Bài tập Hình 9 học kì 2

 Cho nhọn (AB<AC) nội tiếp (O; R). Phân giác cắt BC, (O) lần lượt tại E, D. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M, AH là đường cao .
C/m: MA2 = MB.MC.
So sánh MA và ME.
C/m: AD là phân giác .
Vẽ đường kính DI của (O) cắt BC tại K. Vẽ tiếp tuyến MF của (O). C/m: F, E, I thẳng hàng.
Cho BE = a, CE = b. Tính MA theo a, b.
 Cho đường tròn (O; R), S là điểm ngoài (O) sao cho SO = 2R. Từ S vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB đến (O).
C/m: SAOB nội tiếp và tính độ dài AB.
Gọi I là giao điểm sủa SO và (O). C/m: I là trọng tâm .
Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, H là hình chiếu của A lên BD. C/m: SD qua trung điểm của AH.
SD cắt (O) tại E. C/m: SO là tiếp tuyến của đường tròn (SAE).
 Cho (O; R) đường kính AB. H là trung điểm đoạn OB trên đường thẳng (d) vuông góc với OB tại H. Lấy 1 điểm S ở ngoài (O). SA, SB cắt (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi Q là giao điểm AD và BC.
C/m: BHQD nội tiếp.
C/m: H, Q, S thẳng hàng.
C/m: DA là tia phân giác của .
Cho SABC = 2SAQB. Tính SH theo R.
C/m: OHDC nội tiếp.
Giả sử . Tính bán kính đường tròn (OHDC) theo R.
 Cho (O; R) và 1 điểm A ở ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là tiếp điểm).
C/m: ABOC nội tiếp.
Kẻ đường kính BD của (O). Vẽ . C/m: AC.CD = CK.AO.
Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại M, N và cắt BC tại H. C/m: MH.AN = AH.HN.
AD cắt CK tại I. C/m: I là trung điểm của CK.
 Cho (O; R) và điểm M sao cho OM = 3R. Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB. Gọi E là trung điểm MB, đường thẳng EA cắt (O) tại C, MC cắt (O) tại D.
C/m: MAOB nội tiếp. Tính SMAOB theo R.
C/m: EB2 = EC.EA.
C/m: cân.
Vẽ AH vuông góc với đường kính BK tại H. C/m: MK qua trung điểm của AH.
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kì . Tia phân giác cắt (O) tại D, AD và BC cắt nhau tại E.
C/m: cân.
AC cắt BD tại H, EH cắt AB tại I. C/m: HCBI nội tiếp.
BD cắt Ax tại K, tứ giác AHEK là hình gì.
Cho ; AH = 6cm. Tính EC.
 Cho nhọn nội tiếp (O; R). Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa cung AB, AC.
C/m: cân; với E, H là giao điểm của MN với AB, AC.
BN cắt CM tại S. Điểm S là điểm đặc biệt gì của . C/m: .
C/m: HSCN nội tiếp.
C/m: HS//AB.
AS cắt (O) tại I, MI cắt BC tại K. C/m: H, S, K thẳng hàng.
 Cho nhọn nội tiếp (O; R) (AB>AC) đường cao BE, CF cắt nhau tại H. AD cắt (O) tại I, AO cắt (O) tại K.
C/m: .
C/m: BCIK là hình thang cân và BHCK là hình bình hành.
C/m: AE.AC = AF.AB.
Gọi G là trọng tâm . C/m: O, G, H thẳng hàng.
Cho số đo cung BC là 1200. C/m: .
Tính DB2 + DC2 + DA2 + DI2 theo R.
Gọi Q là trung điểm BC. C/m: tứ giác QDEF nội tiếp.
 Cho điểm A ở ngoài (O; R). Vẽ tiếp tuyến AB, AC đến (O) và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE.
C/m: 5 điểm A, H, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
C/m: HA là phân giác .
BC cắt DE tại I. C/m: AB2 = AI.AH và AI.AH = AD.AE.
BH cắt (O) tại K. C/m: AE//CK.
 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Dây cung tại F. Lấy 1 điểm M thuộc cung BC nhỏ. AM cắt CD tại E.
C/m: AM là phân giác .
C/m: EFBM nội tiếp.
C/m: AC2 = AE.AM.
CB cắt AM tại N, MD cắt AB tại I. C/m: NI//CD.
C/m: N là tâm đường tròn nội tiếp .
 Cho đường tròn (O; R), đường thẳng xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy 1 điểm A ở ngoài EF. Vẽ tiếp tuyến AB, AC đến (O), gọi H là trung điểm EF. 
C/m: B, C, H, O cùng thuộc một đường tròn.
BC cắt OA tại I, cắt OH tại K. C/m: OI.OA = OH.OK.
C/m: KE, KF là tiếp tuyến của (O).
Vẽ dây BN//EF. C/m: 3 điểm C, H, N thẳng hàng.
 Cho điểm M ở ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến MA, MB đến (O). Lấy điểm C thuộc cung AB nhỏ. Kẻ , và .
C/m: AECD, BDCF nội tiếp.
AC cắt ED tại I, BC cắt DF tại K. C/m: CD2 = CE.CF.
C/m: tia đối của tia CD là tia phân giác của .
C/m: IK//AB.
 Cho nhọn nội tiếp (O; R) có AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H.
C/m: H là tâm đường tròn nội tiếp .
Gọi I là trung điểm BC. C/m: Tứ giác EDFI nội tiếp.
Gọi G là trọng tâm . C/m: H, G, O thẳng hàng.
Cho . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp .
 Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E thuộc BC sao cho . Kẻ tại H, BH cắt DC tại K.
C/m: BDCH và ABHD nội tiếp.
AH cắt BD tại M. C/m: MD.AB = MA.DH.
C/m: 3 điểm M, E, K thẳng hàng.
Tính HK theo a (cạnh hình vuông).
 Từ 1 điểm A ở ngoài (O; R). Vẽ tiếp tuyến AM, AN đến (O). Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M vẽ , BO cắt AM tại C, cắt AN tại D. Gọi I là trung điểm AC, BI cắt AN tại E, BM cắt AN tại K.
C/m: 4 điểm M, B, N, O cùng thuộc một đường tròn.
C/m: BC là phân giác .
C/m: DN.AK = AN.DK.
C/m: cân.
 Từ điểm P nằm ngoài (O; R). Vẽ cát tuyến PAB đến (O) (A nằm giữa P, B). Tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt nhau tại M. Gọi K là trung điểm. Vẽ tại H, MH cắt AB tại N.
C/m: O, A, M, B cùng thuôc một đường tròn.
MN cắt (O) tại C, D (MC<MD). C/m: .
C/m: CKOD nội tiếp.
C/m: PC, PD là tiếp tuyến của (O).
 Cho nhọn nội tiếp (O; R) đường cao AM, CN cắt nhau tại H.
C/m: ANMC nội tiếp.
C/m: .
BH cắt AC tại D. C/m: H là tâm đường tròn nội tiếp .
Cho , K là trung điểm AC. C/m: DNM nội tiếp, tính bán kính đường tròn này.
 Tại điểm A ở ngoài (O; R). Vẽ tiếp tuyến AB, AC đến (O) và cát tuyến AEF, BC cắt OA tại I. AC cắt (O) tại M, N (M nằm giữa A và O).
C/m: AC2 = AE.AF.
C/m: EICF nội tiếp.
C/m: M là tâm đường tròn nội tiếp .
C/m:.
Cho BE = 4cm; BF = 8cm; EF = 6cm. Tính AE.
 Từ 1 điểm M ở ngoài (O; R). Vẽ tiếp tuyến MA, cát tuyến MCD đến (O) (tâm O ở trong )
C/m: MA2 = MB.MC.
C/m: .
Gọi H là hình chiếu của A trên MO. C/m: tứ giác CHOB nội tiếp.
Cho bán kính của (O) là 3cm, MO = 5cm, BC = 4cm. Tính MC.
 Cho nhọn nội tiếp (O; R) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
C/m: CDHE, AEDB nội tiếp.
C/m: AF.AB = AE.AC = AH.AD.
C/m: H là tâm đường tròn nội tiếp .
Gọi I là trung điểm BC, HI cắt cung nhỏ BC tại K. C/m: A, K, O thẳng hàng.
Cho . Tính EF theo R.
 Cho đường tròn (O) đường kính AC. Lấy B trên OC. Vẽ (O’) đường kính BC. Gọi M là trung điểm AB. Từ M vẽ dây cung . DC cắt (O’) tại I.
C/m: ADBE là hình thoi.
C/m: Tứ giác DMBI nội tiếp.
C/m: B, I, E thẳng hàng.
C/m: MC.BD = MI.CD.
C/m: MI là tiếp tuyến của (O’).
C/m: .
 Cho vuông tại A. Lấy 1 điểm M trên AC (AM>MC). Vẽ đường tròn (O) đường kính MC cắt BC tại E, đường thẳng BM cắt (O) tại D và AD cắt (O) tại S.
C/m: nội tiếp.
C/m: EM là phân giác .
C/m: CA là phân giác .
C/m: BA, EM và CD đồng qui.
 Cho đường tròn (O; R) và điểm M sao cho OM = 2R. Qua M vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến (O). C là điểm bất kì thuộc cung AB nhỏ. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt MA, MB lần lượt ở E, F.
C/m: EF = EA + FB.
Tính chu vi theo R.
Tính .
Gọi I và K lần lượt là giai điểm của OE và OF với AB. C/m: IF, EK và OC đồng qui.
 Cho (O; R) và điểm M sao cho OM = 3R. Qua M vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến (O). Từ A vẽ dây cung AD//MB. Đường thẳng MD cắt (O) tại C. Đường thẳng BC cắt MA tại F. Đường thẳng AC cắt MB tại E.
C/m: MAOB nội tiếp.
C/m: EB2 = EC.EA.
C/m: E là trung điểm MB.
C/m: BC.MB = MC.AB.
C/m: CF là tia phân giác .
Tính SBAM theo R.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và MB theo R.
 Cho (O; R), 1 điểm S cố định ở ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến SM và cát tuyến SPQ đến (O). Gọi N thuộc (O) sao cho SN = SM.
C/m: SN là tiếp tuyến của (O).
C/m: SM2 = SP.SQ.
Phân giác của cắt PQ tại A cắt (O) tại E. C/m: và SA = SM.
Từ P vẽ PT//AM cắt MQ tại B. C/m: cân và .
Tìm vị trí của cát tuyến SPQ sao cho PS + SQ lớn nhất.
C/m: SA2 = SP.SQ là hằng sô.
 Cho nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao AK, BE, CD cắt nhau tại H.
C/m: BDEC nội tiếp.
C/m: AD. AB = AE.AC.
C/m: AK là phân giác .
AH kéo dài cắt (O) tại M. C/m: BC là trung trực của HM.
Gọi E là trung điểm BC. C/m: Tứ giác DEIK nội tiếp.
Gọi G là trung điểm DE. C/m: OA//IG.
C/m: .
 Cho nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F, BF cắt CE tại H.
C/m: tại K.
C/m: AE.AB = AF.AC.
Tia EK cắt (O) tại D. C/m: FD//AH.
C/m: E, F, O, K cùng thuộc 1 đường tròn.
 Từ 1 điểm A ở ngoài (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O).
C/m: .
Qua A kẻ 1 cát tuyến bất kì cắt (O) tại E và F (AE<AF). Gọi I là trung điểm EF. C/m: 5 điểm A, B, O, I cùng thuộc 1 đường tròn. 
C/m: AB2 = AE.AF.
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M và cắt BF tại N. C/m: M là trung điểm EN.
 Từ điểm I ngoài (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến IA, IB với (O). Vẽ dây AD//IB. ID cắt (O) tại E. Tia AE cắt IB tại K.
C/m: IAOB nội tiếp.
C/m: cân.
C/m: KB2 = KA.KE.
C/m: K là trung điểm IB.
 Cho (O; R), A ở ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC. Kẻ dây BD//AC, AD cắt (O) tại E, đường thẳng BE cắt AC tại M.
C/m: .
C/m: MA = MC.
Gọi N là trung điểm AB, H là giao điểm CN và BM. C/m: HEOA và OCHE nội tiếp.
Cho R = 3, OA = 5. Tính SHOC.
 Cho (O). Từ A ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến (O), K là trung điểm DE.
C/m: A. B, O, K, C cùng thuộc 1 đường tròn.
Gọi H là giao điểm OA với BC, kẻ dây EF//OA. C/m: D, H, F thẳng hàng.
C/m: ADOF nội tiếp.
Kẻ đường kính BI của (O), ID và IE cắt OA tại M, N. C/m: OM = ON.
 Cho (O; R), M nằm ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB, cát tuyến MCD (C nằm giữa M, D).
 và OBMA nội tiếp.
Gọi I là trung điểm CD. C/m: 
C/m: AC.AD = AD.BC.
Vẽ đường kính BK của (O), KD, KC cắt MO tại J, L. C/m:O là trung điểm JL.
 Cho điểm A nằm ngoài (O; R) sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là tiếp điểm).
C/m: Tứ giác ABOC nội tiếp.
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D (D khác B). Đường thẳng AD cắt (O) ở E (E khác D). C/m: Tia đối EC là phân giác của .
BE cắt AC tại I. C/m: I là trung điểm AC.
Tính diện tích tam giác BDC theo R.
 Cho nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
C/m: Tứ giác ADHE, BDEC nội tiếp được đường tròn.
C/m: và có cùng tia phân giác.
C/m: OA vuông góc DE.
Giả sử . C/m: SABC = 2SADE.
Vẽ đường tròn (A; AH) cắt đường tròn (O) tại M, N. C/m: 4 điểm M, D, E, N thẳng hàng.
 Cho có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại I (I khác A).
C/m: I là điểm chính giữa cung BC và .
C/m: AB.AC = AD.AI.
Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. C/m: 3 điểm O, I, M thẳng hàng.
Một cát tuyến qua M và song song với AB, cắt đường tròn (O) tại E và F, cắt AC tại K. C/m: OMCK là tứ giác nội tiếp và K là trung điểm của EF.