Bài tập đại số - Bồi dưỡng học sinh giỏi 8 (chia hết:số nguyên và đa thức)

BÀI TẬP ĐẠI SỐ - BDHSG 8
(Chia hết:Số nguyên và đa thức)
1/ Cho đa thức P(x) = 
Phân tích P(x) thành nhân tử.
CMR với mọi .
2/ a) Cho . b) Cho B = 
 1. Rút gọn A . 1. Rút gọn B. 
 2.Tìm để A là số nguyên. 2. Tìm để B là số nguyên.
3/ Tìm số tự nhiên n để n3 -3n2- 3n -1 chia hết cho n2+n + 1.
4/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho .
5/ Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 a) . c) .
 b) .
6/ a) CMR: với .
 b)CMR: Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
7/ Cho a, b là 2 số nguyên. CMR: 
Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a2 + b2 chia hết cho 13.
10a2 + 5b2 +12ab + 4a – 6b +13 0. Dấu “=” xảy ra khi nào?
8) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 a) .
 b) Nếu thì tam giác đó là tam giác đều.
9/ Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức ( x -1), (x – 2), (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18.
10/ CMR:a) 2130 + 3921 chia hết cho 45.
 b) 8351634 + 8241142 chia hết cho 26.
11/ Cho biểu thức: .
Rút gọn A.
Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tri của x.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x khi đó.
12/ Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
13/ Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là 57120.
14/ CMR: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 +n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
15/ CMR: Với mọi n Z, n chẵn, ta có số n3 + 20n luôn chia hết cho 48.
16/ Cho A(x) = 8x2 – 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).
17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax2 + bx + c . Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
18/ CMR: a) 1110 – 1 chia hết cho 100.
 b) 9.10n +18 chia hết cho 27.
 c) 16n – 15n – 1 chia hết cho 225.
19/ CMR: x3 + y3 – z3 + 3xyz chia hết cho x + y – z . Tìm thương của phép chia.
20/ CMR: a) Đa thức x2001 + x2000 +…+ x + 1 chia hết cho đa thức x181 + x180 + … + x + 1.
 b)Đa thức x9999 + x8888 + x7777 + … + x1111 + 1 chia hết cho đa thức x9 + x8 + … + x + 1.
21/ Xác định giá trị của a và b để: 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 chia hết cho đa thức x2 – x + b.