Bài tập giải tích tổ hợp
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài tập giải tích tổ hợp, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BÀI TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP
-------------------------
Bài 1:(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Cú bao nhiờu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và khụng chứ?
2. Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẵn gồm 5 chữ số đụi một khỏc nhau lấy từ tập A và khụng bắt đầu bởi 123.
Bài giải
1. .
Do đú số cỏc tập X bằng số cỏc tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số cỏc tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64.
Vậy cú 64 tập con X của A chứa 1 và khụng chứa 2.
2. Gọi
* m là số cỏc số tự nhiờn chẵn gồm 5 chữ số đụi một khỏc nhau lấy từ A.
* n là số cỏc số tự nhiờn chẵn gồm 5 chữ số đụi một khỏc nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123.
* p là số cỏc số tự nhiờn thoả món yờu cầu đề bài.
Ta cần tớnh p. Hiển nhiờn p = m – n
ã Tớnh m: Lập một số chẵn gồm 5 chữ số khỏc nhau a1, a2, a3, a4, a5 ẻ A, cú nghĩa là:
Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} đ cú 4 cỏch
Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số cũn lại của A đ cú = 7.6.5.4 = 840 cỏch
Do đú: m = 4.840 = 3360.
ã Tớnh n: Lập một số chẵn bắt đầu bởi 123; a1,a2ẻ A; a1 ≠ a2
Lấy a1 từ {4,6,8} đ cú 3 cỏch
Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} đ cú 4 cỏch
Do đú: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tỡm là: p = 3360 – 12 = 3348.
Bài 2: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh cú 12 cuốn sỏch đụi một khỏc nhau, trong đú cú 2 cuốn sỏch Toỏn, 4 cuốn sỏch Văn và 6 cuốn sỏch Anh. Hỏi cú bao nhiờu cỏch xếp tất cả cỏc cuốn sỏch lờn một kệ sỏch dài, nếu cỏc cuốn sỏch cựng mụn được xếp kề nhau?
Bài giải
Bước 1: Đặt 3 nhúm sỏch lờn kệ dài: 3! cỏch
Bước 2: Trong mỗi nhúm ta cú thể thay đổi cỏch xếp đặt sỏch:
Nhúm sỏch Toỏn: 2! cỏch
Nhúm sỏch Văn: 4! cỏch
Nhúm sỏch Anh: 6! cỏch
Kết luận: cú 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cỏch.
Bài 3: Một bàn dài cú hai dóy ghế đối diện nhau, mỗi dóy cú 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn núi trờn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch xếp trong mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thỡ khỏc trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thỡ khỏc trường với nhau.
Bài giải
Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhúm học sinh, cú 2 cỏch xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhúm học sinh của trường A, cú 6! cỏch xếp cỏc em vào 6 chỗ.
Tượng tự, cú 6! cỏch xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: cú 2.6!6! = 1036800 cỏch
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: cú 12 cỏch chọn ghế để ngồi.
Sau đú, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: cú 6 cỏch chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A cũn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: cú 5 cỏch chọn, v.v
Vậy: cú 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cỏch.
Bài 4: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Cú thể lập được bao nhiờu số n gồm 5 chữ số khỏc nhau đụi một từ X (chữ số đầu tiờn phải khỏc 0) trong mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiờn phải bằng 1.
Bài giải
Xem cỏc số chắn hỡnh thức (kể cả a = 0), cú 4 cỏch chọn e ẻ {0,2,4,6}, vỡ là số chẵn.
Sau đú chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cỏch chọn là: = 840
Vậy: cú 4.840 = 3360 số chẵn hỡnh thức.
Ta loại những số cú dạng . Cú 3 cỏch chọn e, và cỏch chọn
b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy cú 3. = 360 số chẵn cú dạng .
Kết luận: cú 3360 – 360 = 3000 số thoả yờu cầu đề bài.
2. n =
* Xem cỏc số hỡnh thức (kể cả a = 0). Cú 3 cỏch chọn vị trớ cho 1. Sau đú chọn chữ số khỏc nhau cho 3 vị trớ cũn lại từ X \ {1}: cú cỏch.
Như thế: cú 3. = 2520 số hỡnh thức thoả yờu cầu đề bài.
* Xem cỏc số hỡnh thức . Cú 2 cỏch chọn vị trớ cho 1. Chọn chữ số khỏc nhau cho 3 vị trớ cũn lại từ X \ {0,1}, số cỏch chọn là .
Như thế: cú 2. = 240 số hỡnh thức dạng .
Kết luận: số cỏc số n thoả yờu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
Bài 5: (ĐH Huế khối A chuyờn ban 1999)
Một hộp đựng 4 viờn bi đỏ, 5 viờn bi trắng và 6 viờn bi vàng. Người ta chọn ra 4 viờn bi từ hộp đú. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn để trong số bi lấy ra khụng cú đủ cả 3 màu?
Bài giải
Số cỏch chọn 4 bi trong số 15 bi là: = 1365.
Cỏc trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: cú = 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: cú = 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: cú = 300
Do đú số cỏch chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cỏch chọn để 4 bi lấy ra khụng đủ 3 màu là: 1365 – 720 =645.
Bài 6: (ĐH Huế khối D chuyờn ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiờn 5 lỏ phiếu cú ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Cú bao nhiờu cỏch xếp để cỏc phiếu số chẵn luụn ở cạnh nhau?
2. Cú bao nhiờu cỏch xếp để cỏc phiếu phõn thành hai nhúm chẵn lẻ riờng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Bài giải
1. * Xếp cỏc phiếu số 1, 2, 3, 5 cú 4! = 24 cỏch.
* Sau đú xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 cú 2 cỏch.
Vậy: cú 2.24 = 48 cỏch xếp theo yờu cầu đề bài.
2. * Khi nhúm chẵn ở bờn trỏi, nhúm lẻ ở bờn phải. Số cỏch xếp cho 2 số chẵn là 2! cỏch. Số cỏch xếp cho 3 số lẻ là: 3! cỏch.
Vậy cú 2.6 = 12 cỏch.
* Tương tự cũng cú 12 cỏch xếp mà nhúm chẵn ở bờn phải, nhúm lẻ ở bờn trỏi.
Vậy: cú 12 + 12 = 24 cỏch.
Bài 7: (ĐH Huế khối RT chuyờn ban 1999)
Người ta viết cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lờn cỏc tấm phiếu, sau đú xếp thứ tự ngẫu nhiờn thành một hàng.
1. Cú bao nhiờu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Cú bao nhiờu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
Bài giải
Số cú 6 chữ số khỏc nhau cú dạng: với a ≠ 0
1. Vỡ số tạo thành là số lẻ nờn f ẻ {1, 3, 5}.
Do đú: f cú 3 cỏch chọn
a cú 4 cỏch chọn (trừ 0 và f)
b cú 4 cỏch chọn (trừ a và f)
c cú 3 cỏch chọn (trừ a, b, f)
d cú 2 cỏch chọn (trừ a, b, c, f)
e cú 1 cỏch chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: cú 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vỡ số tạo thành là số chẵn nờn f ẻ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thỡ (a,b,c,d,e) là một hoỏn vị của (1,2,3,4,5). Do đú cú 5! số
* Khi f ẻ {2, 4} thỡ:
f cú 2 cỏch chọn
a cú 4 cỏch chọn
b cú 4 cỏch chọn
c cú 3 cỏch chọn
d cú 2 cỏch chọn
e cú 1 cỏch chọn
Do đú cú 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: cú 120 + 192 = 312 số chẵn.
Bài 8: (HV Ngõn hàng TPHCM 1999)
Xột những số gồm 9 chữ số, trong đú cú năm chữ số 1 và bốn chữ số cũn là 2, 3, 4, 5. Hỏi cú bao nhiờu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Cỏc chữ số được xếp tuỳ ý.
Bài giải
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp cỏc số a, 2, 3, 4, 5. Do đú số cú 9 chữ số trong đú cú 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
2. Lập một số cú 9 chữ số thoả món yờu cầu; thực chất là việc xếp cỏc số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trớ tuỳ ý trong 9 vị trớ (5 vị trớ cũn lại đương nhiờn dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).
Vậy: cú tất cả = 6.7.8.9 = 3024 số.
Bài 9: (ĐH Hàng hải 1999)
Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chớnh giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
Bài giải
1. Xếp C ngồi chớnh giữa: cú 1 cỏch.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ cũn lại: cú 4! = 24 cỏch.
Vậy: cú 24 cỏch xếp thoả yờu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: cú 2! = 2 cỏch.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ cũn lại: cú 3! = 6 cỏch.
Vậy: cú 2.6 = 12 cỏch xếp thoả yờu cầu.
Bài 10: (HV BCVT 1999)
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cú thể lập được bao nhiờu số gồm 6 chữ số khỏc nhau, sao cho trong cỏc chữ số đú cú mặt số 0 và 1.
Bài giải
* Số cỏc số cú 6 chữ số khỏc nhau là:
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số cỏc số cú 6 chữ số khỏc nhau và đều khỏc 0 là:
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số cỏc số cú 6 chữ số khỏc nhau và đều khỏc 1 là:
= 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số cỏc số cú 6 chữ số khỏc nhau trong đú đều cú mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
Bài 11: (ĐHQG HN khối B 2000)
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 cú thể lập được bao nhiờu số gồm 4 chữ số khỏc nhau và khụng chia hết cho 5.
Bài giải
* Trước hết ta tỡm số cỏc số gồm 4 chữ số khỏc nhau:
Cú 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (khụng chọn chữ số 0)
Cú khả năng chọn 3 chữ số cuối.
ị Cú 4. = 4.4! = 96 số.
* Tỡm số cỏc số gồm 4 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cựng là 0: cú = 24 số
Nếu chữ số tận cựng là 5: cú 3 khả năng chọn chữ số hàng nghỡn, cú = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy cú 3.6 = 18 số
Do đú cú 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 5.
Vậy cú: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khỏc nhau và khụng chia hết cho 5.
Bài 12: (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giỏo cú 12 cuốn sỏch đụi một khỏc nhau trong đú cú 5 cuốn sỏch Văn, 4 cuốn sỏch Nhạc và 3 cuốn sỏch Hoạ. ễng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giỏo chỉ muốn tặng cho cỏc học sinh trờn những cuốn sỏch thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi cú bao nhiờu cỏch tặng?
2. Giả sử thầy giỏo muốn rằng sau khi tặng sỏch xong, mỗi một trong ba loại sỏch trờn đều cũn lại ớt nhất một cuốn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn?
Bài giải
1. Số cỏch tặng là số cỏch chọn 6 cuốn sỏch từ 9 cuốn cú kể thứ tự.
Vậy số cỏch tặng là = 60480
2. Nhận xột: khụng thể chọn sao cho cựng hết 2 loại sỏch.
Số cỏch chọn 6 cuốn sỏch từ 12 cuốn sỏch là: = 665280
Số cỏch chọn sao cho khụng cũn sỏch Văn là: = 5040
Số cỏch chọn sao cho khụng cũn sỏch Nhạc là: = 20160
Số cỏch chọn sao cho khụng cũn sỏch Hoạ là: = 60480
Số cỏch chọn cần tỡm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
Bài 13: (ĐH Huế khối A chuyờn ban 2000)
Một lớp cú 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cú 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn khỏc nhau nếu:
1) phải cú ớt nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
Bài giải
1. Để cú ớt nhất là 2 nữ thỡ ta phải chọn:
* 2 nữ, 4 nam đ cú cỏch
hoặc * 3 nữ, 3 nam đ cú cỏch
hoặc * 4 nữ, 2 nam đ cú cỏch
hoặc * 5 nữ, 1 nam đ cú cỏch
hoặc * 6 nữ đ cú cỏch
Vậy: cú + + + + cỏch
2. Nếu chọn tuỳ ý thỡ số cỏch chọn là: .
Bài 14: (ĐH Huế khối DRT chuyờn ban 2000)
Cho cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ cỏc chữ số đó cho ta cú thể lập được:
1. Bao nhiờu số chẵn cú bốn chữ số và bốn chữ số đú khỏc nhau từng đụi một.
2. Bao nhiờu số chia hết cho 5, cú ba chữ số và ba chữ số đú khỏc nhau từng đụi một.
3. Bao nhiờu số chia hết cho 9, cú ba chữ số và ba chữ số đú khỏc nhau từng đụi một.
Bài giải
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khỏc nhau cú dạng:
hoặc hoặc
* Với số ta cú: 5 cỏch chọn a, 4 cỏch chọn b, 3 cỏch chọn c.
ị Cú 5.4.3 = 60 số
* Với số hoặc ta cú: 4 cỏch chọn a, 4 cỏch chọn b, 3 cỏch chọn c.
ị Cú 4.4.3 = 48 số và 48 số
Vậy cú: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số cú dạng hoặc .
* Với số ta cú: 5 cỏch chọn a, 4 cỏch chọn b.
ị Cú 5.4 = 20 số
* Với số ta cú: 4 cỏch chọn a, 4 cỏch chọn b.
ị Cú 4.4 = 16 số
Vậy cú: 20 + 16 số cần tỡm.
3. Gọi là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khỏc nhau. Khi đú {a,b,c} cú thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thỡ cỏc số phải tỡm là: 405, 450, 504, 540
đ cú 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thỡ số phải tỡm là hoỏn vị của 3 phần tử đ cú 3! = 6 số.
Vậy cú: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tỡm.
Bài 15: (ĐH Y HN 2000)
Cú 5 nhà toỏn học nam, 3 nhà toỏn học nữ và 4 nhà vật lớ nam. Lập một đoàn cụng tỏc 3 người cần cú cả nam và nữ, cần cú cả nhà toỏn học và nhà vật lớ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch?
Bài giải
Số cỏch chọn 1 nhà toỏn học nam, 1 nhà toỏn học nữ, 1 nhà vật lớ nam là:
= 5.3.4 = 60
Số cỏch chọn 1 nhà toỏn học nữ, 2 nhà vật lớ nam là: = 18
Số cỏch chọn 2 nhà toỏn học nữ, 1 nhà vật lớ nam là: = 12
Vậy: cú 60 + 18 + 12 = 90 cỏch chọn
Bài 16: (ĐH Cần Thơ khối D 2000).
Với cỏc chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập cỏc số mà mỗi số cú năm chữ số trong đú cỏc chữ số khỏc nhau từng đụi một. Hỏi
1. Cú bao nhiờu số trong đú phải cú mặt chữ số 2.
2. Cú bao nhiờu số trong đú phải cú mặt hai chữ số 1 và 6.
Bài giải
Xột số năm chữ số
1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trớ: cú 5 cỏch xếp
Sau đú xếp 5 chữ số cũn lại vào 4 vị trớ cũn lại: cú = 120 cỏch.
Vậy cú 5.120 = 600 số.
2. Xếp cỏc chữ số 1 và 6 vào 5 vị trớ: cú cỏch.
Xếp 4 chữ số cũn lại vào 3 vị trớ cũn lại: cú = 24 cỏch.
Vậy cú . = 480 số.
Bài 17: (ĐH Thỏi Nguyờn khối AB 2000)
Một đội văn nghệ cú 20 người, trong đú cú 10 nam và 10 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn ra 5 người sao cho:
1. Cú đỳng 2 nam trong 5 người đú.
2. Cú ớt nhất 2 nam và ớt nhất 1 nữ trong 5 người đú.
Bài giải
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: cú = 5400 cỏch.
2. Cú ớt nhất 2 nam và 1 nữ, cú cỏc kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: cú 5400 cỏch
* 3 nam và 2 nữ: cú = 5400 cỏch
* 4 nam và 1 nữ: cú = 2100 cỏch
Vậy cú: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cỏch.
Bài 18: (ĐH Thỏi Nguyờn khối D 2000)
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 cú thể tạo ra được bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số, trong đú cú mặt đủ 3 chữ số trờn.
Bài giải
Tất cả cú 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiờn cú 5 chữ số. Trong cỏc số cú 5 chữ số này, xột cỏc số khụng cú mặt cỏc chữ số 2, 3, 4. Loại này cú: 6 cỏch chọn chữ số hàng vạn
7 cỏch chọn chữ số hàng nghỡn
7 cỏch chọn chữ số hàng trăm
7 cỏch chọn chữ số hàng chục
7 cỏch chọn chữ số hàng đơn vị
Do đú cú 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả cú: 90000 – 14406 = 75594 số cú 5 chữ số, trong đú cú mặt đủ cỏc chữ số 2, 3, 4.
Bài 19: (ĐH Thỏi Nguyờn khối G 2000)
Cú bao nhiờu số gồm 5 chữ số sao cho tổng cỏc chữ số của mỗi số là một số lẻ.
Bài giải
Xột một số cú 4 chữ số tuỳ ý đó cho . Cú hai khả năng:
1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thỡ cú thể lấy a5 ẻ {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số cú 5 chữ số với tổng cỏc chữ số là một số lẻ.
2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thỡ cú thể lấy a5 ẻ {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số cú 5 chữ số với tổng cỏc chữ số là một số lẻ.
Vỡ cú tất ca 9.10.10.10 = 9000 số cú 4 chữ số, mỗi số cú 4 chữ số này lại sinh ra 5 số cú 5 chữ số cú tổng cỏc chữ số là một số lẻ, nờn cú tất cả 9000.5 = 45000 số cú 5 chữ số mà tổng cỏc chữ số là một số lẻ.
Bài 20: (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
Cú 9 viờn bi xanh, 5 viờn bi đỏ, 4 viờn bi vàng cú kớch thước đụi một khỏc nhau.
1. Cú bao nhiờu cỏch chọn ra 6 viờn bi, trong đú cú đỳng 2 viờn bi đỏ.
2. Cú bao nhiờu cỏch chọn ra 6 viờn bi, trong đú số bi xanh bằng số bi đỏ.
Bài giải
1. Cú: cỏch chọn ra 2 viện bi đỏ.
cỏch chọn ra 4 viờn bi cũn lại.
Vậy cú: . = 7150 cỏch chọn
2. Cú cỏc trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng đ cú cỏch
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng đ cú cỏch
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng đ cú cỏch
Vậy cú tất cả: + + = 3045 cỏch.
Bài 21: (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Cú 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đỏnh dấu mỗi loại theo cỏc số 1, 2, 3, 4, 5. Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp tất cả cỏc thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cựng màu khụng nằm liền nhau.
Bài giải
Cú 2 khả năng:
1. Cỏc thẻ trắng ở vị trớ lẻ, cỏc thẻ đen ở vị trớ chẵn đ cú 5!5! cỏch
2. Cỏc thẻ trắng ở vị trớ chẵn, cỏc thẻ đen ở vị trớ lẻ đ cú 5!5! cỏch
Vậy tất cả cú: 5!5! + 5!5! cỏch.
Bài 22: (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Cú thể lập được bao nhiờu số gồm 8 chữ số từ cỏc chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đú cỏc chữ số 1 và 6 đều cú mặt 2 lần, cỏc chữ số khỏc cú mặt 1 lần.
Bài giải
Cú 8 ụ trống, cần chọn ra 1 ụ điền chữ số 2, 1 ụ điền chữ số 3, 1 ụ điền chữ số 4, 1 ụ điền chữ
số 5. Sau đú trong 4 ụ cũn lại, cần chọn 2 ụ điền chữ số 1, cuối cựng cũn lại 2 ụ điền chữ số 6.
Vậy cú tất cả cú: 8.7.6.5..1 = 10080 số thoả yờu cầu đề bài.
Bài 23: (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Cú bao nhiờu số khỏc nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng cỏc chữ số của mỗi số là một số chẵn.
Bài giải
Số cỏc số cú 6 chữ số là 9.105 số
Với mỗi số cú 6 chữ số ta lập được 5 số cú 7 chữ số mà tổng cỏc chữ số là một số chẵn.
Vậy cú tất cả: 9.105.5 = 45.105 số.
Bài 24: (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú đỳng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đú chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Bài giải
Theo yờu cầu của bài toỏn và số 0 khụng đứng trước bất kỡ số nào nờn cỏc số cú 5 chữ số chỉ cú thể tạo thành từ cỏc số {1, 2, 3, 4, , 8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phõn biệt bất kỡ trong T chỉ cú 1 cỏch sắp xếp duy nhất thoả món đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số cỏc số cần tỡm là: = 126.
Bài 25: (HV Kỹ thuật quõn sự 2000)
Một đồn cảnh sỏt khu vực cú 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, cũn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng?
Bài giải
Cú tất cả: = 1260 cỏch
Bài 26: (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học cú 20 học sinh, trong đú cú 2 cỏn bộ lớp. Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viờn của trường sao cho trong 3 người đú cú ớt nhất một cỏn bộ lớp.
Bài giải
Cú 2 khả năng:
* 1 cỏn bộ lớp và 2 học sinh thường: cú
* 2 cỏn bộ lớp và 1 học sinh thường: cú
Vậy số chọn là: + = 324 cỏch.
Bài 27: (HV Quõn y 2000)
Xếp 3 viờn bi đỏ cú bỏn kớnh khỏc nhau và 3 viờn bi xanh giống nhau vào một dóy 7 ụ trống. Hỏi:
1. Cú bao nhiờu cỏch xếp khỏc nhau?
2. Cú bao nhiờu cỏch xếp khỏc nhau sao cho 3 viờn bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viờn bi xanh xếp cạnh nhau?
Bài giải
1. Trước hết xếp 3 viờn bi đỏ vào 7 ụ trống. Do cỏc viờn bi đỏ khỏc nhau nờn số cỏch xếp là .
Sau đú xếp 3 viờn bi xanh vào 4 ụ cũn lại. Do cỏc viờn bi xanh giống nhau nờn số cỏch xếp là .
Vậy số cỏch xếp khỏc nhau là: . = 840 cỏch.
2. Trước hết ta cần chỳ ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ cú 6 cỏch xếp.
Sau đú, do cỏc viờn bi đỏ khỏc nhau, nờn ta hoỏn vị cỏc viờn bi đỏ với nhau. Số cỏc hoỏn vị là 3!
Vậy số cỏch xếp khỏc nhau để cỏc viờn bi đỏ đứng cạnh nhau và cỏc viờn bi xanh đứng
cạnh nhau là: 6.3! = 36 cỏch.
Bài 28: (ĐH Cảnh sỏt nhõn dõn khối G CPB 2000)
Cú bao nhiờu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
Bài giải
Cỏc số cú 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, , 999999
Cỏc số lẻ cú 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
u1 = 100017, 100035, , un = 999999
với cụng sai d = 18. Do đú:
un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000
Vậy tất cả cú 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
Bài 29: (ĐH Cảnh sỏt nhõn dõn khối G CB 2000)
Cú bao nhiờu số lẻ gồm 6 chữ số khỏc nhau lớn hơn 500000?
Bài giải
Xột số lẻ cú 6 chữ số khỏc nhau, lớn hơn 500000:
x =
Từ giả thiết ị a1 ẻ {5,6,7,8,9}, a6 ẻ {1,3,5,7,9}
Cú 2 khả năng:
1. a1 lẻ:
* a1 cú 6 cỏch chọn
* a6 cú 4 cỏch chọn
* sau khi chọn a1, a6, cần chọn , mỗi cỏch chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất cú: 6.4. = 40320 số
2. a1 chẵn:
* a1 cú 2 cỏch chọn
* a6 cú 5 cỏch chọn
* cú cỏch chọn
Vậy khả năng thứ hai cú: 2.5. = 16800 số
Kết luận: Tất cả cú: 40320 + 16800 = 57120 số cần tỡm.
Bài 30: (CĐSP Nha Trang 2000)
Với cỏc số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cú thể thành lập được bao nhiờu số tự nhiờn gồm 4 chữ số khỏc nhau và trong đú phải cú mặt chữ số 0.
Bài giải
Số cỏc số tự nhiờn gồm 4 chữ số khỏc nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là:
5. = 300
Trong cỏc số núi trờn, số cỏc số tự nhiờn khụng cú mặt chữ số 0 là: = 120
Vậy số cỏc số tự nhiờn thoả món yờu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
Bài 31: (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giỏo TƯ I 2000)
Một lớp học sinh mẫu giỏo gồm 15 em, trong đú cú 9 em nam, 6 em nữ. Cụ giỏo chủ nhiệm muốn chọn một nhúm 5 em để tham dự trũ chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn?
Bài giải
Chọn 3 em nam: cú cỏch
Chọn 2 em nữ: cú cỏch
Vậy cú: . = 1260 cỏch.
Bài 32: (ĐH An ninh khối D 2001)
Cho cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi cú thể thành lập được bao nhiờu số cú bảy chữ số từ những chữ số trờn, trong đú chữ số 4 cú mặt đỳng 3 lần, cũn cỏc chữ số khỏc cú mạt đỳng 1 lần.
Bài giải
Giả sử số cú 7 chữ số lập được viết trong 7 ụ của hỡnh sau:
Thế thỡ:
* Cú 6 cỏch chọn vị trớ cho chữ số 0 (trừ ụ số 1)
* Sau khi đó chọn vị trớ cho số chữ 0 ta cũn = 20 cỏch chọn vị trớ cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đó chọn vị trớ cho chữ số 0 và chữ số 4, ta cũn 3! = 6 cỏch chọn cho 3 chữ số cũn lại.
Vậy số cỏc số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
Bài 33: (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhúm gồm 10 học sinh, trong đú cú 7 nam và 3 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch sắp xếp 10 học sinh trờn thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
Bài giải
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trớ mà thụi thỡ số cỏch
để bố trớ 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thỡ lại cú 7! cỏch.
Vậy tất cả cú: 4!7! = 120960 cỏch.
Bài 34: (HV Chớnh trị quốc gia 2001)
Một đội văn nghệ cú 10 người, trong đú cú 6 nữ và 4 nam.
1. Cú bao nhiờu cỏch chia đội văn nghệ thành hai nhúm cú số người bằng nhau và mỗi nhúm cú số nữ như nhau.
2. Cú bao nhiờu cỏch chọn ra 5 người mà trong đú khụng cú quỏ 1 nam.
Bài giải
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhúm cú số người bằng nhau và mỗi nhúm cú số nữ như nhau tức là chia mỗi nhúm cú 5 người mà trong đú cú 3 nữ và 2 nam ị số cỏch chia là:
= 120
2. * Số cỏch chọn ra 5 người mà khụng cú nam là: = 6
* Số cỏch chọn ra 5 người mà cú 1 nam (và 4 nữ) là: = 60
Vậy số cỏch chọn ra 5 người mà cú khụng quỏ 1 nam là: 6 + 60 = 66.
Bài 35: (ĐH Giao thụng vận tải 2001)
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu số gồm 6 chữ số khỏc nhau, trong đú nhất thiết phải cú mặt chữ số 4.
Bài giải
Giả sử số cần tỡm cú dạng: A = .
+ Nếu a1 = 4 thỡ cỏc chữ số cũn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy cú = 2520 số.
+ Nếu a1 ≠ 4 thỡ vỡ a1 ≠ 0 nờn chỉ cú 6 cỏch chọn a1. Vỡ số 4 phải cú đỳng một trong 5 vị trớ cũn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đú cỏc vị trớ khỏc (khụng cú chữ số 4) sẽ chỉ cũn số khỏc nhau. Vậy trường hợp này cú 6.5. = 10800 số.
Vậy tất cả cú: 2520 + 10800 = 13320 số.
Bài 36: (ĐH Huế khối ABV 2001)
Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 4 chữ số sao cho khụng cú chữ số nào lặp lại đỳng 3 lần?
Bài giải
ã Số cỏc số tự nhiờn cú 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
ã Ta tỡm số cỏc số tự nhiờn cú 1 chữ số lặp lại đỳng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đỳng 3 lần ứng với số tự nhiờn với
a ẻ {1,2,3,..,9} ị cú 9 số
+ Số 1 lặp lại đỳng 3 lần ứng với cỏc số:
* với a ẻ {2,3,4, ,9} ị cú 8 số
* với b ẻ {0,2,3,, 9} ị cú 9 số
* với c ẻ {0,2,3,, 9} ị cú 9 số
* với d ẻ {0,2,3,, 9} ị cú 9 số
ị cú 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tỡm được 35 số tự nhiờn sao cho mỗi chữ số trờn lặp lại đỳng 3 lần.
Do đú số cỏc số tự nhiờn cú một chữ số lặp lại đỳng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
ã Vậy số cỏc số tự nhiờn gồm 4 chữ số mà trong đú khụng cú chữ số nào lặp lại đỳng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
Bài 37: (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhúm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giỏo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yờu cầu cú cả nam và nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn?
Bài giải
* Số cỏch chọn 5 em từ 13 em là: = 1287
* Số cỏch chọn 5 em toàn nam là: = 21
* Số cỏch chọn 5 em toàn nữ là: = 6
Vậy số cỏch chọn 5 em cú cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
Bài 38: (HV Kỹ thuật quõn sự 2001)
Trong số 16 học sinh cú 3 học sinh giỏi, 5 khỏ, 8 trung bỡnh. Cú bao nhiờu cỏch chia số học sinh đú thành 2 tổ, mỗi tổ cú 8 người sao cho ở mỗi tổ đều cú học sinh giỏi và mỗi tổ cú ớt nhất 2 học sinh khỏ.
Bài giải
Mỗi tổ cú 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vỡ khụng phõn biệt thứ tự của 2 tổ nờn số cỏch chia phải tỡm là số cỏch tạo thành một tổ cú 8 học sinh trong đú phải cú 1 học sinh giỏi và ớt nhất 2 học sinh khỏ. Cỏc học sinh cũn lại tạo thành tổ thứ hai.
ã Trường hợp 1: Cú 2 học sinh khỏ:
* Cú 3 cỏch chọn 1 học sinh giỏi.
* Cú = 10 cỏch chọn 2 học sinh khỏ.
* Cú = 56 cỏch chọn 5 học sinh trung bỡnh.
ị Cú: 3.10.56 = 1680 cỏch.
ã Trường hợp 2: Cú 3 học sinh khỏ:
* Cú 3 cỏch chọn 1 học sinh giỏi.
* Cú = 10 cỏch chọn 3 học sinh khỏ.
* Cú = 70 cỏch chọn 4 học sinh trung bỡnh.
ị Cú: 3.10.70 = 2100 cỏch.
Vậy cú tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cỏch.
Bài 39: (ĐH Kinh tế quốc dõn 2001)
Với cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn mà mỗi số cú 5 chữ số khỏc nhau và trong đú phải cú chữ số 5.
Bài giải
Ta sử dụng 5 ụ sau để viết số cú 5 chữ số:
ã Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Cú 4 cỏch chọn vị trớ cho chữ số 0. Sau đú cũn 4 cỏch chọn vị trớ cho chữ số 5. Số cỏch chọn 3 chữ số cọn lại là:
ị Số cỏc số thu được là: 4.4. = 960 số
ã Trường hợp 2: Số tạo thành khụng chứa số 0:
Cú 5 cỏch chọn vị trớ cho chữ số 5.
Số cỏch chọn 4 chữ số cũn lại là:
ị Số cỏc số thu được là: 5. = 600 số.
Vậy cú tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
Bài 40.(HV Ngõn hàng TPHCM khối A 2001)
1. Cú thể tỡm được bao nhiờu số gồm 3 chữ số khỏc nhau đụi một?
2. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cú thể lập được bao nhiờu số chẵn cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau?
Bài giải
1. Cú 9 cỏch chọn chữ số hàng trăm, 9 cỏch chọn chữ số hàng chục, 8 cỏch chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy cú 9.9.8 = 648 số.
2. ã Trường hợp 1: Chữ số tận cựng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số cũn lại nờn số cỏc số tạo thành là: = 840
ã Trường hợp 2: Chữ số tận cựng khỏc 0.
* Chữ số tận cựng cú 3 cỏch chọn (từ 2, 4, 6)
* Chữ số đứng đầu cú 6 cỏch chọn
* 3 chữ số cũn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số cũn lại.
ị Số cỏc số tạo thành: 3.6. = 2160
Vậy cú tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
Bài 41.(ĐH NgoFile đính kèm:
Bai toan To hop 11 hay.doc
