Bài tập đại số – bồi dưỡng học sinh giỏi 8 (Chương: Tam giác đông dạng)

BÀI TẬP HÌNH HỌC – BDHSG 8
(Chương: Tam giác đông dạng)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một cát tuyến song song với AB lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q.
 a/ CMR : MN = PQ.
 b/ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR : Đường thẳng EF đi qua trung điểm của AB và DC.
 2) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d qua G cắt AB,AC lần lượt tại M, N. CMR: .
 3) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng: 
 a/ b/ 
 c/ Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
 4) Cho hình thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a/ CMR: IK // AB.
b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF.
 5) a/ Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở H và K. C/m rằng tổng không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC.
 b/ Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.
 6) Cho tam giác đều ABC trọng tâm G, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. C/m rằng 
 7) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N thay đổi trên BC và AB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đỉnh D luôn cách đều các đoạn AM, CN.
 8) Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên BC. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC. Chứng minh tổng MI + MK không phụ thuộc vào vị trí của M.
 9) Cho tam giác ABC có phân giác AD. Gọi DE, DF lần lượt là các phân giác của góc D của các tam giác ABD và ACD.C/m: AE.BD.CF = BE.CD.AF.
 10) Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2.Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3.Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính .
 11/ Cho hai tam giác đều ABC và DEF mà A nằm trên cạnh DF, E nằm trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AB và DE. CMR: 
 a) và đồng dạng; và đồng dạng.
 b) DB//CF.
 12/ Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC cắt AC ở E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF. CMR: SC2 = SE .SA.
 13/ Gọi O là điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB ở A1, B1, C1 . CMR: .
 14/ Qua điểm O nằm trong tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC ở D và E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và BC ở F và K, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.CMR: .