Bài tập Giải tích lớp 12

TRAÀN SÓ TUØNG 
---- ›š & ›š ---- 
BAØI TAÄP 
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC 
Naêm 2010 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 1 
1. Đinh nghĩa: 
 Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) 
 Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 f(x2) 
2. Điều kiện cần: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I 
 b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I 
3. Điều kiện đủ: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. 
 b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. 
 c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I. 
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. 
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số 
 Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: 
 – Tìm tập xác định của hàm số. 
 – Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) 
 – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch 
biến của hàm số. 
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 22 4 5y x x= - + + b) 
2 5
4 4
x
y x= + - c) 2 4 3y x x= - + 
 d) 3 22 2y x x x= - + - e) 2(4 )( 1)y x x= - - f) 3 23 4 1y x x x= - + - 
 g) 4 21 2 1
4
y x x= - - h) 4 22 3y x x= - - + i) 4 21 1 2
10 10
y x x= + - 
 k) 2 1
5
x
y
x
-
=
+
 l) 1
2
x
y
x
-
=
-
 m) 11
1
y
x
= -
-
 n) 
22 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
 o) 13
1
y x
x
= - + -
-
 p) 
24 15 9
3
x x
y
x
- +
= 
CHƯƠNG I 
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 4 3 26 8 3 1y x x x= - + - - b) 
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
 c) 
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
 d) 
2
2 1x
y
x
-
= e) 
2 3 2
x
y
x x
=
- +
 f) 3 2 2y x x= + + - 
 g) 2 1 3y x x= - - - h) 22y x x= - i) 22y x x= - 
 k) sin 2
2 2
y x x
æ ö
= - < <ç ÷
è ø
p p l) sin 2
2 2
y x x x
æ ö
= - - < <ç ÷
è ø
p p 
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) 
Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. 
 · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D. 
 · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D. 
 Từ đó suy ra điều kiện của m. 
Chú ý: 
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 
2) Nếu y ax bx c2' = + + thì: 
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê ³î³ " Î Û ê
ì >êíê £îë D
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê £î£ " Î Û ê
ì <êíê £îë D
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + : 
 · Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. 
 · Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 
2
b
a
- ) 
 · Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu 
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0: 
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï <î
D
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï >î
D
 · 1 20 0x x P< < Û < 
5) Để hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d 
thì ta thực hiện các bước sau: 
 · Tính y¢. 
 · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 
 0
0
aì ¹
í >îD
 (1) 
 · Biến đổi 1 2x x d- = thành 
2 2
1 2 1 2( ) 4x x x x d+ - = (2) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. 
 · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập 
xác định) của nó: 
 a) 3 5 13y x x= + + b) 
3
23 9 1
3
x
y x x= - + + c) 2 1
2
x
y
x
-
=
+
 d) 
2 2 3
1
x x
y
x
+ -
=
+
 e) 3 sin(3 1)y x x= - + f) 
2 2 1x mx
y
x m
- -
=
-
Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc 
tập xác định) của nó: 
 a) 5 cot( 1)y x x= - + - b) cosy x x= - c) sin cos 2 2y x x x= - - 
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác 
định) của nó: 
 a) 3 23 ( 2)y x mx m x m= - + + - b) 
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= - - + c) x my
x m
+
=
-
 d) 4mxy
x m
+
=
+
 e) 
2 2 1x mx
y
x m
- -
=
-
 f) 
2 22 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
Baøi 4. Tìm m để hàm số: 
 a) 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 
 b) 3 21 1 2 3 1
3 2
y x mx mx m= - + - + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 
 c) 3 21 ( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= - + - + + - đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 
Baøi 5. Tìm m để hàm số: 
 a) 
3
2( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + - + + đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; +¥). 
 c) mxy m
x m2
4 ( 2)+= ¹ ±
+
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 d) x my
x m
+
=
-
 đồng biến trong khoảng (–1; +¥). 
 e) 
2 22 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 f) 
22 3
2 1
x x m
y
x
- - +
=
+
 nghịch biến trên khoảng 1 ;
2
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: 
 · Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác 
định do đề bài chỉ định. 
 · Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. 
 · Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. 
Chú ý: 
 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại 
tiếp tục xét dấu h¢ (x)  cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 
 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). 
 Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). 
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 
3
sin , 0
6
x
x x x vôùi x- b) 2 1sin tan , 0
3 3 2
x x x vôùi x+ > < <
p 
 c) tan , 0
2
x x vôùi x< < <
p d) sin tan 2 , 0
2
x x x vôùi x+ > < <
p 
Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) tan , 0
tan 2
a a
vôùi a b
b b
< < < <
p b) sin sin , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p 
 c) tan tan , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p 
Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 2sin , 0
2
x
x vôùi x> < <
p
p
 b) 
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x vôùi x- 
 c) x x x vôùi xsin cos 1, 0
2
p
+ > < < 
Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 1 , 0xe x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ 
 c) 1ln(1 ) ln , 0
1
x x vôùi x
x
+ - > >
+
 d) ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ³ + 
Baøi 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 0tan 55 1,4> b) 01 7sin 20
3 20
 HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1( )
1
x
f x
x
+
=
-
. 
 b) Xét hàm số 3( ) 3 4f x x x= - . 
 f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
 và 01 7,sin 20 ,
3 20
Î 1 1;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x= + với x > 1. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 5 
 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: 
 · Chọn được nghiệm x0 của phương trình. 
 · Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến 
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành 
độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). 
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. 
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5x x+ - = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ - - + = 
 c) 5 7 16 14x x x x+ - + + + + = d) 2 215 3 2 8x x x+ = - + + 
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5 51 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x- = - 
 c) 3 4 5x x x+ = d) 2 3 5 38x x x+ + = 
Baøi 3. Giải các bất phương trình sau: 
 a) 3 4 51 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + - + - + - < b) 22 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < 
Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
ì + = + +
ï
í + = + +
ï + = + +î
 b) 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì = + + -
ï
í = + + -
ï = + + -î
 c) 
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z
ì = - +
ï
í = - +
ï = - +î
 d) 
x y y x
x y
x y
tan tan
52 3
4
,
2 2
p
p p
ì - = -
ï
ï + =
í
ï
- < <ïî
 e) 
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
p
ì - = -
ïï
+ =í
ï
>ïî
 f) 
x y y x
x y
x y
sin 2 2 sin 2 2
2 3
0 ,
2
p
p
ì - = -
ïï + =
í
ï < <
ïî
 g) 
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
p
p
ì - = -ï
+ =í
ï < <î
 h) 
 HD: a, b) Xét hàm số 3 2( )f t t t t= + + c) Xét hàm số 2( ) 6 12 8f t t t= - + 
 d) Xét hàm số f(t) = tant + t 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
I. Khái niệm cực trị của hàm số 
 Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D. 
 a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho 
 f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. 
 b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho 
 f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. 
 c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị 
 Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0. 
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không 
có đạo hàm. 
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 
 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên 
(a; b)\{x0} 
 a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có 
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. 
 a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 
 · Tìm f¢ (x). 
 · Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 
 · Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. 
Qui tắc 2: Dùng định lí 2. 
 · Tính f¢ (x). 
 · Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ). 
 · Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, ). 
 Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. 
 Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. 
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 7 
 Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 a) 2 33 2y x x= - b) 3 22 2 1y x x x= - + - c) 3 21 4 15
3
y x x x= - + - 
 d) 
4
2 3
2
x
y x= - + e) 4 24 5y x x= - + f) 
4
2 3
2 2
x
y x= - + + 
 g) 
2 3 6
2
x x
y
x
- + +
=
+
 h) 
23 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
 i) 
2 2 15
3
x x
y
x
- -
=
-
Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 a) 3 4( 2) ( 1)y x x= - + b) 
2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
+ -
=
+ -
 c) 
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
 d) 2 4y x x= - e) 2 2 5y x x= - + f) 22y x x x= + - 
Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 a) 3 2 1y x= + b) 
3 2
2 1
xy
x
=
+
 c) 4x xy e e-= + 
 d) 2 5 5 2 lny x x x= - + + e) 24siny x x= - f) 2ln(1 )y x x= - + 
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm. 
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x0. 
Chú ý: 
 · Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d= + + + có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm 
phân biệt. 
 Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: 
 + 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d= + + + 
 + 0 0( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y¢. 
 · Hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
= ( )
( )
P x
Q x
 (aa¢¹ 0) có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai 
nghiệm phân biệt khác '
'
b
a
- . 
 Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: 
 00
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
= hoặc 00
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
= 
 · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ 
nghiệm ngoại lai. 
 · Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là 
định lí Vi–et. 
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: 
 a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - - b) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + 
 c) 
2 2 4( 1) 1x m m x m
y
x m
+ - - +
=
-
 d) 
2 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 
 Baøi 2. Tìm m để hàm số: 
 a) 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + - có cực đại, cực tiểu. 
 b) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - có cực đại, cực tiểu. 
 c) 3 2 23 ( 1) 2y x mx m x= - + - + đạt cực đại tại x = 2. 
 d) 4 22( 2) 5y mx m x m= - + - + - có một cực đại 1 .
2
x = 
 e) 
2 2 2x mx
y
x m
- +
=
-
 đạt cực tiểu khi x = 2. 
 f) 
2 2( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
 có cực đại, cực tiểu. 
 g) 
2
1
x x m
y
x
- +
=
-
 có một giá trị cực đại bằng 0. 
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: 
 a) 3 23 3 3 4y x x mx m= - + + + b) 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + - - - 
 c) 
2 5
3
x mx
y
x
- + +
=
-
 d) 
2 2( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: 
 a) 3 2y ax bx cx d= + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4
27
 tại x = 1
3
 b) 4 2y ax bx c= + + có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 . 
 c) 
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
-
 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1. 
 d) 
2ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
 đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. 
 e) 
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. 
Baøi 5. Tìm m để hàm số : 
 a) 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + - + - + - + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 
1 2
1 2
1 1 1 ( )
2
x x
x x
+ = + . 
 b) 3 21 1
3
y x mx mx= - + - đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 1 2 8x x- ³ . 
 c) 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= - - + - + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 
1 22 1x x+ = . 
Baøi 6. Tìm m để hàm số : 
 a) 
2 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
 có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu. 
 b) 
2 2( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
 có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 9 
 tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 
 c) 
2 3
4
x x m
y
x
- + +
=
-
 có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4M m- = . 
 d) 
22 3 2
2
x x m
y
x
+ + -
=
+
 có 12CÑ CTy y- < . 
Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số : 
 a) 3 2 4y x mx= - + - có hai điểm cực trị là A, B và 
2
2 900
729
m
AB = . 
 b) 4 2 4y x mx x m= - + + có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ 
O làm trọng tâm. 
 c) 
2 2x mx m
y
x m
+ + -
=
-
 có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh 
hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. 
 d) 
2
1
x mx
y
x
+
=
-
 có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. 
 e) 
2 2 5
1
x mx
y
x
- + +
=
-
 có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường 
thẳng y = 2x. 
 f) 
2 2 3x x m
y
x m
+ + +
=
-
 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 
Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số : 
 a) 3 22 12 13y x mx x= + - - có hai điểm cực trị cách đều trục tung. 
 b) 3 2 33 4y x mx m= - + có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác 
thứ nhất. 
 c) 3 2 33 4y x mx m= - + có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng 
(d): 3 2 8 0x y- + = . 
 d) 
2 2(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng 
(d): 2 3 1 0x y- - = . 
Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số : 
 a) 
2 ( 1) 2 1x m x m
y
x m
- + + -
=
-
 có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt 
phẳng toạ độ. 
 b) 
2 2 22 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ 
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. 
 c) 
2 2 2( 1) 4mx m x m m
y
x m
- + + +
=
-
 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và 
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. 
 d) 
2 2(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung). 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 10 
 VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 
1) Hàm số bậc ba 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + . 
 · Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B. 
 · Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: 
 1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B
ì = = +
í = = +î
 Þ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 
2) Hàm số phân thức 
2( )( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
. 
 · Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 00
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
= . 
 · Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực 
trị ấy là: '( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= = . 
Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : 
 a) 3 22 1y x x x= - - + b) 2 33 2y x x= - c) 3 23 6 8y x x x= - - + 
 d) 
22 1
3
x x
y
x
- +
=
+
 e) 
2 1
2
x x
y
x
- -
=
-
Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 
của đồ thị hàm số: 
 a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - - b) 
2 6x mx
y
x m
+ -
=
-
 c) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - d) 
2 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
Baøi 3. Tìm m để hàm số: 
 a) 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + - + - - có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song 
với đường thẳng y = –4x + 1. 
 b) 3 22 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + - + - có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên 
đường thẳng y = –4x. 
 c) 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với 
đường thẳng y = 3x – 7. 
 d) 3 2 23y x x m x m= - + + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường 
thẳng (D): 1 5
2 2
y x= - . 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 11 
1. Định nghĩa: 
 Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R). 
 a) 
0 0
( ) ,max ( ) : ( )D
f x M x DM f x x D f x M
ì £ " Î= Û í$ Î =î
 b) 
0 0
( ) ,min ( ) : ( )D
f x m x Dm f x x D f x m
ì ³ " Î= Û í$ Î =î
2. Tính chất: 
 a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì 
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= = . 
 b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì 
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= = . 
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên 
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. 
 · Tính f¢ (x). 
 · Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên. 
 · Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. 
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. 
 · Tính f¢ (x). 
 · Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, , xn trên [a; b] (nếu có). 
 · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn). 
 · So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. 
 { }1 2[ ; ]max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bM f x f a f b f x f x f x= = 
 { }1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bm f x f a f b f x f x f x= = 
Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 
 a) 2 4 3y x x= + + b) 3 44 3y x x= - c) 4 22 2y x x= + - 
d) 2 2y x x= + - e) 
2
1
2 2
x
y
x x
-
=
- +
 f) 
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g) 2 1 ( 0)y x x
x
= + > h) 
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
 i) 
4 2
3
1 ( 0)x xy x
x x
+ +
= >
+
Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 
 a) 3 22 3 12 1y x x x= + - + trên [–1; 5] b) 33y x x= - trên [–2; 3] 
 c) 4 22 3y x x= - + trên [–3; 2] d) 4 22 5y x x= - + trên [–2; 2] 
 e) 3 1
3
x
y
x
-
=
-
 trên [0; 2] f) 1
1
x
y
x
-
=
+
 trên [0; 4] 
 g) 
24 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
 trên [0; 2] h) 
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ -
 trên [0; 1] 
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 12 
 i) 2100y x= - trên [–6; 8] k) 2 4y x x= + + - 
Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 
 a) 2sin 1
sin 2
x
y
x
-
=
+
 b) 
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
 c) 22sin cos 1y x x= - + 
 d) cos2 2sin 1y x x= - - e) 3 3sin cosy x x= + f) 
2
4 2
1
1
x
y
x x
-
=
- +
 g) 2 24 2 5 2 3y x x x x= - + + - + h) 2 24 4 3y x x x x= - + + - + 
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức 
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. 
 · Chứng minh một bất đẳng thức. 
 · Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành 
đẳng thức. 
Baøi 1. Giả sử { }( ; ; ) / 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức: 
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
. 
HD: 1 1 13
1 1 1
P
x y z
æ ö
= - + +ç ÷+ + +è ø
 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
æ ö
+ + + + = + + ³ç ÷+ + +è ø
 Þ P £ 3
4
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1
3
. Vậy 3min
4D
P = . 
Baøi 2. Cho D = 5( ; ) / 0, 0,
4
x y x y x y
ì ü
> > + =í ý
î þ
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 4 1
4
S
x y
= + . 
HD: ( ) 1 1 1 1 14 25
4
x x x x y
x x x x y
æ ö
+ + + + + + + + ³ç ÷
è ø
 Û 4 14( ) 25
4
x y
x y
æ ö
+ + ³ç ÷
è ø
Þ S ³ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = 1, y = 1
4
. Vậy minS = 5. 
Baøi 3. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 1x y x y x y> > + < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 1
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
- - +
. 
HD: 
2 2 1(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + + -
- - +
 = 1 1 1 2
1 1x y x y
+ + -
- - +
. 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
æ ö
- + - + + + + ³ç ÷- - +è ø
Û 1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ³
- - +
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 13 
 Þ P ³ 5
2
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 1
3
. Vậy minP = 5
2
. 
Baøi 4. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 4x y x y x y> > + ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x y
+ +
= + . 
HD: 
2
1 12
4 8 8 2
x y y x y
P
x y
æ ö +
= + + + + +ç ÷
è ø
 (1) 
 Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 12 . 1
4 4
x x
x x
+ ³ = (2) 
 3
2 2
1 1 33 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ³ = (3) 
 Þ P ³ 9
2
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2. Vậy minP = 9
2
. 
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị 
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. 
 Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: 
 0( ) (1)
(2)
f x y
x D
ì =
í Îî
 Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy 
(sau khi biến đổi) có dạng: m £ y0 £ M (3) 
 Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: 
 min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= = 
Baøi 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
a) 
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
- +
 b) 
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
 c) 2sin cos 1
sin 2 cos 3
x x
y
x x
+ +
=
- +
 d) 2sin cos 3
2 cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
- +
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT 
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= = . Khi đó: 
 1) Hệ phương trình ( )f x
x D
ì =
í Îî
a có nghiệm Û m £ a £ M. 
 2) Hệ bất phương trình ( )f x
x D
ì ³
í Îî
a có nghiệm Û M ³ a. 
 3) Hệ bất phương trình ( )f x
x D
ì £
í Îî
b có nghiệm Û m £ b. 
 4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Û m ³ a. 
 5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Û M £ b. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 14 
 Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
a) 4 42 4 2x x- + - = b) 3 5 6 2x x x+ = + c) 5 5
1(1 )
16
x x+ - = 
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 
a) 22 1x x m+ + = b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m- + + - - + = 
c) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + - - + - = d) 7 2 (7 )(2 )x x x x m- + + - - + = 
Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R: 
 a) 22 1x x m+ + > b) 22 9m x x m+ < + c) 4 4 0mx x m- + ³ 
Baøi 4. Cho bất phương trình: 3 22 1 0x x x m- + - + < . 
 a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. 
 b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]