Bài tập Đại số tổ hợp

đại số tổ hợp
 Dạng 1. Giải pt, bpt, hệ pt có các công thức: 
 Bài 1. Giải các pt sau: 
 a. d. 
 b. 	 e. 
 c. g. 
 Bài 2. Giải:
2 d. 
 e. 	 
 g. (Tốt nghiệp 03-04)
 Dạng 2.Tìm hệ số và hằng số của số hạng trong khai triển nhị thức niutơn.
 Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.
 Bài 1. Tìm số hạng không chứa x của khai triển:
 a. b. với x > 0 (D – 04)
 Bài 2. Tìm hệ số của số hạng
Chứa trong khai triển: 
Chứa x10 trong khai triển: 
 Bài 3. 
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển: 
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:
 biết (A - 03)
 Bài 4. 
 a. Cho khai triển: P(x) = (x+1)9 + (x+1)10 + + (x+1)14
 = a0 + a1 x + a2x2 +  + a14x14 . Tính a9.
Cho khai triển: (x+2)(x+1)10= x11 + a1x10 + a2x9 +  + a11. Tính a5.
Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển thành đa thức của: 
 (2x2 - 3x + 1 )(x - 2)15
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:x(1-2x)5+x2(1+3x)10(D-07).
 Bài 5. 
 a. Cho khai triển: biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 
	tư bằng 20n. Tìm x, n. (A-02)
b.Tìm số hạng không chứa căn trong khai triển: 
c. Trong khai triển (1+2x)12. Tìm số hạng có hệ số lớn nhất. 
 Bài 6. 
 a. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức: (A-04)
 b. Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển thành đa thức: ()7
 c. Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức: (x+y+z+t)20.
 d. Tìm hệ số của x3n-3 trong khai triển (x2+1)n. (x+2)n. (D-03)
 e. Tìm hệ số của x5 trong khai triển: ()10.
 Dạng 3. Bài toán sử dụng khái niệm
 Bài 1. Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 21 nữ, 29 nam. Hỏi có bao nhiêu cách
 chọn ra: 
 a. 2 hs làm cán bộ lớp
 b. 2 hs trong đó: 1 làm lớp trưởng, 1 làm bí thư
 c. 6 hs trong đó: 1 làm LP, 1 làm PBT, 4 làm cán sự lớp
 d. 10 hs đi thi đấu TDTT trong đó có 6 nam và 4 nữ
 e. 8 hs đi dự trại hè trong đó có ít nhất 1 nữ
 g. 7 hs đi múa trong đó có ít nhất 2 nam
 h. 5 hs đi kể truyện trong đó có nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ 
 Bài 2. Một hộp bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 5 viên bi xanh(các bi có đánh số thứ tự từ 1 đến hết). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:
3 vb cùng số và khác màu 
3 vb khác màu và khác số
3 vb cùng màu
3 vb không đủ cả 3 màu
6 vb trong đó có ít nhất 2 vb đỏ
6 vb trong đó số bi đỏ = số bi vàng
 Bài 3. Trong 1 môn học gv có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi TB, 15 câu hỏi dễ. Hỏi từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho mỗi đề có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2 (B-04).
 Bài 4. Một đội thanh niên xung kích của 1 trường THPT có 12 hs gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B, 3 hs lớp C. Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy (D- 06).
 Bài 5. Một đội tuyển hs giỏi của 1 trường có 18 em gồm 7 hs khối 12, 6 hs khối 11, 5 hs khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử ra 8 hs trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
 Bài 6. Cho 2 đường thẳng song song là d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lâý 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn ở d1, d2.
 Bài 7. a Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta lấy 3 tem thư và 3 bì thư rồi dán 3 tem thư lên 3 bì thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy biết mỗi tem thư chỉ dán lên 1 bì thư.
b.Một đội TNTN(thanh niên tình nguyện) có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 
 Bài 8. Cho đa giác đều A1A2A2n (n2) nội tiếp đường tròn tâm 0. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,,A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,,A2n. Tìm n. 
 Bài 9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
 a.Có 4 chữ số. Hỏi trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chia hết cho 5.
 b. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau 
 c. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs hàng chục là cs chẵn 
 d. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs 1 xuất hiện 1 lần
 e. Có 4 chữ số trong đó cs 5 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại khác nhau và khác 5 
 g. Có 3 chữ số khác nhau và 345.
 Bài 10. Từ các chữ số 0,1,2,3,,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 3 cs và chia hết cho 5
có 4 cs đôi một khác nhau
có 4 cs đôi một khác nhau và chia hết cho 2
có 5 cs đôi một khác nhau và cs 2 xuất hiện 1 lần
có 5 cs và cs 3 xuất hiện 2 lần, các cs còn lại khác nhau và khác 3
 Bài 11. 
Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 cs sao cho cs đứng sau lớn hơn cs đứng ngay trước nó.
Từ các cs số 1,3,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs trong đó có cả 3 cs 1,3,5.
Từ các cs 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 cs trong đó cs 1 xuất hiện 2 lần các cs số còn lại khác nhau và khác 1 xuất hiện 1 lần.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs mà 2 cs đứng cạnh nhau là khác nhau. 
Từ các cs 1,2,3,,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 cs mà cs 1 và cs 2 đứng cạnh nhau các cs còn lại khác nhau và khác 1,2.
 Dạng 3. Tính tổng 
 + Tính tổng dựa vào một số khai triển niutơn thường gặp như: (1+x)n, (1-x)n.
 + Tính tổng bằng phương pháp đạo hàm và tích phân:
- Để tính các tổng có dạng: hoặc ta lấy đạo hàm 1 hoặc 2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n 
 - Để tính các tổng có dạng hoặc ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n và chọn cận thích hợp.
 Bài 1. Tính các tổng sau:
 Bài 2. Tính các tổng sau:
 Bài 3. Tính các tổng sau:
 (B - 03)
 Bài 4. 
Tìm n nguyên dương sao cho:
 (D - 02)
Biết tổng các hệ số của khai triển bằng 1024. Tìm hệ số a của số hạng a.x12 trong khai triển.
Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức (2 – 3x)2n với n N* và
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển biết
 (A - 06)
Tìm n nguyên dương sao cho:
 (A - 05)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức niutơn (2 + x)n biết:
 (B-07)
Chứng minh rằng: (A - 07)
 Một số bài toán khác
Bài 1. Cm các đẳng thức sau:
1+P1 + 2P2 + + (n - 1)Pn-1 = Pn 
 Bài 2. Tính tổng:
 biết :