Bài tập Dãy số

Phương pháp chứng minh qui nạp
 1.Chứng minh rằng :
 a) 1 + 2 + 3 +  + n = 
 b) 12 + 22 + 32 + + n2 = 
 c) 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 
 d) 12 + 32 + 52 + + (2n – 1)2 = 
 e) 13 + 23 + 33 + + n3 = 
 f) + + +...+ = 
 g) 1 + + +...+ = 1 – 
 h) (1 – )(1 – )(1 – ) = 
 h) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = 
 i) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n – 1) = n2(n + 1) n Î N
 i) + + +...+ = 
 j) 1.2 + 2.5 + 3.7 + + n(3n – 1) = n2(n + 1) 
 k) 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 
 l) 1 + 4 + 7 + + (3n + 1) = 
 l) 2 + 5 + 8 + + (3n – 1) = 	
 m) + + +...+ = 
 n) + + +...+ = – 
 p) 1 + 3 + 6 + 10 +... + = 
 q) + + +...+ = 
 2.Chứng minh rằng :
 a)n3 – n chia hết cho 6 " n > 1 b) n3 + 11n chia hết cho 6 " n 
 c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 " n d) 2n+2 > 2n + 5 
 d) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 e) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 
 e) 3n – 1 > n " n > 1 f) 3n > 3n + 1 g) 2n – n > 
 f)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 g) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19
 g) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 g) 3n > n2 + 4n + 5
f) " n >1
g) " n ≥ 1
h) .. "n ≥ 2
j) 1 + + + + < 2 "n ≥ 2 
k) 1 + + + + < n
 3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn)
4. Chứng minh rằng (1 + a)n ≥ 1 + na với a > – 1 
5. Chứng minh rằng 
a) sinx + sin2x + sin3x + + sinnx = 
b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + + cosnx = 
c) cos2x + cos22x + cos23x + + cos2nx = + 
6.Cho n số thực dương x1,x2,,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.xn = 1
Chứng minh rằng: x1 + x2 + + xn ≥ n
7.Cho n số thực x1,x2,,xn Î (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng: 
(1 – x1)(1– x2)(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – – xn 
Dãy số
 1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a) un = b) un = c) un = d) un = 
e) un = b) un = c) un = (1 + )n d) un = 
 2.Cho dãy số un = 
 a) Xác định 5 số hạng đầu tiên 
 b) số là số hạng thứ mấy của dãy số 
 c) số là số hạng thứ mấy của dãy số 
2.Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3
Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9 " n ≥ 1
3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2 
c) u1 = 2 ; u n +1 = un d) u1 = ; un +1 = 
e) u1 = ; un +1 = f) u1 = ; un +1 = 
g) u1 = 1 ; u n +1 = un + 1 g) u1 = 1 ; un +1 = un + ()n 
4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 = 
a)Chứng minh rằng: un + 1 = – un + 1
b)Xác định công thức tính un .Từ đó tính limun
4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un = 
a)Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(– )n– 2
b) Tính limun
4.Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:
a) u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2
b) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2
5.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 " n ≥ 1
a)Tính u2, u4 và u6
b)Chứng minh rằng: un = 7n – 6 "n ≥ 1
6.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – un2 + un + 1 " n ≥ 1
a)Tính u2, u3 và u4
b)Chứng minh rằng: un = un + 3 "n ≥ 1
7.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un " n ≥ 1
a)Tính u2, u4 và u6
b)Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1 "n ≥ 1
8.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1 " n ≥ 1
 Chứng minh rằng: un = 3n – n "n ≥ 1
9.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= " n ≥ 1
Chứng minh rằng: (un) là một dãy không đổi
9. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = và un + 1= 4un + 7 " n ≥ 1
a)Tính u2, u3 và u4
b)Chứng minh rằng: un = "n ≥ 1
10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un = b) un = 
c) un = n – d) un = 
 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
 a) un = b) un = n2 – 5 c) un = d) un = (– 1)n.n e) un = 2n 
 f) un = g) un = h) un = i) un = n + cos2n
h) un = 1 – 
 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
 a) un = b) un = c) un = d) un = 
 e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos
 f) un = – 2 g) un = h) un = (– 1)n(2n + 1) k) un = 
l) un = 2n + m) un = 
 5.Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (un) là dãy số giảm b) (un) là dãy số tăng
 5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
 a) un = b) un = c) un = 
 d) un = e) un = f) un = 
 g) un = n dấu căn
6. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:
 un = + + + 
6. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : un = 
 6.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
 u1 = 0 và un +1 = un + 4
 a)Chứng minh rằng un < 8 " n
 b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn
 7.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
 u1 = 1 và un +1 = 
 a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
 b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và
 bị chặn trên bởi số 3/2
 8.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= 
 Chứng minh rằng un < 3 " n
 9.Cho dãy số (un) xác định bởi un = 
 a)Tìm 5 số hạng đầu tiên
 b)Chứng minh rằng (un) bị chặn
10. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= 
tăng và bị chặn trên 
10. Chứng minh rằng:các dãy số sau
a) un = + +  + (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
b) un = 1 + + + + tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u1 = ;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 2
d) u1 = 1;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 
11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un = 
Cấp số cộng
 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 .Tính a7
 2.Cho cấp số cộng thoả mãn Tính a5 ;S9
 3.Cho cấp số cộng thoả mãn Tính a10 ;S100
 4. Tìm cấp số cộng biết
 a) b)
5.Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400.Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng : 
 a) a2 + 2bc = c2 + 2ab
 b) 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo 
 thành 1 cấp số cộng 
 c) a2 + 8bc = (2b + c)2
 d) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2
 6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
 tích = – 56.Tìm 4 số đó
 7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
 tích = 320.Tìm 5 số đó
 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293.Tìm 3 số đó
 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích của chúng là 1140.Tìm 3 số đó
 8. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12,
 tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
9.Tìm các nghiệm của phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số cộng 
 9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8,
 tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
 10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp 
 số cộng 
 11.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
 a)các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 cấp số cộng 
 Û các số , , lập thành 1 cấp số cộng 
 b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng Û các số 
 , , lập thành 1 cấp số cộng 
 12.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập 
 thành 1 cấp số cộng Û tg. tg= 
 13. Chứng minh rằng nếu cotg, cotg , cotg tạo thành 
 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số cộng 
 theo thứ tự đó
 14.Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành 
 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết cạnh lớn nhất là 44cm 
 Tính số cạnh của đa giác 
 14.Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3o. Tính các góc của đa giác đó
15.Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1 
 cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các bình phương 
 của 3 số còn lại 
 16.Cho cấp số cộng (un). Chứng minh rằng :
 a) + ++ = un ¹ 0 " n 
 b) + + + = 
 17.Tìm m để phương trình x4 – (3m + 5)x2 + (m+1)2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 
 18.Cho 2 cấp số cộng (un) : 4,7,10,13,16,.... 
 (vn) : 1,6,11,16,21,...
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng chung
19.Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km 
20.Cho dãy số (un) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là Sn được xác định theo công thức sau: Sn = 
a)Hãy tính u1,u2,u3
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)
c)Chứng minh rằng: (un) là một cấp số cộng ,xác định công sai
21.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = "n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) mà vn = un2 "n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy xác định cấp số cộng đó
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)
c)Tính tổng S = u12 + u22 + u32 + + u1002 
22.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + n "n ≥ 1
Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un " n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (vn) bằng uk + 1 – u1 
b)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
23.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + 2n – 1 "n ≥ 1
Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un " n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (vn) theo k.Từ đó suy ra số hạng tổng quát của (un)
24.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1 = "n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: un < 0 "n Î N
b) Đặt vn = . Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra biểu thức của un và vn 
24.Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là Sn = 7n + 1 và Sn’ = 4n + 27. Tính tỉ số 
25. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n2 + 5n , "n Î N
26.Cho cấp số cộng (un) biết Sp = q và Sq = p. Hãy tính Sp + q 
27.Cho cấp số cộng (un) biết up = q và uq = p. Hãy tính un 
28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = 2n + 3n2 Tìm uq 
28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n2 và Sm = m2 . Chứng minh rằng: 
 um = 2m – 1 và un = 2n – 1
29.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n(5n – 3). Tìm số hạng up 
Cấp số nhân
 1.Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5
 2.Cho cấp số nhân thoả:
 a) tìm a6 ; S4 b) tìm a4 ; S5
 c) tìm a2 ; S5 d)
 3.Cho cấp số nhân (un) có 3.u2 + u5 = 0 và u32 + u62 = 63.Tính tổng 
S = |u1| + |u2| + |u3| + .+|u15| 
4.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un2 – 10 "n ≥ 1
Chứng minh rằng: (un) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân 
 3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có 
 công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
 4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng
4. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
 5.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 
 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62 
 6.Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số 
 hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72 
 5. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen 
 ngày trước.Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì 
 tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
 a)Khi đầy hồ có mấy lá sen
 b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ
 6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng 
 a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 
 a) (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + c)3
 b) (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2
 c) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng 
 d) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân vứi a ,b ,c > 0
 7.Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân 
 8.Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng 
 thứ hai tađược 1 cấp số cộng .Nếu thêm 32 vào số hạng 
 thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó
 9.Tìm cấp số nhân a,b,c biết 
 a) b)
 10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1 cấp số cộng .Tìm công bội của cấp số nhân 
 11. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng 
 thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ ba và thứ chín 
 của một cấp số cộng khác
 12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21,
 đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ hai và thứ 
 tư của 1 cấp số cộng khác
 13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh
 lập thành 1 cấp số nhân 
 14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5 
 số nữa để được 1 cấp số nhân 
 15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng 
 3 số hạmg đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
 16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ.Hỏi xe máy
 cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
 17.Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của 
 các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác A1B1C1,trung điểm 
 các cạnh của A1B1C1 lập thành tam giác A2B2C2 trung điểm 
 các cạnh của A2B2C2 lập thành tam giác A3B3C3 ....Tính tổng 
 chu vi của tất cả các tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2...
 18.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân . 
 Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 600 
 19.Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số 
 nhân có công bội q = 2. Chứng minh rằng :
 a) 
 b) cos2A + cos2B + cos2C = 
 20.Hãy xác định a,b sao cho 1,a,b lập thành 1 cấp số cộng và 
 1, a 2,b2 lập thành 1 cấp số nhân 
 21.Ba số dương lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất và số thứ hai,thêm 4 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân .Tìm các số đó
 21 Ba số lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất, thêm 4 vào số thứ hai,thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân .Tìm các số đó
 22.Bốn số lập thành 1 cấp số cộng .Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 4 số đó
 23.Ba số khác nhau tạo thành 1 cấp số nhân ,có tổng = 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất,thứ tư,thứ hai mươi lăm của 1 cấp số cộng khác.Tìm các số đó
 24.Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng :
 a) a2b2c2 = a3 + b3 + c3
 b) (ab + bc + cd)2 = (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2)
 c) (d – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (d – a)2
 25.Một cấp số cộng và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau.
 Tìm các cấp số đó
26.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ¹ 1;đồng thời các số x ,2y ,3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai d ¹ 0.Hãy tìm q
27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x – 1 , y + 2 , x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x + , y – 1 , 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
28.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân;đồng thời các số x , y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; và ba số x , y – 4 , 
z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng .Hãy tìm x ,y ,z
29.Các số x + 5y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ;đồng thời các số (y – 1)2 ,xy – 1, (x + 2)2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tìm x và y
30.Tính các tổng 
a) S = 1 + + + + + 
b) S = ( – ) + ( – ) + ( – ) + + ( – )
c) S = 1 + + + + + 
31.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 ;un + 1 = và dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 2 . Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số nhân .Từ đó suy ra biểu thức của un và vn