Bài tập Giới hạn hàm số (3)

GIỚI HẠN HÀM SỐ
(Trích tạp chí THTT)
LaTeX: phong36a@gmail.com
02/10/2012
Mục lục
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
2
1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . . 2
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . . 3
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . . 3
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không cùng
bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Dạng 6: Dạng vô định
0
0
của một hàm hàm số lượng giác . . . . . . . . . 4
1.7 Dạng 7: Dạng vô định
0
0
của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . 4
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định
∞
∞ ,∞−∞, 1
∞, 0.∞ 6
2.1 Dạng vô dịnh
∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Dạng vô định ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Dạng vô định 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Dạng vô định 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Một số dạng toán liên quan 7
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
WWW.VNMATH.COM
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số
Tìm lim
x→x0
f(x)
g(x)
trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x0 là nghiệm
Cách giải: Ta có lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
(x− x0)f1(x)
(x− x0)g1(x) = limx→x0
f1(x)
g1(x)
= ... = lim
x→x0
fk(x)
gk(x)
=
fk(x0)
gk(x0)
. Với
điều kiện f 2k (x0) + g
2
k(x0)
Thí dụ 1: Tính lim
x→1
x3 + x2 − 2
x4 − x3 + x2 + x− 2
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
a. lim
x→ 1
2
8x3 − 1
6x2 − 5x+ 1 b. limx→1
2x4 − 5x3 + 3x2 + x− 1
3x4 − 8x3 + 6x2 − 1
c. lim
x→√2
2x3 − (4√2 + 1)x2 + (4 + 2√2)x− 2
x3 − (2√2 + 1)x2 + (2 + 2√2)x− 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
hai
Tìm lim
x→x0
√
f(x)− a
g(x)
trong đó
√
f(x0) = a và g(x0) = 0
Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp
√
f(x)+a ta được lim
x→x0
√
f(x)− a
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)− a2
g(x)(
√
f(x) + a)
= lim
x→x0
(x− x0)f1(x)
(
√
f(x) + a)(x− x0)g1(x)
= lim
x→x0
f1(x)
(
√
f(x) + a)g1(x)
=
f1(x0)
2a.g1(x0)
Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
x→x0
√
f(x)− a√
g(x)− b , limx→x0
√
f1(x)−
√
f2(x)
g(x)
, lim
x→x0
√
f1(x)−
√
f2(x)√
g1(x)−
√
g2(x)
hoàn toàn tương tự.
Thí dụ 2: Tính lim
x→1
√
x+ 8− 3
x2 + 2x− 3
Thí dụ 3: Tính lim
x→1
√
x+
√
x− 1− 1√
x2 − 1
Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng
0
0
đôi khi ta tách thành tổng các
phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→2
√
x+ 2−√2x√
x− 1−√3− x b. limx→1
x− 1√
x2 + 3 + x3 − 3x
c. lim
x→2
√
x− 1 + x4 − 3x3 + x2 + 3√
2x− 2
2
WWW.VNMATH.COM
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3
Tìm lim
x→x0
3
√
f(x)− a
g(x)
trong đó 3
√
f(x0) = a và g(x0) = 0
Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp 3
√
f 2(x) + a 3
√
f(x) + a2
Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim
x→x0
3
√
f(x) + a
g(x)
; lim
x→x0
3
√
f(x)± a
3
√
g(x)± b ;
lim
x→x0
3
√
f(x)± a√
g(x)− b ; limx→x0
3
√
f1(x)± 3
√
f2(x)√
g1(x)−
√
g2(x)
;
lim
x→x0
3
√
f1(x)± 3
√
f2(x)
3
√
g1(x)± 3
√
g2(x)
hoàn toàn tương tự.
Thí dụ 4: Tính lim
x→2
3
√
4x− 2
x− 2 ĐS:
1
3
Thí dụ 5: Tính lim
x→−1
3
√
x+ x2 + x+ 1
x+ 1
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→1
3
√
2x− 1− 3√x√
x− 1 b. limx→1
√
2x− 1 + x2 − 3x+ 1
3
√
x− 1 + x2 − x+ 1
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
cao
Dạng thường gặp: Tìm lim
x→0
n
√
1 + ax− 1
x
Cách giải: Đặt t = n
√
1 + ax→ tn = 1 + ax→ x = t
n − 1
a
và khi x→ 0 thì t→ 1
Khi đó lim
x→0
n
√
1 + ax− 1
x
= lim
t→1
a(t− 1)
tn − 1 =
a
n
Thí dụ 6: Tính lim
x→0
5
√
1 + 5x− 1
x
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
4
√
2x+ 1− 1
x
b. lim
x→1
4
√
4x− 3− 1
x− 1 c. limx→1
7
√
2− x− 1
x− 1
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không
cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định
0
0
Thí dụ 7: Tính lim
x→0
2
√
1 + x− 3√8− x
x
(Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số)
Thí dụ 8: Tính lim
x→0
√
1 + 2x− 3√1 + 3x
x2
(Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số)
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→2
3
√
8x+ 11−√x+ 7
x2 − 3x+ 2 b. limx→0
3
√
1 + x2 − 4√1− 2x
x+ x2
c. lim
x→0
√
1 + 4x− 3√1 + 6x
x2
d. lim
x→1
4
√
2x− 1 + 5√x− 2
x− 1
3
WWW.VNMATH.COM
e. lim
x→0
(x2 + 2004) 7
√
1− 2x− 2004
x
f. lim
x→0
(x2 + 2001) 9
√
1− 5x− 2001
x
1.6 Dạng 6: Dạng vô định
0
0
của một hàm hàm số lượng giác
Định lí: lim
x→0
sinx
x
= 1
Hệ quả: lim
x→a
sinu(x)
u(x)
= 1 (nếu lim
x→a
= 0); lim
x→0
x
sinx
= 1; lim
x→0
tanx
x
= 1
Thí dụ 9: Tìm lim
x→pi
2
(
1
cosx
− tanx) Làm theo 2 cách
Thí dụ 10:Tìm lim
x→pi
3
sinx−√3 cosx
sin 3x
.
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
1− cosx.√cos 2x
x2
; b) lim
x→pi
4
sinx−
√
2
2
tanx− 1 .
c) lim
x→0
cos4 x− sin4 x− 1√
x2 + 1− 1 d) limx→0
1− 3√cosx
tan2 x
e) lim
x→0
cos (
pi
2
cosx)
sin2
x
2
g) lim
x→0
1−√2x+ 1 + sinx√
3x+ 4− 2− x
h) lim
x→0
∣∣∣∣1− |1 + sin 3x|√1− cosx
∣∣∣∣ i) limx→0
(
1− cos 3x. cos 5x. cos 7x
sin2 7x
)
k) lim
x→pi
4
3
√
tanx− 1
2 sin2 x− 1 m) limx→0
1− cosx. cos 2x
x2
1.7 Dạng 7: Dạng vô định
0
0
của hàm số mũ và hàm số logarit
Định lý: lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e; lim
x→∞
(1 + x)
1
x = e; lim
x→0
ln 1 + x
x
= 1; lim
x→0
ex − 1
x
=
1
Thí dụ 11 : Tính lim
x→0
eax − ebx
x
Thí dụ 12: Tính lim
x→0
ln tan
(pi
4
+ ax
)
sin bx
Thí dụ 13:Tính lim
x→0
ln (sinx+ cosx)
x
Bài tập luyện tập :
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
esin 2x − esinx
sinx
; . lim
x→0
e2x − 1√
1 + x−√1− x
c. lim
x→0
e3x
2
. cos2 x− 1
x2
; d. lim
x→0
3x
2 − cosx
x2
e. lim
x→0
e−2x
2 − 3√1 + x2
ln (1 + x2)
; g. lim
x→0
ecosx−cos 3x − cos 2x
x2
4
WWW.VNMATH.COM
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm
Ta có f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Thí dụ 14 :Tìm A = lim
x→0
(x2 + 2010) 9
√
1− 9x− 2010
x
Thí dụ 15 :Tìm B = lim
x→0
1−√2x+ 1 + sinx√
3x+ 4− 2
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→1
4
√
2x− 1 + 5√x− 2
x− 1 ; b. limx→0
1−√2x+ 1 + sinx√
3x+ 4− 2
c. lim
x→0
esin 2x − esinx
sinx
; d. lim
x→pi
4
3
√
tanx− 1
2 sin2 x− 1
e. lim
x→0
e−2x
2 − 3√1 + x2
ln (1 + x2)
Một số bài trong các đề thi
Bài 1: lim
x→1
√
2x− 1−√x
x− 1 (HVNH-98)
Bài 2: lim
x→1
x3 −√3x− 2
x− 1 (ĐHQG-98)
Bài 3: lim
x→0
2
√
1 + x− 3√8− x
x
(ĐHQG KA-97)
Bài 4: lim
x→1
4
√
2x− 1 + 5√x− 2
x− 1 (ĐHSP II KA-99)
Bài 5: lim
x→0
1− cos22x
x sinx
(ĐH ĐN KD-97)
Bài 6: lim
x→0
∣∣∣∣1− |1 + sin 3x|√1− cosx
∣∣∣∣ (ĐHQG KB 97)
Bài 7: lim
x→0
(
2
sin 2x
− cotx
)
(ĐHL-98)
Bài 8: lim
x→0
tanx− sinx
x3
(HVKTQS-97)
Bài 9: lim
x→0
cos
(pi
2
cosx
)
sin2
x
2
(ĐHTN-KA-97)
Bài 10: lim
x→0
1− sin 2x− cos 2x
1 + sin 2x− cos 2x
Bài 11: lim
x→0
tan(a+ x). tan(a− x)− tan2a
x2
(ĐHTN-98)
Bài 12: lim
x→0
98
83
(
1− cos 3x. cos 5x. cos 7x
sin27x
)
(ĐHAN KA00)
Bài 13: lim
x→0
1−√2x+ 1 + sinx√
3x+ 4− 2− x (ĐHGTVT 98)
Bài 14: lim
x→0
√
1 + x2 − cosx
x2
(ĐHTM-99)
Bài 15: lim
x→0
1−√cosx
1− cos√x (ĐHHH-97)
Bài 16: lim
x→0
√
1 + tan x−√1 + sin x
x3
(ĐHHH 00)
Bài 17: lim
x→0
esin 2x − esinx
sinx
(ĐHHH 99)
5
WWW.VNMATH.COM
Bài 18: lim
x→1
x3 + x2 − 2
sin(x− 1) (ĐHQG KD-99)
Bài 19: lim
x→0
e−2x
2 − 3√1 + x2
ln(1 + x2)
(GTVT 01)
Bài 20: lim
x→0
√
2x+ 1− 3√x2 + 1
sinx
(ĐHQG-00)
Bài 21: lim
x→1
√
5− x− 3√x2 + 7
x2 − 1 (TCKT-01)
Bài 22: lim
x→0
√
1 + 2x− 3√1 + 3x
x2
(ĐH Thủy Lợi -01)
Bài 23: lim
x→
pi
4
[
tan 2x. tan
(
pi
4
− x)] (ĐHSP II-00)
Bài 24: lim
x→0
3x
2 − cosx
x2
(ĐHSP II-00)
Bài 25: lim
x→0
cos4x− sin4x− 1√
x2 + 1− 1 (ĐHHH-01)
Bài 26: lim
x→0
√
x+ 1 + 3
√
x− 1
x
(TK-02)
Bài 27: lim
x→1
x6 − 6x+ 5
(x− 1)2 (TK-02)
Bài 28: lim
x→0
1−√2x2 + 1
1− cosx (ĐHBK-01)
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định
∞
∞,∞−∞, 1
∞, 0.∞
2.1 Dạng vô dịnh
∞
∞
Cách giải : Để khử dạng vô định
∞
∞ ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của
biến.
Thí dụ 1 : Tính lim
x→+∞
√
x+
√
x√
x+ 1
Thí dụ 2 : Tính lim
x→+∞
x2 + 2x+ 1
x
√
x+ 1
Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
a. lim
x→+∞
x+ 1
x
√
x+
√
x
; b. lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x+ 4
√
x√
2x+ 1
2.2 Dạng vô định ∞−∞
Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞−∞. Đôi khi phải cùng
thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞−∞, rồi mới thực hiện phép nhân
liên hợp như trên.
Thí dụ 3: Tìm lim
x→+∞
(
√
x2 − 1− x)
Thí dụ 4 : Tìm lim
x→+∞
( 3
√
x3 + 3x2 −√x2 − x+ 1)
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn sau:
6
WWW.VNMATH.COM
a. lim
x→+∞
(
√
x2 + x+ 1−√x2 − x+ 1) b. lim
x→+∞
(
√
4x2 + 3x− 1− 3√8x3 − 5x2 + 3)
2.3 Dạng vô định 1∞
Tìm lim
x→+∞
(
f(x)
g(x)
)x
, trong đó lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= 1
Cách giải: Biến đổi
f(x)
g(x)
= 1 +
1
t
, khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản
lim
t→+∞
(
1 +
1
t
)t
= e
Thí dụ 5 : Tìm lim
x→+∞
(
x+ 3
x+ 1
)x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a. lim
x→+∞
(
2x+ 3
2x− 1
)x
b. lim
x→+∞
(
x+ 3
x− 1
)x
2.4 Dạng vô định 0.∞
Cách giải: Biến đổi đưa về dạng
0
0
hoặc
∞
∞
Thí dụ 6: (Đưa về dạng
0
0
) Tìm lim
x→−1+
(x3 + 1)
√
x
x2 − 1
Thí dụ 7: (Đưa về dạng
∞
∞ Tìm limx→+∞(x− 2)
√
x+ 1
x3 − x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a. lim
x→4+
(x2 − 16)
√
x
x3 − 64 b. limx→+∞
x− 1
x3 + 5
√
x+ 2
3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim
x→x0
f(x) = f(x0)
• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x0. Hàm số y = f(x) liên
tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) = f(x0).
Thí dụ 8: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1 :
f(x) =

3
√
x− 2 +√2x− 1
x− 1 khi x 6= 1
a khi x = 1
Thí dụ 9: Cho f(x) =
{
ex khi x < 0
a+ x khi x ≥ 0 Hãy tìm a sao cho hàm số f(x) liên tục.
Bài tập tự luyện:
Tìm m để hàm số f(x) liên tục:
7
WWW.VNMATH.COM
a. f(x) =

tanx− 3 cotx
3x− pi khi x 6=
pi
3
m khi x =
pi
3
b. f(x) =
{
ex khi x < 1
mx− 1 khi x ≥ 1
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0:
y = f(x) =
 e
tanx−sinx − 1
x2
khi x 6= 0
0 khi x = 0
Bài tập tự luyện:
1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =
{
ln (cos 2x)
sinx
khi x 6= 0
0 khi x = 0
2. Cho hàm số y = f(x) =
{
x2 khi x ≤ 1
ax+ b khi x > 1
Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
3. Chứng minh rằng hàm số y =
x2 − 2|x+ 3|
3x− 1 liên tục tại x = −3 nhưng không có đạo hàm tại
điểm này.
—————– Hết ——————–
8
WWW.VNMATH.COM