Bài tập Hình học 9
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập Hình học 9, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
LUYEÄN TAÄP ø TIEÁP TUYEÁN 1/ Cho (O,R) ñöôøng kính AB, tieáp tuyeán Bx, treân Bx laáy BM=R, keû tieáp tuyeán MC, AM caét (O) taïi E. Chöùng minh: OCMB laø hình vuoâng Chöùng minh:MA.ME= R2 Chöùng minh:CME ~AMC Tính ñoä daøi CE vaø SOEB theo R 2/ Cho (O,R) ñöôøng kính BC, keû daây AD vuoâng goùc OB taïi trung ñieåm cuûa OB> Veõ BM, CN laø tieáp tuyeán cuûa (A) (M vaø N laø tieáp ñieåm). Chöùng minh:OBAC laø hình thoi. Chöùng minh:BM + NC = BC. Chöùng minh:M, A, N thaúng haøng. Tính SBMNC theo R 3/ Cho nöûa(O) ñöôøng kính AB, C thuoäc (O), keû OH vuoâng goùc BC, OH caét tieáp tuyeán taïi B ôû E. Goïi D laø giao ñieåm cuûa OE vôùi (O), M laø giao ñieåm cuûa AD vôùi BC. Chöùng minh: vaø H laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh: AD laø phaân giaùc cuûa . Chöùng minh: EC laø tieáp tuyeán cuûa (O). AD caét BE taïi I, IH caét BD taïi K. Chöùng minh: KH.BI=IK.BH 4/ Cho AB vaø AC laø 2 tieáp tuyeán cuûa(O,R) . Keû ñöôøng kính CM, keû OH vuoâng goùc BC taïi H, AM caét (O) taïi N. Chöùng minh: Chöùng minh: O, H, A thaúng haøng. Chöùng minh: AB2 =AM.AN. Chöùng minh: . Bieát OA= 3R. Tính BC vaø SAOM theo R. 5/ Cho (O) ñöôøng kính AB, keû baùn kính OI vuoâng goùc BC taïi H, goïi M laø giao ñieåm cuûa BC vaø AI. Veõ (I) baùn kính IB,AC caét (I) taïi K. Chöùng minh: H laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh: AI laø phaân giaùc cuûa . Chöùng minh: B, I, K thaúng haøng. Goïi E laø trung ñieåm cuûa AM, chöùng minh: CE laø tieáp tuyeán cuûa (I) 6/ Cho (O,R) ñöôøng kính AB,Treân tieáp tuyeán taïi A laáy AD=2R, treân (O) laáy ñieåm C sao cho AD = DC . veõ (I) ñöôøng kính OA caét AC taïi M. Chöùng minh: hai ñöôøng troøn taâm O vaø I tieáp xuùc. Chöùng minh: OM // BC vaø 3 ñieåm O, M, D thaúng haøng. Chöùng minh: DC laø tieáp tuyeán cuûa (O). Keû AI // OC ( I thuoäc AD). Chöùng minh: AOCI laø hình thoi vaø tính SAOCI theo R. 7/ Cho (O,R) ñöôøng kính AB, tieáp tuyeán Ax, treân Ax laáy ñieåm M sao cho OM=2R, keû tieáp tuyeán MC, keû CH vuoâng goùc AB vaø OK vuoâng goùc AC. Tieáp tuyeán taïi B caét AC taïi D Chöùng minh: O, K, M thaúng haøng. Chöùng minh: AC.AD = 4R2 . Keû CE vuoâng goùc AM caét OM taïi P. Chöùng minh: OCPA laø hình thoi. Goïi I laøtrung ñieåm cuûa CH, AI caét BD taïi N. Chöùng minh: CN laø tieáp tuyeán cuûa(O). 8/ Cho (O) ñk AB, daây AC < CB.Tia phaân giaùc caét tieáp tuyeán ôû A taïi M, keû CH vuoâng goùc AB. Chöùng minh: MC laø tieáp tuyeán cuûa (O). Chöùng minh: OM // BC. OM.CH = MC.BC Goïi I laø giao ñieåm cuûa CH vaø MB. Chöùng minh: I laø trung ñieåm cuûa CH. 9/ Cho (O) ñöôøng kính AB, laáy C thuoäc (O), keû baùn kính OI // AC , BI caét AC taïi D, AI caét tieáp tuyeán ôû B taïi O’. Veõ (O’) baùn kính O’B . Chöùng minh: O’B2 =O’A.O’I Chöùng minh:AO’ laø phaân giaùc . Chöùng minh: AD laø tieáp tuyeán cuûa (O’). Keû daây cung EF cuûa (O’) ñi qua I. Chöùng minh: IE.AF = IF.AE 10/ Cho (O) ñöôøng kính AB, daây cung AD > DB, keùo daøi AD moät ñoaïn DM = AD. BM caét (O) taïi C, goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Chöùng minh:AB = BM. Chöùng minh: AH.BC = HC.AB. Chöùng minh:MH vuoâng goùc AB taïi I. Chöùng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2 . Goïi K laø trung ñieåm MH. Chöùng minh: DK laø tieáp tuyeán cuûa(O). 11/ Cho ABC coù 3 goùc nhoïn , veõ (O) ñöôøng kính BC caét AB vaø AC taïi M vaø N. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BN vaø CM. Chöùng minh: AH vuoâng goùc BC taïi D. Chöùng minh: 4 ñieåm B, M, H, D cuøng thuoäc 1 ñöôøng troøn, xaùc ñònh taâm K cuûa ñöôøng troøn naøy. Chöùng minh: AH.AD + BH.BN = AB2 . Chöùng minh: hai tieáp tuyeán taïi M vaø N cuøng gaëp nhau taïi 1 ñieåm treân AH. I Gãc ë t©m – liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A, B. D©y AC cña ®êng trßn (O) vu«ng gãc víi AO’; d©y AD cña ®êng trßn (O’) vu«ng gãc víi AO. So s¸nh c¸c gãc . Trªn mét ®êng trßn (O) cã cung b»ng 140o . Gäi A’. B’ lÇn lît lµ ®èi xøng cña A, B qua O; lÊy cung nhËn B’ lµm ®iÓm chÝnh gi÷a; lÊy cung nhËn A’ lµm ®iÓm chÝnh gi÷a. TÝnh sè ®o cung nhá . Cho hai ®êng trßn b»ng nhau (O) , (O’) c¾t nhau t¹i A, B. KÎ c¸c ®êng kÝnh AOC vµ AO’D. Gäi E lµ giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng AC víi (O’). a) So s¸nh c¸c cung nhá , . b) Chøng minh r»ng B lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung . a) Cho ®êng trßn (O, R) víi hai ®iÓm A, B. T×m quü tÝch trung ®iÓm cña c¸c d©y trªn ®êng trßn cã ®é dµi b»ng d©y AB. b) Cho ®êng trßn (O, R) víi hai tiÕp tuyÕn AB, AC. Mét tiÕp tuyÕn di ®éng cña ®êng trßn (O) c¾t c¸c ®o¹n th¼ng AB, AC t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng P, Q. Gäi P’, Q’ theo thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng OP, OQ víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng cung nhá cã sè ®o kh«ng ®æi. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña P’Q’. Cho ®êng trßn (O), d©y AB. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung . VÏ d©y MC c¾t d©y AB t¹i D. VÏ ®êng vu«ng gãc víi AB t¹i D, c¾t OC t¹i K. lµ tam gi¸c g× ? Cho M, N, P, Q lµ bèn ®iÓm tïy ý trªn ®êng trßn (O). C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i bèn ®iÓm trªn c¾t nhau t¹o thµnh tø gi¸c ABCD. TÝnh sè ®o tæng c¸c gãc ? Cho ®êng trßn (O), d©y AB. Trªn d©y AB lÊy D råi nèi D víi C trªn ®êng trßn (C kh¸c A, B; A, O, C kh«ng th¼ng hµng). C¸c ®êng trung trùc cña AD vµ DC c¾t nhau ë M. CMR: ®êng th¼ng MO ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cung . Cho hai ®êng trßn ®ång t©m (O;R) vµ (O;2R). P lµ mét ®iÓm ngoµi (O;2R). VÏ ®êng trßn (P;PO) c¾t ®êng trßn (O;2R) t¹i C vµ D, c¾t ®êng trßn (O;R) ë E vµ F. OC vµ OD c¾t (O;R) ë A vµ B. CMR: a) CD // EF. b) PA vµ PB lµ hai tiÕp tuyÕn cña (O;R). Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh AB =5 cm vµ ®êng chÐo AC=8 cm. §êng trßn t©m A b¸n kÝnh R=5 cm tiÕp xóc víi ®êng trßn t©m C t¹i M thuéc ®o¹n AC. §êng trßn nµy c¾t CB t¹i E vµ c¾t CD t¹i F. TÝnh tØ sè ®é dµi cña cung vµ cung II gãc néi tiÕp. Cho gãc xOy b»ng x vµ mét ®é dµi l . Hai ®iÓm A,B di ®éng trªn hai c¹nh t¬ng øng sao cho ®é dµi AB lu«n b»ng l . Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB. a) CMR: Tam gi¸c IAB cã c¸c kÝch thíc kh«ng ®æi. b) T×m quü tÝch ®iÓm I. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A, B. Qua A kÎ c¸t tuyÕn c¾t c¸c ®êng trßn (O), (O’) t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D. Tia DB c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ M. C¸c tia OB, BO’ lÇn lît c¾t (O’) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ N, P. a) So s¸nh hai gãc vµ . b) So s¸nh hai gãc vµ . Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A, B. Hai d©y AC vµ BD c¾t nhau ë I vµ c¾t (O’) t¹i C’, D’. Chøng minh r»ng C’D’ // CD. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O), c¸c ®êng cao AD, BE, CF ®ång quy t¹i H. C¸c tia AD, BE, CF c¾t (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai t¬ng øng A’, B’, C’. a) CMR: AB, BC, CA lµ trung trùc cña c¸c ®o¹n th¼ng t¬ng øng HC’, HA’, HB’. b) CMR: H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. c) CMR: Tam gi¸c A’B’C’ ®ång d¹ng víi tam gi¸c DEF. Tõ ®ã so s¸nh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c DEF vµ b¸n kÝnh ®êng trßn (O). Cho gãc vu«ng xOy vu«ng, ®iÓm A cè ®Þnh trªn Ox, mét ®iÓm B di ®éng trªn c¹nh Oy. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa O ngêi ta vÏ h×nh vu«ng ABCD t©m I. T×m quü tÝch ®iÓm I. Cho ®êng th¼ng d vµ ®o¹n th¼ng AB c¾t nhau t¹i C. Dùng ®iÓm M trªn d sao cho MC lµ ph©n gi¸c gãc . Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A vÏ mét c¸t tuyÕn c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i C. Mét c¸t tuyÕn thø hai qua A c¾t (O) t¹i D, c¾t (O’) t¹i E. Chøng minh r»ng CE // BD. Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Gäi O lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung vµ M lµ mét ®iÓm bÊt k× cña nöa ®êng trßn ®ã. Tia AM c¾t ®êng trßn (O;OA) t¹i ®iÓm thø hai lµ N. Chøng minh r»ng MN = MB. Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm C ch¹y trªn mét nöa ®êng trßn. VÏ ®êng trßn (I) tiÕp xóc víi (O) t¹i C vµ tiÕp xóc víi ®êng kÝnh AB t¹i D, ®êng trßn nµy c¾t CA, CB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ M, N. CMR: a) Ba ®iÓm M, I, N th¼ng hµng. b) ID ^ MN. §êng th¼ng CD ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. d) Suy ra c¸ch dùng ®êng trßn (I) nãi trªn. Cho (O), ®êng kÝnh AB, ®iÓm D thuéc ®êng trßn. Gäi E lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua D. a) Tam gi¸c ABE lµ tam gi¸c g× ? b) Gäi K lµ giao ®iÓm cña EB víi (O). Chøng minh r»ng OD ^ AK. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau ë A, B, O n»m trªn (O’). D©y AC cña (O) c¾t (O’) ë D, d©y OE cña (O’) c¾t (O) ë F. Chøng minh : a) OD ^ BC. b) §iÓm F c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ABE. Cho hai ®êng th¼ng song song. Mét ®êng trßn tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng t¹i A vµ c¾t ®êng th¼ng kia t¹i B, C. Trªn ®êng trßn lÊy mét ®iÓm D ( kh«ng trïng A, B, C ). Chøng minh r»ng A c¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng BD vµ CD. MA vµ MB lµ hai tiÕp tuyÕn cña (O). VÏ (M;MA), C lµ mét ®iÓm n»m trªn cung AB cña (M) ( cung AB n»m trong ®êng trßn (O) ). Tia AC, BC c¾t (O) ë P, Q. Chøng minh r»ng : P vµ Q ®èi xøng víi nhau qua O. Trªn c¹nh CD cña h×nh vu«ng ABCD ta lÊy mét ®iÓm M kh¸c C, D. C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh CD vµ AM c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai N ( kh¸c D ). Tia DN c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng: AC ^ PM. III gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ mét d©y. Hai tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B cña ®êng trßn (O1) c¾t nhau t¹i C. VÏ ®êng trßn (O2) ®i qua C, tiÕp xóc víi ®êng th¼ng AB t¹i B vµ c¾t ®êng trßn (O1) ë M. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AM chia ®o¹n BC thµnh hai phÇn b»ng nhau. Cho hai ®êng trßn (O;R) vµ (O’;r) víi R > r tiÕp xóc trong t¹i A. D©y BC cña (O;R) tiÕp xóc víi (O’;r) t¹i M ( ba ®iÓm o, A, M kh«ng th¼ng hµng ). Chøng minh r»ng tia AM lµ ph©n gi¸c cña gãc . Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh EF. VÏ ®êng trßn (O’) tiÕp xóc trong víi nöa ®êng trßn t©m O t¹i A. KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi EF c¾t nöa ®êng trßn t©m O t¹i B vµ tiÕp xóc víi (O’) t¹i M. Chøng minh r»ng tia AM ®I qua mét ®Çu cña ®êng kÝnh EF. Cho DABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m I ®êng kÝnh BH, nã c¾t AB ë M. VÏ ®êng trßn t©m K ®êng kÝnh CH, nã c¾t AC t¹i N. a) Tø gi¸c AMHN lµ h×nh g× ? b) CMR: MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn (I) vµ (K). c) VÏ tiÕp tuyÕn Ax cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp D ABC. CMR: Ax // MN. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i B, C. TiÕp tuyÕn t¹i C cña ®êng trßn (O) c¾t (O’) t¹i ®iÓm thø hai lµ M. VÏ c¸t tuyÕn MBA ( A thuéc ®êng trßn t©m O ). Tõ M vÏ tiÕp tuyÕn xy cña ®êng trßn (O’). CMR: a) MC2 = MA.MB b) AC // xy. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A, B. VÏ d©y BC cña (O) tiÕp xóc víi (O’). VÏ d©y BD cña (O’) tiÕp xóc víi (O). CMR: a) AB2 = AC.AD b) . Cho D ABC ngo¹i tiÕp ®êng trßn (O). Gäi D, E, F lµ c¸c tiÕp ®iÓm trªn c¸c c¹nh AB, BC, CA. Gäi M, N, P lÇn lît lµ giao ®iÓm cña (O) víi c¸c tia OA, OB, OC. Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm M, N, P lÇn lît lµ t©m cña c¸c ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ADF, BDE vµ CEF. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau ë A, B. Mét ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (O) t¹i C vµ tiÕp xóc víi (O’) t¹i D. VÏ ®êng trßn (I) qua ba ®iÓm A, C, D c¾t ®êng th¼ng AB t¹i ®iÓm thø hai lµ E. CMR: a) Ð CAD + Ð CBD = 180o. b) Tø gi¸c BCED lµ h×nh b×nh hµnh. Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm M ë bªn ngoµi ®êng trßn. Tia Mx quay quanh M c¾t (O) t¹i A, B. Gäi I lµ mét ®iÓm trªn Mx sao cho MI2 = MA.MB. T×m quü tÝch cña I. Cho ®êng trßn (O) ngo¹i tiÕp D ABC. Gäi I vµ J lÇn lît lµ giao ®iÓm cña hai ph©n gi¸c trong vµ ngoµi cña gãc B vµ gãc C cña D ABC. §êng th¼ng IJ c¾t (O) t¹i M. a) CMR: Ð MBI = Ð BIM. b) Bèn ®iÓm I, B, J, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Cho ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®êng trßn cè ®Þnh t©m O. Mét gãc Ð xAy = x kh«ng ®æi quay quanh A, Ax c¾t (O) t¹i B, Ay c¾t (O) t¹i C. C¸c ®êng th¼ng qua B vµ C lÇn lît vu«ng gãc víi Ay vµ Ax, c¾t (O) theo thø tù t¹i P vµ Q. a) Chøng minh P, Q cè ®Þnh. b) T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm H lµ giao cña BP vµ CQ. Cho D ABC c©n t¹i A vµ mét d©y di ®éng AM cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c Êy. §êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi AM t¹i A, c¾t CM t¹i P. a) Chøng tá Ð DMB = Ð BMP. b) Chøng minh P thuéc ®êng trßn cè ®Þnh. IV gãc cã ®Ønh bªn trong-bªn ngoµi ®êng trßn. Cho D ABC néi tiÕp (O), C¸c tia ph©n gi¸c cña gãc A vµ gãc B c¾t nhau t¹i I vµ c¾t (O) theo thø tù t¹i M vµ N a) Chøng minh : , . b) Chøng minh : MB = MI = MC. c) Gäi k lµ ®iÓm ®èi xøng víi I qua M. CMR: K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp D ABC. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB vu«ng gãc víi d©y CD. Qua M thuéc cung kÎ tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn c¾t CD t¹i I. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BM vµ CD. a) Chøng minh r»ng : IM = IE. b) Gäi F lµ giao ®iÓm cña AM vµ CD. Chøng minh r»ng Ð AFC=Ð ABM. Tõ mét ®iÓm A bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ tiÕp tuyÕn AB vµ c¸t tuyÕn ACD. VÏ d©y BM vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc Ð BAC, d©y nµy c¾t CD t¹i E. Chøng minh r»ng : a) Tia BM lµ ph©n gi¸c cña gãc Ð CBD. b) MD2 = ME.MB Ba ®iÓm A, B, C thuéc ®êng trßn t©m O sao cho tiÕp tuyÕn t¹i A c¾t tia BC t¹i D. Tia ph©n gi¸c cña gãc Ð BAC c¾t ®êng trßn ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc D c¾t AM ë I. Chøng minh DI ^ AM. Cho D ABC c©n t¹i B. Qua B kÎ ®êng th¼ng xy song song víi AC. Gäi O lµ mét ®iÓm trªn xy. VÏ ®êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AC ë D, c¾t c¸c c¹nh AB vµ BC ë E vµ F. Chøng minh r»ng sè ®o cung kh«ng ®æi khi O di chuyÓn trªn xy. Cho D ABC néi tiÕp (O). Gäi CM, AN, BP lÇn lît lµ c¸c ph©n gi¸c cña D ABC chóng giao nhau t¹i I. MN c¾t AB t¹i E. a) D BNI lµ tam gi¸c g× ? b) CMR: AE.BN = EB.AN c) CMR: EI // BC. d) Gäi D lµ giao cña AN vµ BC. CMR: Cho h×nh thang vu«ng ABCD ( BC // AD ). Trªn AB lÊy hai ®iÓm M, N sao cho M, N nh×n CD díi c¸c gãc vu«ng. CMR: SABCD = SMCD + SNCD. Cho c¸c ®iÓm A1, A2, , A19, A20 ®îc s¾p xÕp theo thø tù ®ã trªn cïng mét ®êng trßn (O). Chóng chia ®êng trßn thµnh 20 cung b»ng nhau. Chøng minh r»ng d©y A1A8 vu«ng gãc víi d©y A3A16. Cho D ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O); A1, B1, C 1 lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña A, B, C qua O; A0, B0, C 0 lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA, vµ AB t¬ng øng. CMR: A1A0 , B1B0 , C 1C0 ®ång quy. Cho D ABC néi tiÕp trong (O). D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BC. Mét ®êng trßn thay ®æi ®i qua A vµ D c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, BD, AC theo thø tù E, F, G. Chøng minh : a) D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung . b) EF lu«n song song víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh. Cho gãc nhän xAy, lÊy B vµ C trªn Ax vµ Ay. Dùng ®êng trßn qua B vµ C c¾t Ax t¹i P, Ay t¹i Q sao cho PQ = m ( m lµ ®é dµi cho tríc ). Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. Gäi TT' lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña (O) vµ (O’), T vµ T’ lµ c¸c tiÕp ®iÓm t¬ng øng cña (O) vµ (O’). §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i B (kh¸c A) vµ c¾t (O’) t¹i C (kh¸c A). BT c¾t CT’ t¹i D. Chøng minh D BCD vµ D ATT’ ®ång d¹ng. Cho D ABC nhän ; c¸c ch©n ®êng cao xuÊt ph¸t tõ A, B, C trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB lµ D, E, F. Chøng minh r»ng trùc t©m D ABC trïng víi t©m dêng trßn néi tiÕp D DEF. Cho D ABC néi tiÕp (O). BD vµ CE lµ hai ®êng cao xuÊt ph¸t tõ B vµ C. (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. CMR: d // DE. V cung chøa gãc. Cho D ABC néi tiÕp (O). D lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A. Nèi A víi D. KÎ CH vu«ng gãc víi AD. T×m quü tÝch ®iÓm H. Cho BC lµ mét d©y cung cè ®Þnh cña (O), A lµ mét ®iÓm ch¹y trªn cung lín BC sao cho D ABC lu«n cã ba gãc nhän. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá BC cña (O). T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AM. Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ cung cña nöa ®êng trßn (E n»m trªn cung ) sao cho sè ®o cung = 600 .Hai tia AE vµ BF c¾t nhau t¹i M. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M khi cung di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn. Cho D ABC vu«ng t¹i A. VÏ hai nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ AC ra phÝa ngoµi tam gi¸c. Qua A vÏ c¸t tuyÕn MAN (M thuéc nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, N thuéc nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AC). a) Tø gi¸c BMNC lµ h×nh g× ? b) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña MN khi c¸t tuyÕn MAN quay quanh A. Cho D ABC ®Òu néi tiÕp (O). Trªn cung nhá lÊy mét ®iÓm D. Trªn d©y BD lÊy ®iÓm M sao cho DM = DC. a) D MCD lµ tam gi¸c g× ? b) T×m quü tÝch ®iÓm M khi D di ®éng trªn cung nhá . Cho cung mét phÇn t ®êng trßn víi hai b¸n kÝnh OA, OB vu«ng gãc víi nhau. Trªn cung nµy lÊy mét ®iÓm C tïy ý kh«ng trïng víi A vµ B. VÏ CH ^ OA. Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp D HOC. a) TÝnh sè ®o gãc Ð OIC. b) Chøng minh D AIO = D CIO. c) T×m quü tÝch I khi C di ®éng trªn cung . Cho ®êng trßn cè ®Þnh (O) vµ ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®ã. Mét gãc nhän xAy = x kh«ng ®æi quay quanh A, c¹nh Ax c¾t (O) t¹i B, c¹nh Ay c¾t (O) t¹i C. Gäi H lµ trùc t©m D ABC. a) TÝnh sè ®o gãc nhän mµ BH vµ CH t¹o ra. b) T×m quü tÝch H. Cho ®êng trßn (O) vµ P cè ®Þnh ë ngoµi (O). Qua P vÏ c¸t tuyÕn thay ®æi c¾t (O) t¹i A, B. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn ®êng th¼ng OI lÊy hai ®iÓm M vµ M’ sao cho IM = IP. T×m quü tÝch M khi c¸t tuyÕn PAB thay ®æi. Cho ®êng trßn (O) ngo¹i tiÕp D ABC víi B, C cè ®Þnh. Gäi B’, C’ lÇn lît lµ ®èi xøng cña B qua AC vµ cña C qua AB. BC’ c¾t CB’ t¹i M. TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i B vµ C c¾t nhau t¹i P. Chøng tá r»ng khi A di chuyÓn trªn (O) th× M di chuyÓn trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp D BPC. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A, B. Mét ®êng th¼ng qua B c¾t (O) t¹i C vµ (O’) t¹i D. TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ tiÕp tuyÕn cña (O’) t¹i D c¾t nhau ë I. Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp D ICD lu«n ®I qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi c¸t tuyÕn CBD thay ®æi. Dùng h×nh vu«ng ABCD biÕt ®Ønh A vµ hai ®iÓm : M thuéc c¹nh BC, N thuéc c¹nh CD. VI tø gi¸c néi tiÕp. Cho ba ®êng trßn cïng ®i qua ®iÓm P. Gäi c¸c giao ®iÓm cßn l¹i cña chóng lµ A, B, C. Tõ mét ®iÓm D trªn ®êng trßn (PBC) kÎ c¸c tia DB, DC c¾t c¸c ®êng trßn (PAB) vµ (PAC) t¹i M vµ N. CMR: M, A, N th¼ng hµng. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ tiÕp tuyÕn Bx cña nöa ®êng trßn. Trªn tia Bx lÊy hai ®iÓm C, D ( C n»m gi÷a B vµ D). C¸c tia AC, AD lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i E vµ F. Hai d©y AE , BF c¾t nhau t¹i M. Hai tia AF, BE c¾t nhau t¹i N. Chøng minh r»ng : a) Tø gi¸c FNEM néi tiÕp. b) Tø gi¸c CDFE néi tiÕp. Cho D ABC. Hai ®êng cao BE vµ CF c¾t nhau t¹i H. Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm M cña BC. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABDC néi tiÕp. T×m t©m O cña ®êng trßn ®ã. b) §êng th¼ng DH c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ I. Chøng minh r»ng A, I, F, H, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B. Tia OA c¾t (O’) t¹i C. Tia O’A c¾t (O) t¹i D. CMR: O, O’, B, C, D cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh AB lÊy mét ®iÓm M. §êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi CM c¾t c¸c tia AB, AD lÇn lît t¹i E vµ F. Tia CM c¾t ®êng th¼ng AD t¹i N. Chøng minh r»ng : a) C¸c tø gi¸c AMCF vµ ANEC néi tiÕp. b) CM + CN = EF. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD. Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. VÏ EF vu«ng gãc víi AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng : a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF néi tiÕp. b) Tia CA lµ ph©n gi¸c cña gãc Ð BCF. c)* Tø gi¸c BCMF néi tiÕp. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i M vµ P. KÎ d©y MA cña (O) tiÕp xóc víi (O’) t¹i M. KÎ d©y MB cña (O’) tiÕp xóc víi (O) ë M. Trªn tia MP lÊy H sao cho PH=PM. CMR: Tø gi¸c MAHB néi tiÕp. Cho h×nh thang ABCD néi tiÕp trong (O). C¸c ®êng chÐo AC, BD c¾t nhau t¹i E, c¸c c¹nh AD, BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i F. CMR: a) A, D, O, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b) Tø gi¸c AOCF néi tiÕp. Cho D ABC vu«ng t¹i C. Trªn AB dùng h×nh vu«ng ABMN cã t©m I. Chøng minh r»ng CI lµ ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi AC vµ BC. Hai c¹nh AB vµ DC cña tø gi¸c ABCD kÐo dµi c¾t nhau t¹i E, AD vµ BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i F. Chøng minh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AED, EBC, ABF vµ CDF cïng ®i qua mét ®iÓm. Cho gãc vu«ng xOy vµ D ABC vu«ng ë A vµ gãc B b»ng 300 , BC=a. Tam gi¸c ABC di chuyÓn trong gãc vu«ng xOy sao cho ®Ønh B ch¹y trªn Ox, ®Ønh C trªn Oy, A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi BC. T×m quü tÝch ®iÓm A. Hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn qua A c¾t c¸c ®êng trßn nµy t¹i M, N. C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A cña (O), (O’) theo thø tù c¾t BN vµ BM ë P vµ Q. Chøng minh PQ // MN. Cho D ABC ®Òu. Mét nöa ®êng trßn cã t©m O trªn c¹nh AB, tiÕp xóc víi AC, BC t¹i K vµ I. KÎ mét tiÕp tuyÕn víi nöa ®êng trßn c¾t c¸c c¹nh BC vµ AC t¹i M vµ N. §o¹n th¼ng KI c¾t OM vµ ON t¹i P, Q. CMR: MN=2PQ. Cho ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. Mét ®iÓm C ch¹y trªn ®êng trßn. KÎ CD vu«ng gãc víi AB. Trªn OC lÊy M sao cho OM = CD. T×m tËp hîp ®iÓm M khi C di chuyÓn trªn (O). Cho ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. M lµ ®iÓm di ®éng trªn (d); MB c¾t (O) t¹i C. N lµ trung ®iÓm cña cung . ON c¾t BC t¹i P. a) Chøng minh tø gi¸c MAOP néi tiÕp. b) T×m tËp hîp ®iÓm P khi m di ®éng trªn (d). Cho D ABC vu«ng t¹i A. Trªn ®o¹n AB lÊy D. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E vµ CD t¹i F. Chøng minh r»ng : a) Tø gi¸c ACBF néi tiÕp. b) D lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp D AEF. c) B lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp cña D AEF. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i B vµ C. A lµ ®iÓm trªn (O). AB c¾t (O’) t¹i D, AC c¾t (O’) t¹i E. AO c¾t DE t¹i H. I lµ trung ®iÓm cña BC. a) Chøng minh tø gi¸c OIDH néi tiÕp. Suy ra AH ^ DE. b) (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. Chøng minh (d) // DE. Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A ë ngoµi (O). Qua A vÏ tiÕp tuyÕn AB cña (O), B lµ tiÕp ®iÓm; vÏ c¸t tuyÕn ACD thay ®æi c¾t (O) t¹i C vµ D. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña B lªn AO. a) Chøng minh AB2 = AC.AD b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BH vµ CD, J lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh : AI.AJ = AH.AO Cho h×nh thang c©n ABCD (AB // CD) cã ®êng trung b×nh b»ng mét c¹nh bªn. Chøng minh ABCD cã ®êng trßn néi tiÕp. Cho ®êng trßn (O) vµ mét tiÕp tuyÕn t¹i A. Trªn tiÕp tuyÕn lÊy mét ®iÓm C (kh¸c A). Gäi B lµ trung ®iÓm cña AC. KÎ c¸t tuyÕn BEF (E vµ F thuéc (O) ). C¸c tia CE vµ CF c¾t (O) t¹i M vµ N. Chøng minh MN // AC. VII ®é dµi – diÖn tÝch cung trßn ®êng trßn. Cho ngò gi¸c ®Òu ABCDE, AD vµ BE c¾t nhau t¹i O. Chøng minh: DO2 = AO.AD Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. LÊy ®iÓm M trªn AB. VÏ d©y CD ^ AB t¹i M. Gi¶ sö AM=1cm, CD= cm. TÝnh : a) §é dµi ®êng trßn. b) §é dµi cung . Mét tam gi¸c ®Òu vµ mét h×nh vu«ng cã cïng chu vi lµ 72 cm. Hái ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh nµo lín h¬n ? Lín h¬n bao nhiªu ? Trªn h×nh díi cã nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®êng trßn. Cung cã t©m B b¸n kinh 2R. Cung cã t©m C b¸n kÝnh CD. a) Chøng minh = . b) TÝnh ®é dµi cña ®êng cong ADEB do ba cung , , ch¾p nèi thµnh. Cho D ABC vu«ng t¹i A, gãc C lµ 300 vµ AB = 4cm. VÏ ®êng cao AH. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c AMHN néi tiÕp. b) TÝnh ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AMHN. TÝnh diÖn tÝch h×nh vµnh kh¨n t¹o thµnh bëi ®êng trßn néi tiÕp vµ ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®Òu c¹nh 6 cm. Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC=10 cm vµ d©y BA = 8cm. VÏ ra phÝa ngoµi D ABC c¸c nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ AC. a) TÝnh diÖn tÝch D ABC. b) TÝnh tæng diÖn tÝch hai h×nh viªn ph©n. c) TÝnh tæng diÖn tÝch hai h×nh tr¨ng khuyÕt. Cho D ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). BiÕt BC=2cm, gãc =450 . a) TÝnh diÖn tÝch h×nh trßn (O). b) TÝnh diÖn tÝch h×nh viªn ph©n BC (øng víi cung nhá ). c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña A ®Ó diÖn tÝch D ABC lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch ®ã. Cho ®êng trßn (O) vµ mét d©y cung AB=6cm. Gäi D lµ trung ®iÓm cña d©y AB. Tia DO c¾t ®êng trßn t¹i C. BiÕt CD=9cm. H·y tÝnh ®é dµi cña ®êng trßn (O). Cho D ABC vu«ng ë A vµ ®êng cao AH. Dùng ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. BiÕt BH = 2cm vµ HC = 6cm. TÝnh: a) DiÖn tÝch h×nh trßn (O). b) Tæng diÖn tÝch hai h×nh viªn ph©n AH vµ BH (øng víi c¸c cung nhá). c) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn AOH (øng víi cung nhá ). Cho D AHB cã =900 , =300 vaf BH=4cm. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AH t¹i O. Dùng ®êng trßn (O;OH) vµ ®êng trßn (O;OA) . a) Chøng minh r»ng (O;OH) tiÕp xóc víi AB. b) TÝnh diÖn tÝch h×nh vµnh kh¨n gi÷a hai ®êng trßn trªn. Cho mét phÇn t ®êng trßn cã hai b¸n kÝnh vu«ng gãc lµ OA vµ OB b»ng R. C lµ mét ®iÓm trªn ®ã. VÏ trong ®ã hai nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh OA vµ OB. Gäi giao ®iÓm cña hai nöa ®êng trßn ®ã lµ D. Chøng minh r»ng: a) A, B, D th¼ng hµng. b) Hai h×nh ACBDA vµ OEDFO cã cïng diÖn tÝch. c) DiÖn tÝch c¸c h×nh OFDAO vµ OEDBO b»ng 1/4 diÖn tÝch h×nh vu«ng c¹nh OA. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R. Trªn tia ®èi cña tia AB ta lÊy mét ®iÓm P sao cho PA=R. VÏ d©y BD=R. §o¹n th¼ng PD c¾t ®êng trßn (O) t¹i C. a) Chøng minh PC.PD = AD2 . b) Gäi cung nhá c¨ng d©y BD lµ cung . TÝnh diÖn tÝch cña h×nh AbmD. Cho ®êng trßn (O;3cm) tiÕp xóc ngoµi t¹i A víi ®êng trßn (O’;1cm). KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC cña chóng (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm vµ B n»m trªn (O) ). a) X¸c ®Þnh t©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp D ABC vµ tÝnh diÖn tÝch cña h×nh trßn (I). b) TÝnh ®é dµi c¸c cung AB vµ AC n»m trong ®êng trßn (I) cña c¸c ®êng trßn (O) vµ (O’). c) TÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c cong giíi h¹n bëi hai ®êng trßn (O), (O’) vµ tiÕp tuyÕn chung BC. Cho D ABC ®Òu cã c¹nh b»ng 4 cm. VÏ nöa h×nh trßn ®êng kÝnh BC thuéc nöa mÆt ph¼ng chøa A bê lµ BC. H·y tÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn ë ngoµi tam gi¸c. §êng trßn (P) néi tiÕp trong mét h×nh qu¹t trßn øng víi gãc ë t©m O b»ng 600 . BiÕt r»ng b¸n kÝnh ®êng trßn (P) lµ R, h·y tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O). Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy mét ®iÓm C. VÏ trong cïng mét mÆt ph¼ng bê AB c¸c nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, AC vµ BC. KÎ CD vu«ng gãc víi AB (D thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AB). Chøng minh r»ng diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng g
File đính kèm:
on tap duong tron.doc
