Bài tập Hình học 11 - Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, (tức là vừa nằm trong mặt phẳng này vừa nằm trong mặt phẳng kia).
Dạng 1. Giao tuyến đi qua hai điểm
- Tìm hai điểm chung và của và ;
- Đường thẳng là giao tuyến cần tìm ()
* Chú ý: Thông thường điểm chung thứ nhất dễ nhận ra, điểm chung thứ hai thường là giao điểm của hai đường thẳng đặc biệt lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho nhưng lại thuộc mặt phẳng thứ ba. Do đó cần tìm hai đường thẳng nào cắt nhau, hai đoạn thẳng nào kéo dài cắt nhau trong mặt phẳng.
Dạng 2. Giao tuyến đi qua một điểm và có giá song song
- Tìm một điểm chung (là điểm chẳng hạn) của hai mặt phẳng và ;
- Hai mặt phẳng và lần lượt chứa hai đường thẳng , và . Khi đó giao tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua và song song với (ký hiệu là ).
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cặp đối không song song. Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình thang ( là đáy lớn). Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ; 	c) và .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và ;
d) và ;	e) và ;	f) và .
Bài 4. Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm , ; là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và .
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Lấy lần lượt thuộc , sao cho ; . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;
c) và ;	d) và .
Vấn đề 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :
- TH1: chứa đường thẳng và cắt tại thì chính là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
- TH2: không chứa đường thẳng nào cắt 
 + Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng ;
 + Tìm giao tuyến của và ;
 + Tìm giao điểm của và . Khi đó là giao điểm cần tìm.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm , ; là điểm thuộc sao cho . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và .
Bài 2. Cho tứ diện . Gọi , là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh , với và . Gọi là trọng tâm tam giác . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và .
Bài 3. Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm , ; là điểm thuộc sao cho . Tìm giao điểm của:
a) và 	;	b) và .
Bài 4. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và .
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là hình thang, , . Lấy lần lượt nằm trên các đoạn , , . Tìm giao điểm của:
a) và 	c) và 
Vấn đề 3. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1.
- Chứng minh hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng hoặc hiểu hiểu ngầm rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng nằm trong một hình phẳng nào đó.
- Dùng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng như: định lý Ta-let, các hình thang, hình bình hành, đường trung bình của tam giác, quan hệ song song,
Phương pháp 2.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Phương pháp 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với hai đường thẳng ấy.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện . Gọi theo thứ tự là trung điểm của , . Mặt phẳng đi qua cắt cạnh tại và khác . Chứng minh song song với và .
Bài 2. Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh rằng song song với .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình thang, , . Gọi , lần lượt là trung điểm , .
a) Chứng minh rằng: 
b) Tìm giao điểm của và 
c) cắt tại . Chứng minh rằng: 
Vấn đề 4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp 1. Để chứng minh ta làm như sau:
- Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng 
Phương pháp 2. Để chứng minh ta làm như sau:
- Chọn mặt phẳng chứa 
- Tìm giao tuyến của và ;
- Chứng minh .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , .
a) Chứng minh rằng: và 
b) Chứng minh rằng: và 
Bài 2. Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tứ diện, sao cho . Chứng minh rằng: .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Chứng minh rằng:
a) và 
b) ; là hình gì? Vì sao?
Vấn đề 5. Xác định thiết diện
Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác được tạo bởi một mặt phẳng cắt một khối đa diện.
Phương pháp chung để xác định thiết diện
- Muốn tìm thiết diện của một khối đa diện cho trước cắt bởi mặt phẳng ta cần tìm các đoạn giao tuyến của với các mặt của khối đa diện. Mặt phẳng này có thể không cắt tất cả các mặt của khối đa diện mà chỉ cắt một số mặt nào đó.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm , ; và không là trung điểm . Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng .
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi , lần lượt là trung điểm , ; ( không trùng với và ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Bài 3. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm trên , . Mặt phẳng qua và song song 
a) Tìm giao tuyến của và ; và .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với .
Bài 4. Cho tứ diện . Điểm tuỳ ý trên . Mặt phẳng qua và song song với , . Xác định thiết diện của tứ diện với .
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho hình chóp đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm , , .
a) Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
c) Tìm giao điểm của với 
d) Xác định thiết diện của hình chóp với .
Bài 2. Cho hình chóp đáy là hình thang ( là đáy lớn). Gọi lần lượt là trung điểm , ; sao cho .
a) Chứng minh rằng: 
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi là giao điểm của và . Tìm giao điểm của và .
Bài 3. Cho hình chóp đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm , , , .
a) Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
c) Tìm giao điểm của và 
d) Tìm thiết diện hình chóp và 
Bài 4. Cho hình chóp đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm , ; lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến của và 
b) Tìm giao điểm của và 
c) Gọi . Chứng minh rằng 
d) Tìm thiết diện hình chóp và . Thiết diện là hình gì?