x  
Bài 5. 
Giải phương trình: 
1
5 .8 500
x
x x

 
ĐS: 53, log 2x x  
Bài 6. 
Giải phương trình: 
2 2 32 .3
2
x x x  
ĐS: 21, 1 log 3x x   
Bài 7. 
Giải phương trình: 2 24 16 10.2x x   
ĐS: x = 3. 
Bài 8. 
Giải phương trình: 3 1125 50 2x x x  
 14 
ĐS: x = 0. 
Bài 9. 
Giải phương trình:  
3
3 1
1 122 6.2 1
22
x x
xx    
ĐS: x = 1. 
Bài 10. 
Giải phương trình:    2 1 2 1 2 2 0x x     
ĐS: 1x   
Bài 11. 
Giải phương trình: 8 18 2.27x x x  
ĐS: x = 0. 
Bài 12. 
Giải phương trình:  9 2 2 3 2 5 0x xx x     
ĐS: x = 1. 
Bài 13. 
Giải phương trình: 12 4 1x x x    
ĐS: x = 1. 
Bài 14. 
Giải phương trình: 
2
2 2
1 1 2 1 12 2
2
x x
x x
x
 
   
ĐS: x = 2. 
Bài 15. 
Giải phương trình: 
2 2sin os3 3 os2x c x c x  
ĐS: 
4 2
x k   
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CÓ THAM SỐ 
Bài 16. 
Cho phương trình:    2 3 2 3x x m    
a, Giải phương trình khi m = 4. 
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
ĐS: a, x = -1, b, m > 2 
Bài 17. 
Cho phương trình: 16 2.81 5.36x x xm   
a, Giải phương trình khi m = 3. 
b, Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 
ĐS: a, 
1
2
x  , b, 25 , 0
8
m m  
Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Bài 1. 
 15 
Giải hệ phương trình: 
2 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y

  

 

 
ĐS:    0;1 , 2;4 
Bài 2. 
Tìm cặp số dương ,x y thỏa mãn: 
5
4 3
3 1
xy
y xx y
x y
    


 
 
ĐS:   11;1 , 2;
8
 
 
 
Bài 3. 
Giải hệ phương trình: 
 
 
4
4
4
4
3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y


  

  
ĐS:    4 415;12 , 15;12 
Bài 4. 
Giải hệ phương trình: 
   
2 2
2 2 2
2
x y y x xy
x y
    

 
ĐS:    1;1 , 1; 1  
Bài 5. D04 
Giải hệ phương trình: 
2 2
12 2x y x
x y y x
x y 
   

  
ĐS:    1; 1 , 1;0  
Bài 6. 
Giải hệ phương trình: 
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
x y y


     

    
ĐS:  1;1 
Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Bài 1. 
Giải bất phương trình: 
2 2 22 1 24 .2 3.2 8 12 .2x x xx x x x     
ĐS: 2 1, 2 3x x      
Bài 2. 
Giải bất phương trình: 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x     
ĐS: x > 5 
Bài 3. 
 16 
Giải bất phương trình:  
2
2 31 1
x
xx x

   
ĐS: 3, 2 1, 0x x x     
Bài 4. 
Giải bất phương trình: 
2
1
2 13
3
x x
x x
 
    
 
ĐS: 2x  
Bài 5. 
Giải bất phương trình:  4 1 2 18 8x xx e x x e    
ĐS: 2x   
Bài 6. 
Giải bất phương trình: 
12 2 1 0
2 1
x x
x
  


ĐS: 0, 1x x  
Bài 7. 
Giải bất phương trình: 1 2 1 23 2 12 0
x
x x    
ĐS: x > 0 
Bài 8. 
Giải bất phương trình: 
2 22 4 2 2 12 16.2 2 0x x x x      
ĐS: 1 3 1 3x    
Bài 9. 
Giải bất phương trình: 2 1 2 13 2 5.6 0x x x    
ĐS: 3
2
log 2x  
Bài 10. 
Giải phương trình: 4 4 18.3 9 9x x x x   
ĐS: 0 16x  
Bài 11. 
Tìm tất cả giá trị a để bất phương trình:   2.9 1 3 1 0x xa a a     nghiệm đúng x  . 
ĐS: 1a  
Bài 12. 
Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình sau nghiệm đúng 0x  . 
     1.2 2 1 3 5 3 5 0x xxa a       
ĐS: 
1
2
a  
Chương 5 
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
– BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 17 
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Bài 1. 
Giải phương trình:    2 22 2 2log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x       
ĐS: x = 0, x = -5. 
Bài 2. 
Giải phương trình: 5 3 5 9log log log 3.log 225x x  
ĐS: x = 3. 
Bài 3. 
Giải phương trình:  229 33
1 1log 5 6 log log 3
2 2
xx x x     
ĐS: 
5
3
x  
Bài 4. 
Giải phương trình:    29 3 32 log log .log 2 1 1x x x   
ĐS: x = 1, x = 4. 
Bài 5. 
Giải phương trình:    2 34 82log 1 2 log 4 log 4x x x      
ĐS: x = 2, 2 2 6x   . 
Bài 6. 
Giải phương trình:  2 2log 2 log 4 3
x
x  
ĐS: x = 4. 
Bài 7. 
Giải phương trình:    12 1
2
log 4 4 log 2 3x xx     
ĐS: x = 2. 
Bài 8. B06 
Giải phương trình:    13 3log 3 1 .log 3 3 6x x   
ĐS: 3 3
28log , log 10
27
x x  
Bài 9. D07 
Giải phương trình:  2 2 1log 4 15.2 27 2log 04.2 3
x x
x   
ĐS: 2log 3x  
Bài 10. D11 
Giải phương trình:    22 2log 8 2 log 1 1x x x      
ĐS: x = 0. 
Bài 11. A08 
Giải phương trình:    222 1 1log 2 1 log 2 1 4x xx x x      
 18 
ĐS: x = 2, 
5
4
x  
Bài 12. 
Giải phương trình:    
2
22 2
log 4log 2 log 64 2.3 xx x  
ĐS: 
1
4
x  . 
Bài 13. 
Giải phương trình:    2 23 7 2 3log 9 12 4 log 6 23 21 4x xx x x x       
ĐS: 
1
4
x   
Bài 14. 
Giải phương trình:    2 2log log 22 2 2 2 1x xx x     
ĐS: x = 1. 
Bài 15. 
Giải phương trình:  5 7log log 2x x  
ĐS: x = 5. 
Bài 16. 
Giải phương trình: 
2
2
3 2
3log 3 2
2 4 5
x x x x
x x
 
  
 
ĐS: x = -1, x = -2. 
Bài 17. 
Giải phương trình:  2 23 3log 1 log 2x x x x x     
ĐS: x = 1. 
Bài 17+. D13 
Giải phương trình:    2 1 2
2
12log log 1 log 2 2
2
x x x x     
ĐS: 4 2 3x   
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ 
Bài 18. 
Cho phương trình: 2 23 3log log 1 2 1 0x x m     
a, Giải phương trình khi m = 2. 
b, Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 31,3   . 
ĐS: a, 33x  , b, 0 2m  
Bài 19. 
Cho phương trình: 21 1
2 2
( 1) log ( 2) ( 5) log ( 2) 1 0m x m x m        
Tìm m để phương trình có nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 22 4x x   . 
ĐS: 3 1m   
 19 
Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Bài 1. D10 
Giải hệ phương trình: 
2
2 2
4 2 0
2log ( 2) log 0
x x y
x y
    
   
ĐS:  3;1 
Bài 2. B10 
Giải hệ phương trình: 2
2
log (3 1)
4 2 3x x
y x
y
 

 
ĐS: 
11;
2
  
 
Bài 3. A09 
Giải hệ phương trình: 
 
2 2
2 2
2 2log 1 log ( )
3 81x xy y
x y xy
 
   


ĐS:    2;2 , 2; 2  
Bài 4. A04 
Giải hệ phương trình: 1 44
2 2
1log ( ) log 1
25
y x
y
x y
   

  
ĐS:  3;4 
Bài 5. B05 
Giải hệ phương trình: 
 2 39 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
    

 
ĐS:    1;1 , 2;2 
Bài 6. 
Giải hệ phương trình: 
8 8log log
4 4
4
log log 1
y xx y
x y
  

 
ĐS:   1 18;2 , ;
2 8
 
 
 
Bài 7. 
Giải hệ phương trình: 
 log 3 2 2
log (2 3 ) 2
x
y
x y
x y
  

 
ĐS:  5;5 
Bài 8. 
 20 
Giải hệ phương trình: 
2 2 2
3 3 3
3log 3 log log
2
2log 12 log log
3
xx y y
yx x y
   

   

ĐS:  1;2 
Bài 9. 
Giải hệ phương trình:  
3
3 41 1 3
log 1
y xx
x
x y
 
  

  
ĐS:  3;0 
Bài 10. 
Giải hệ phương trình: 
    33 log 2log
2 2
4 2
3 3 12
xy xy
x y x y
  

   
ĐS:    3 6;3 6 , 3 6;3 6    
Bài 11. 
Giải hệ phương trình: 
2 2 2
2
lg lg lg ( )
lg ( ) lg .lg 0
x y xy
x y x y
  

  
ĐS:  12; , 2;1
2
 
 
 
Bài 12. DB B03 
Giải hệ phương trình: 
2 2 3
log log
x y
y xxy y
  


ĐS: 2 2
3 3log ; log
2 2
x y   
 
Bài 13. 
Chứng minh với mọi a dương hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
   ln 1 ln 1x ye e x y
y x a
     

 
Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Bài 1. 
Giải bất phương trình:    2 34 16 7 log 3 0x x x    
ĐS: x > 4 , 
73
2
x  
Bài 2. D08 
 21 
Giải bất phương trình: 
2
1
2
3 2log 0x x
x
 
 
ĐS: 2 2 1 , 2 2 2x x      
Bài 3. B08 
Giải bất phương trình: 
2
0,7 6log log 04
x x
x
 
  
ĐS: 4 3, 8x x     
Bài 4. B06 
Giải bất phương trình:    25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1x x     
ĐS: 2 < x < 4 
Bài 5. A07 
Giải bất phương trình:    3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2x x    
ĐS: 
3 3
4
x  
Bài 6. B02 
Giải bất phương trình:  3log log 9 72 1xx     
ĐS: 9log 73 2x  
Bài 7. 
Giải bất phương trình:  23 1 1
3 3
1log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x      
ĐS: 10x  
Bài 8. 
Giải phương trình: 2 1log 1
1x
x
x



ĐS: 
3 5 1
2 2
x   , 3 51
2
x   
Bài 9. DB A06 
Giải bất phương trình:  1log 2 2x x   
ĐS: 2 3 0x    
Bài 10. 
Giải bất phương trình:    
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
  

 
ĐS: 4, 1 0x x    
Bài 11. 
Giải bất phương trình:  2 2 22 1 4
2
log log 3 5 log 3x x x    
ĐS: 
10 ,8 16
2
x x    
 22 
Bài 12. 
Giải bất phương trình:    2 29 3log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x      
ĐS: 7 1x    , 1 1
3
x   
Bài 13. 
Giải bất phương trình:    2 3log 2 1 log 4 2 2x x    
ĐS: 0x  
Bài 14. 
Giải bất phương trình:  3 66 64log logx x x  
ĐS: 0 64x  
Bài 15. 
Giải bất phương trình:  212 log 2 4x x x m x     
ĐS: 3m  
Bài 16. 
Cho bất phương trình:  2 22 4log 2 4 log 2 5x x m x x m      
Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi  0,2x . 
ĐS: 2 4m  
Chương 6 
BẤT ĐẲNG THỨC 
Dạng 1. DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
Bài 1. 
Cho a, b > 0 chứng minh: a b a b
b a
   . 
Bài 2. 
Cho các số dương a, b, c. Gọi: 
2 2 2a b cA
a b b c c a
  
  
 ; 
2 2 2b c aB
a b b c c a
  
  
. 
Chứng minh: 
a, A = B 
b, 
2
a b cA   . Khi nào dấu bằng xảy ra. 
Dạng 2. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 
Bài 3. 
 23 
Chứng minh: 12 15 20 3 4 5
5 4 3
x x x
x x x              
     
. 
Bài 4. 
Cho x, y, z > 0 sao cho xyz = 1 và n N . 
Chứng minh: 1 1 1 3
2 2 2
n n nx y z              
     
. 
Bài 5. 
Cho x, y, z > 0. Chứng minh: 2 2 2
1 1 1
2
x y z
x yz y zx z xy xyz
 
  
  
. 
Bài 6. 
Cho , ,x y z thỏa mãn 0x y z   . 
Chứng minh rằng: 3 4 3 4 3 4 6x y z      . 
Bài 7. 
Cho x, y, z dương thỏa mãn 1 1 1 4
x y z
   . 
Chứng minh: 1 1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
  
     
Bài 8. 
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1. 
Chứng minh: 
3 3 3 3 3 31 1 1 3 3
x y y z x z
xy yz xz
     
   . 
Dạng 3. DÙNG VECTƠ 
Bài 11. 
Cho x, y, z dương và 1x y z   . 
Chứng minh: 2 2 22 2 2
1 1 1 82x y z
x y z
      . 
Dạng 4. ÁP DỤNG DẤU TAM THỨC BẬC HAI 
Bài 12. 
Chứng minh , ,x y z R  , 2 2 2 0x y z xy yz zx      . 
Bài 13. 
Cho ABC . Chứng minh:  
2
1 cos cos cos
2
x A x B C x     . 
Dạng 5. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Bài 14. 
 24 
Cho 0
2
x   . Chứng minh: 
3
s inx
6
xx x   . 
Bài 15. 
Cho 3 số thực a, b, c với a + b + c = 1. 
Chứng minh: 1 1 1 3
3 3 3 3 3 3a c b a b c
a b c      
 
. 
Bài 16. 
Cho 0,a b  chứng minh: 1 12 2
2 2
b a
a b
a b
        
   
. 
Chương 6 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Dạng 1: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 1 2 1y x x x x      . 
Bài 2. 
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
1 1 1
2 2 2
x y zP x y z
yz zx xy
             
    
. 
Bài 3. 
Cho hai số thực 0, 0x y  thay đổi thỏa mãn   2 2x y xy x y xy    . 
Tìm giá trị lớn nhất của: 3 3
1 1A
x y
  . 
Bài 4. 
Cho x, y, z dương thay đổi xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
     2 2 2
2 2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z x x x x y y
  
  
  
. 
Bài 5. 
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
2 2 23 3 3 6 6 6x y y z z xP x y z        . 
Dạng 2. DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ 
Bài 6. 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
2
2
3 10 20
2 3
x xy
x x
 

 
. 
Bài 7. 
 25 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của cos 2sin 3
2cos sin 4
x xy
x x
 

 
. 
Bài 8. 
Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 2 2 1x y  . 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
 2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
. 
Dạng 3. DÙNG ĐẠO HÀM 
Bài 9. 
Cho x, y dương thay đổi thỏa mãn x + y = 5. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 1
4
S
x y
  . 
Bài 10. 
Cho hàm số 1 9y x x    . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y trên [3, 6]. 
Bài 11. 
Cho hàm số        2 22 3 2 3 8 2 3 2 3x x x xy            . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của y. 
Bài 12. 
Tìm giá trị nhỏ nhất