Bài tập Hình học không gian 11

MATHVN.TK
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 
Dạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến 
của 
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm AC, BC; K thuộc BD sao cho KD < 
KB. Tìm giao tuyến của 
a) (IJK) và (ACD) b) (IJK) và (ABD) 
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SB, SD; P thuộc 
SC: PC < PS. Tìm giao tuyến của: 
a) (SAC) và (SBD) b) (MNP) và (SBD) c) (MNP) và (SAC) 
d) (MNP) và (SAB) e) (MNP) và (SAD) f) (MNP) và (ABCD) 
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi M, N là trung điểm BC, 
CD. Tìm giao tuyến của 
a) (SAC) và (SBD) b) (SMN) và (SAD) c) (SAB) và (SCD) 
d) (SMN) và (SAC) e) (SMN) và (SAB) 
Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm của BC, CD, 
SA. Tìm giao tuyến của 
a) (IJK) và (SAB) b) (IJK) và (SAD) c) (IJK) và (SBC) 
d) (IJK) và (SBD) 
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt nằm trên cạnh AB, AC, BD sao cho MN, BC, 
MP, AD. Tìm giao tuyến 2 mặt phẳng 
a) (MNP) và (ABC) b) (MNP) và (BCD) c) (MNP) và (ACD) 
Bài 7. Cho chóp S.ABCD đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm SA, J thuộc AD 
sao cho JD = AD/4; K thuộc SB sao cho SK = 2BK. Tìm giao tuyến 
a) (IJK) và (ABCD) b) (IJK) và (SBD) c) (IJK) và (SBC) 
Bài 8. Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao 
cho BM = BS / 4; SN = (3/4) SA. Tìm giao tuyến 
a) (OMN) và (SAB) b) (OMN) và (SAD) c) (OMN) và (SBC) 
d) (OMN) và (SCD) 
Dạng 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm K thuộc BD: KD < 
KB. Tìm giao điểm của: 
a) CD và (MNK) b) AD và (MNK) 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh thang AD // BC. M, N là 2 điểm bất kỳ trên 
SB, SD. Tìm giao điểm: 
a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và M là trung điểm SC. 
a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD). 
b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM). 
c) Gọi M thuộc AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD). 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P thuộc BD: PB = 2PD. 
Tìm giao điểm của: 
a) AC và (MNP) b) BD và (MNP) 
Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy AB > CD. Gọi M thuộc SA, N thuộc AB, P thuộc BC. Tìm 
giao điểm 
a) MP và (SBD) b) SD và (MNP) c) SC và (MNP) 
Bài 6. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, AD 
và G là trọng tâm ΔSAD. 
a) Tìm giao điểm I của GM và (ABCD) 
b) Tìm giao điểm J của AD và (OMG) 
c) Tìm giao diểm K của SA và (OGM) 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của SA, AC; P thuộc AB sao 
cho 2PB = AB, N thuộc SC sao cho SC = 3SN. Tìm giao điểm 
a) SI và (MNP) b) AC và (MNP) c) SB và (MNP) 
d) BC và (MNP) 
Bài 8. Cho chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song và I thuộc SA. Tìm 
giao điểm 
a) SD và (IBC) b) IC và (SBD) c) SB và (ICD) 
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có M thuộc AC, N thuộc AD và P nằm bên trong ΔBCD. Tìm giao 
điểm 
a) CD và (ABP) b) MN và (ABP) c) AP và (BMN) 
Bài 10. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD, AB > CD. Lấy I, J, K nằm trên 
SA, CD, BC. 
a) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAB) 
b) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAC) 
c) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAD) 
d) Tìm giao điểm của SB và (I JK) 
e) Tìm giao điểm của IC và (SJK) 
Bài 11. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Lấy K thuộc đoạn BC, I trung 
điểm SA, J thuộc đoạn AB. 
a) Tìm giao điểm của KI và (SBD) 
b) Tìm giao tuyến của (I JK) và (SCD) 
Dạng 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 
Bài 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trên SA, SB, SC sao cho DE ∩ AB = I, EF ∩ BC 
= J, FD ∩ AC = K. 
a) Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF) 
b) CMR: I, J, K thẳng hàng 
Bài 2. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC, M thuộc SB, O là giao điểm của 
AC và BD 
a) Tìm giao điểm N của SC và (ADM) 
b) DM cắt AN tại I. CMR: S, I, O thẳng hàng 
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có AB không song song với CD, M trung điểm SC. 
a) Tìm giao điểm N của SD và (ABM) 
b) O = AC ∩ BD. CMR: SO, AM, BN đồng quy 
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E và I, J là trung điểm SA, SB; lấy N tùy ý trên 
SD. 
a) Tìm giao điểm M của SC và (IJN) 
b) CMR: IJ, MN, SE đồng quy 
Dạng 4: THIẾT DIỆN 
Bài 1. Cho chóp S.ABCD, BC, AD, M trung điểm SA. Tìm thiết diện của chóp và (BCM) 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; P thuộc AD và không là 
trung điểm AD. Tìm thiết diện của chóp và (MNP) 
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm AD, CD; 
I là điểm trên SO. Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNI). 
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm BC, CD, SA. 
Tìm thiết diện của hình chóp và (IJK) 
Dạng 5: TỔNG HỢP GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM VÀ THIẾT DIỆN 
Bài 1. Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 
SB, SD, OC. 
a) Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC) 
b) Tìm giao điểm SA và (MNP) 
c) Xác định thiết diện của chóp và (MNP) 
MATHVN.TK
Bài 2. Cho chóp S.ABCD, M thuộc SC; N, P trung điểm AB, AD. 
a) Tìm giao điểm của CD và (MNP) 
b) Tìm giao điểm của SD và (MNP) 
c) Tìm giao tuyến của (SBC) và (MNP) 
d) Tìm thiết diện của chóp và (MNP) 
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có I, J là hai điểm trên AD và SB. 
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI) 
b) Tìm giao điểm K của I J và (SAC) 
c) Tìm giao điểm L của DJ và (SAC) 
d) CMR: A, K, L thẳng hàng 
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC. I thuộc SA: SA = 3 IA, J thuộc 
SC; M là trung điểm SB. 
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) 
b) Tìm giao điểm E của AB và (I JM) 
c) Tìm giao điểm F của BC và (I JM) 
d) Tìm giao điểm N của SD và (I JM) 
e) Gọi H = MN ∩ BD. CMR: H, E, F thẳng hàng 
Bài 5. Cho chóp S.ABCD đáy hình thang, AB là đáy lớn. I, J trung điểm SA, SB; M thuộc 
SD. 
a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) 
b) Tìm giao điểm K của IM và (SBC) 
c) Tìm giao điểm N của SC và (I JM) 
d) Tìm thiết diện của chóp và (I JM) 
Dạng 6: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm ΔABC, ΔABD. CMR: I J // CD 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm SA, SB. 
a) CMR: MN // CD 
b) Tìm giao điểm P của SC và (AND) 
c) AN cắt DP tại I . CMR: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình 
gì? 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M, N, P, Q lần lượt nằm trên 
BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD. 
a) CMR: PQ // SA 
b) Gọi K là giao điểm MN và PQ. CMR: SK // AD // BC 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
trung điểm BC, CD, SB, SD. 
a) CMR: MN // PQ 
b) Gọi I là trọng tâm ΔABC, J thuộc SA sao cho JS / JA = 1/2. CMR: I J // SM 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. 
a) Tìm giao tuyến của (SAD)&(SBC); (SAB)&(SCD) 
b) Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình 
gì? 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm 
AD, SA, SB. 
a) Tìm giao tuyến d của (SAD) và (SBC) 
b) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK) 
c) Tìm giao điểm N của BC và (MHK). Tứ giác MHKN là hình gì? 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn). Gọi I, J, K là trung điểm AD, 
BC, SB. 
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (I JK) 
b) Tìm giao điểm M của SD và (I JK) 
c) Tìm giao điểm N của SA và (I JK) 
d) Xác định thiết diện của hình chóp và (I JK). Thiết diện là hình gì? 
MATHVN.TK
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, 
SD 
a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP). 
b) Tìm giao điểm của CD và (MNP) 
c) Tìm giao điểm của AB và (MNP) 
d) Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy ra thiết diện của hình chóp với mp (MNP). 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, AD // BC, AB không song song với CD. Gọi M, E, F là trung 
điểm AB, SA, SD. 
a) Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD). 
b) Tìm giao điểm BC và (MEF) 
c) Tìm giao điểm SC và (MEF) 
d) Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO và (MEF). 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung 
điểm OB, SO, BC. 
a) Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN) 
b) Tìm giao điểm E của SA và (MNP) 
c) CMR: ME // PN 
d) Tìm giao điểm MN và (SCD) 
e) Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNP) 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC. Cho SB = AC. 
a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP) 
b) CMR: NP // ME // SB. Tứ giác MNPE là hình gì? 
c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC) 
d) Tìm giao điểm SM và (ANP) 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, 
SD, OD. 
a) Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìm giao điểm J của CD và (AMN) 
b) Tìm giao điểm K của SA và (CMN) 
c) Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC) 
d) Tìm giao điểm của SC và (NPK) 
e) Tìm thiết diện hình chóp và (AMN) 
Dạng 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 
AB, CD, SA. 
a) Cm: MN // (SBC); MN // (SAD). 
b) Cm: SB // (MNP); SC // (MNP). 
c) Gọi I, J là trọng tâm. CMR: I J // (SAB), I J // (SAD), I J // (SAC). 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔABD, M thuộc BC sao cho MB = 2 MC. 
CMR: MG // (ACD) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm BC, SC. 
K thuộc SD sao cho SK = KD. 
a) Cm: OJ // (SAD), OJ // (SAB) 
b) Cm: IO // (SCD), I J // (SBD) 
c) Gọi M là giao điểm của AI và BD. CMR: MK // (SBC) 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SO, 
OD 
a) CMR: MN // (ABCD), MO // (SCD) 
b) CMR: NP // (SAD), NPOM là hình gì? 
c) Gọi ISD sao cho SD = 4 ID. CMR: PI // (SBC), PI // (SAD) 
Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J . 
a) Cm: I J // (ADF) và I J // (BCE) 
b) Gọi M, N lần lượt là trọng tâm ΔACE và ΔADF. CMR: MN // (CDEF) 
MATHVN.TK
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (α) qua MN và 
song song SA. 
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (α); (SAC) và (α) 
b) Xác định thiết diện của hình chóp và (α) 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M là trung điểm AB, mặt phẳng (α) 
qua M và song song BD, SA. Xác định thiết diện hình chóp và (α) 
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên BC. Mặt phẳng (α) 
chứa MN và song song CD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng (α) 
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Điểm M tùy ý trên BC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với 
AC, BD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng (α). 
Dạng 8: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung 
điểm SA, SD, AB, ON. 
a) Cm: (OMN) // (SBC). 
b) Cm: PQ // (SBC). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SA, 
CD, AD. 
a) CMR: (OMN) // (SBC) 
b) Gọi I là điểm trên MP. CMR: OI // (SCD) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, 
SB, AD. 
a) Cm: (MNP) // (SAC) 
b) Cm: PQ // (SCD) 
c) Gọi I là giao điểm AM và BD, J thuộc SA sao cho AJ = 2 JS. CMR: I J // (SBC) 
d) Gọi K thuộc AC. Tìm giao tuyến (SKM) và (MNC) 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm DC, 
AB, SB, BG, BI. 
a) Cm: (I JG) // (SAD). 
b) Cm: PQ // (SAD). 
c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (I JG) 
d) Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD) 
Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng. Gọi I, J, K là trung điểm 
AB, CD, EF. 
a) CMR: (ADF) // (BCE) 
b) CMR: (DIK) // (JBE) 
Dạng 9: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP CỤT 
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ là trung điểm BC, B’C’. 
a) CMR: AM // A’M’ 
b) Tìm giao điểm A’M // (AB’C’) 
c) Tìm giao tuyến d của (AB’CD) và (BA’C’) 
d) Tìm giao điểm của d với (AMA’) 
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm A’B’. 
a) CMR: CB’ // (AHC’) 
b) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A’BC) 
c) CMR: d // (BB’C’C) 
Bài 3. Cho chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ với ABC là đáy lớn. Gọi S là điểm đồng quy của 
3 đường thẳng AA’, BB’, CC’. CMR: SA’ / SA = SB’ / SB = SC’ / SC 
Dạng 10: BÀI TẬP TỔNG HỢP QUAN HỆ SONG SONG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SA, CD 
a) CMR: (OMN) // (SBC) 
b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB) 
c) Gọi G = SI ∩ BM, H là trọng tâm ΔSCD. CMR: GH // (SAD) 
MATHVN.TK
d) Gọi J là trung điểm AD, E thuộc MJ. CMR: OE // (SCD) 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm BC, 
CD, SC. 
a) CMR: (MNP) // (SBD) 
b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD) 
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP) 
d) Gọi I = AP ∩ SO, J = AM ∩ SO. CMR: I J // (MNP) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, BC 
a) CMR: I J // (SCD), (I JK) // (SCD) 
b) CMR: (I JK) // SD 
c) Tìm giao điểm AD và (I JK) 
d) Xác định thiết diện hình chóp và (I JK) 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểm 
BC, SB; P thuộc AD sao cho 2PD = PA. 
a) CMR: MN // (SCD). 
b) Tìm giao điểm SA và (MNP) 
c) Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC ∩ BD) 
d) Gọi G là trọng tâm ΔSAB. CMR: GP // (SBD) 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I lần lượt là trung 
điểm BC, AD, SD, SB. 
a) Cm: FO // (SBC). 
b) Cm: AI // (QEF). 
c) Tìm giao điểm J của SC và (QEF). CMR: (I JE) // (ABCD) 
d) Tìm thiết diện hình chóp và (I JF). Thiết diện là hình gì? 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC; 
lấy điểm P thuộc SA. 
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) 
b) Tìm giao điểm SD và (MNP) 
c) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình 
gì? 
d) Gọi J thuộc MN. CMR: OJ // (SAD) 
Dạng 11: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN & QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG 
KHÔNG GIAN 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD: 
a) CMR: 
AC BD AD BC  
   
(i) 
b) I, J là trung điểm AD, BC. G là trọng tâm tam giác BCD. CMR: 
AB DC 2IJ 
  
 (ii) và AB AC AD 3AG  
   
 (iii) 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD 
a) Tìm G sao cho: GA GB GC GD 0   
    
 (iv) 
b) CMR với điểm O bất kỳ ta có OA OB OC OD 4OG   
    
(v) (G là trọng tâm tứ diện tìm 
được ở câu a) 
Bài 3. Cho 2 tứ diện ABCD, A’B’C’D’. CMR hai tứ diện có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: 
AA ' BB' CC ' DD' 0   
    
(vi) 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. M thuộc AB, N thuộc CD sao cho: MA 2MB 
 
và ND 2NC 
 
(vii). Các điểm I, J, P thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN, PB kPC  
     
 (viii). 
Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. 
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. 
a) CMR: AB AD AA ' AC'  
   
(ix) 
b) CMR: AB' B'C ' D 'D A 'C  
   
(x) 
Bài 6. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’. Đặt AA ' a,BB' b,CC ' c  
     
(xi) 
MATHVN.TK
a) Hãy biểu thị B 'C,BC'
 
theo a, b,c
  
(xii) 
b) G’ là trọng tâm A’B’C’. Biểu thị AG '

 theo a, b,c
  
 (xiii) 
Bài 7. Cho hình chóp SABC. Lấy M thuộc SA, N thuộc BC sao cho: 
MB 2MA,2NB CN  
   
(xiv). CMR: 
AB,MN,SC
  
đồng phẳng. 
Bài 8. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi K là giao điểm AD’ và DA’. I là giao điểm BD’ 
và DB’. CMR 
AC, KI, B 'C '
  
đồng phẳng. 
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Lấy M thuộc AD, N thuộc BC sao cho: AM 3MD, NB 3NC  
   
(xv). CMR 
AB,DC,MN
  
đồng phẳng. 
Bài 10. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’. I, J là trung điểm BB’, A’C’. K thuộc B’C’ sao cho: 
KC 2KB' 
 
(xvi). 
CMR A, I, J, K đồng phẳng 
Dạng 12: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC) 
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 
b) Kẻ đường cao AD của SAB và đường cao AE của SAC. CMR: ADE vuông và SC vuông 
góc với DE. 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). 
a) CMR: BC vuông góc với (SAD); CD vuông góc với (SAD) 
b) CMR: BD vuông góc với (SAC) 
c) Kẻ AE vuông góc với SB. CMR: SB vuông góc với (ADE) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD. 
a) Cm: SO vuông góc với (ABCD) 
b) Cm: BD vuông góc với (SAC) 
c) Gọi I là trung điểm AB. CMR: AB vuông góc với (SOI) 
d) Kẻ đường cao OJ của SOI. CMR: SA vuông góc với OJ 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA vuông góc với (ABCD) 
và SA = a√(3) 
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 
b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (SAD) 
c) Vẽ AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. CMR: AH vuông góc với (SBC); SC 
vuông góc với (AHK) 
d) CMR: BD vuông góc với (SAC) 
e) Tính góc giữa SD và (SAC) 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Hai tam giác SAB và SAC vuông ở 
A, cho SA = a, AC = 2a√(3) 
a) CMR: SA vuông góc với (ABCD) 
b) CMR: BD vuông góc với SC 
c) Vẽ AH là đường cao của SAO. CMR: AH vuông góc với (SBC) 
d) Tính góc giữa AO và (SBD). 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), 
SO = a√(3), AB = a√(2). 
a) CMR: BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB 
b) Vẽ CI vuông góc với SD, OJ vuông góc với SC. CMR: SD vuông góc với (ACI); SC 
vuông góc với (BDJ) 
c) K là trung điểm SB. CMR: OK vuông góc với OI 
d) Tính góc giữa SA và (ABCD) 
MATHVN.TK
Dạng 13: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) 
a) CMR: (SAC) vuông góc với (SBD) 
b) Gọi BE, DF là đường cao ΔSBD. CMR: (AFC) vuông góc với (SBC); (AEF) vuông góc 
với (SAC) 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với 
(ABCD) 
a) CMR: (SAB) vuông góc với (SAD); (SBC) vuông góc với (SAB); (SCD) vuông góc với 
(SAD) 
b) CMR: (SAC) vuông góc với (SBD) 
c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD) vuông góc với (AI J) 
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD, AD vuông góc với (ABC), DE là đường cao của ΔBCD 
a) CMR: (ABC) vuông góc với (ADE) 
b) Vẽ đường cao BF và đường cao BK của ΔABC và ΔBCD. CMR: (BFK) vuông góc với 
(BCD) 
c) Gọi I, J là trực tâm. CMR: I J vuông góc với (BCD) 
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng 
vuông góc (ABCD) tại I lấy S. 
a) CMR: BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SI J) 
b) CMR: (SAD) vuông góc với (SBC), (SAB) vuông góc với (SI J) 
c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM) vuông góc với (SBD) 
d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, 
AB = a. 
a) CMR: (SAC) vuông góc với (SBD), (SOI) vuông góc với (ABCD) 
b) CMR: (SIO) vuông góc với (SCD) 
c) Gọi OJ là đường cao SOI. CMR: OJ vuông góc với SB 
d) Gọi BK là đường cao SBC. CMR: (SCD) vuông góc với (BDK) 
e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với (ABCD). 
Cho AB = a, AD = a√(2). 
a) CMR: SA vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (SCD) 
b) AH là đường cao CMR: AH vuông góc với (SBC), (SBC) vuông góc với (AHC) 
c) CMR: DH vuông góc với SB 
d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD) 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB) vuông góc với 
(ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD). 
a) CMR: SA vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC) 
b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH vuông góc với BD, AK vuông góc với (SCD) 
c) CMR: (SAC) vuông góc với (AHK) 
d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD), 
SA = a. 
a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông 
b) CMR: BD vuông góc với SC 
c) Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) 
d) Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). Tính diện tích hình chiếu của ΔSCD trên (ABCD) 
Dạng 14: KHOẢNG CÁCH 
Bài 1. Cho tứ diện SABC, ΔABC vuông cân tại B, AC = SA = 2a và SA vuông góc với 
(ABC) 
a) CMR: (SAB) vuông góc với (SBC) 
MATHVN.TK
b) Tính d(A, (SBC)) 
c) Gọi O là trung điểm AC. Tính d(O, (SBC)) 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD) 
và SA = 2a; dựng BK vuông góc với SC. 
a) CMR: SC vuông góc với (DBK) 
b) Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC)) 
c) Tính d(BD, SC); d(AD, BK) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đều, O là tâm hình vuông ABCD, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy 
bằng a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. 
a) CMR: (SI J) vuông góc với (SAB) 
b) Tính d(O, (SCD)); d(I, (SCD)) 
c) Tính d(SC, BD); d(AB, SD) 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 60°, đường cao SO = 
a. 
a) Tính d(O, (SBC)) 
b) Tính d(AD, SB) 
Dạng 15: DIỆN TÍCH – HÌNH CHIẾU 
Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a, nằm trong mặt phẳng (α). Trên đường vuông góc với 
(α) tại B, C. Vẽ BD = a√(2) / 2, CE = a√(2) nằm cùng phía với mặt phẳng (α). 
a) CMR tam giác ADE vuông. 
b) Tính diện tích tam giác ADE. 
c) Tìm góc giữa (ADE) và (α). 
Bài 2. Cho tam giác ABC có B, C là hình chiếu của E, F lên (α) sao cho tam giác ABF là tam 
giác đều cạnh a, CF = a, BE = a/2. 
a) Gọi I = BC ∩ EF. CMR: AI vuông góc với AC 
b) Tính diện tích tam giác ABC. 
c) Tính góc giữa (ABC) và (α). 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC vuông góc với (α), đường cao a√(3). D là 
hình chiếu của A lên (α) sao cho tam giác DBC vuông tại D. Tìm góc giữa (ABC) và (α). 
Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông 
góc với mặt phẳng chứa ABC. Lấy D, E, F nằm cùng phía đối với mặt phẳng chứa ABC sao 
cho AD = a, BE = 2a, CF = x. 
a) Tìm x để tam giác DEF vuông tại D. 
b) Với x vừa tìm được ở câu trên, tìm góc giữa (ABC) và (DEF). 
MATHVN.TK