Bài tập Hình không gian 11

Hỡnh học khụng gian lớp 11 
Bài tập hình không gian 
I/ Hình chóp đều 
1. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đ−ờng cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm M,N là 
trung điểm của cạnh AC,AB t−ơng ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN 
2. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi 
qua A, B và vuông góc với (SCD), (P) lần l−ợt cắt SC,SD tại C1 và D1. 
a) Tính diện tích tứ giác ABC1D1 b) Tính thể tích của khối đa diện ABCDD1C1 
3. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đỏy AB=a và gúc SAB =60o.Tớnh thể tớch hỡnh 
chúp SABCD theo a 
4. Cho tam giỏc đều ABC cạnh a.Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mf(ABC) tại Alấy điểm M.Gọi H là 
trực tõm của tam giấcBC,K là trực tõm của tam giỏc BCM 
a) CMR MC ⊥ (BHK) ; HK ⊥ (BMC) 
b)Khi M thay đổi trờn d,tỡm GTLN của thẻ tớch tứ diện KABC 
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần l−ợt là trung điểm của các cạnh AD, AB, SC. 
 a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). 
 b) So sánh thể tích của hai khối đa diện do mặt phẳng (MNP) chia ra trên hình chóp. 
6. Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao h và cạnh đáy a. Tính thể tích của khối lập ph−ơng có một mặt 
nằm trên đáy của hình chóp và 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh bên của hìmh chóp đó. 
7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua A, B và trung điểm của SC dựng một mặt phẳng. Tinh tỉ số thể 
tích hai phần của khối chóp do mặt phẳng này chia ra. 
8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. 
 a) Tính đ−ờng cao và thể tích khối chóp theo a. 
 b) Gọi M, N, P lần l−ợt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD lần l−ợt tại Q, 
R. So sánh các đoạn thẳng QB, RD với SB. 
 c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ω (0o < ω 
< 90o). Tính tg của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo ω . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo ω . 
10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm 
các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). 
11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO = 
2
6a
. Mp(α ) qua A vuông gócvới SC 
cắt SB, SC, SD lần l−ợt tại B’, C’, D’. tính thể tích hình chóp S.ABCD và diện tích tứ giác AB’C’D’. 
12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = SB = SD = a. Tính diện tích 
toàn phần và thể tích của hình chóp. 
13. Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = 26 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 
hai đ−ờng thẳng AD và BC. 
14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. 
a. Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
b. Qua A dựng mp(α ) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(α ) và hình chóp . 
15. Cho hình chóp đều S.ABC , đáy ABC cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc ϕ (0o < ϕ < 90o). Tính 
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC). 
16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. 
a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 
b. Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp. 
17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đ−ờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 62 . Điểm M, N là 
trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. 
II. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng 
(ABC). Gọi M và N lần l−ợt là hình chiếu vuông góc của A trên các đ−ờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của 
khối chóp A.BCMN. 
2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên đ−ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại 
A (M không trùng với A). Gọi O và H theo thứ tự là trực tâm của tam giác ABC và MBC. Xác định vị trí của 
M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất. 
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC bằng α. Cạnh SA = h của hình 
chóp vuông góc với đáy. Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần l−ợt trên AB, AC sao cho AM = AN 
= AP. Tính thể tích của khối chóp S.AMPN. 
4. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2α . Hãy tính thể tích khối chóp 
5. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60o và cạnh đáy bằng a.Tính thể tích 
của khối chóp 
6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA⊥ (ABCD) và SA = a 2 .Trên cạnh đáy 
AD lấy điểm M thay đổi,đặt góc ACM = α .Hạ SN⊥ CM .Chứng minh N luôn thuộc một đ−ờng tròn cố 
định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và α 
7. Cho đ−ờng tròn đ−ờng kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên đ−ờng tròn đó sao cho 
góc MAB bằng 300. Trên đ−ờng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2R. Gọi H và K 
lần l−ợt là hình chiếu vuông góc của A trên SM, SB. 
 a) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng (KHA). b) Tính thể tích khối tứ diện SKHA 
8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mp đáy (ABC). 
Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết rằng SA = 
2
6a
. 
9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy 
và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. CMR tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB 
theo a. 
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a. 
Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đ−ờng thẳng BE. 
11. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đ−ờng thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy 
điểm S sao cho góc giữa hai mp(ABC) và (SBC) bằng 60o. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a. 
12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy, 
SA = a. Kẻ AH ⊥ SB, AK ⊥ SD. 
a. CMR SC vuông góc với mp(AHK). 
b. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mp(AHK). Tính diện tích của thiết diện đó. 
13. Cho tam giác ABC có AB = AC = a và góc ∠BAC = 2α . Trên đ−ờng thẳng d qua A và vuông góc với 
mp(ABC) lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH ⊥ SI. 
a) Chứng minh AH ⊥ (SBC). Tính dộ dài AH theo a, α . 
b) Gọi K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK/AI = x. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI cắt 
các cạnh AB, AC, SC, SB lần l−ợt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này. 
14. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đ−ờng thẳng d đi qua A và vuông góc với 
mp(ABC), lấy một điểm S khác A. 
a) CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 
b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong 
tr−ờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30o. 
c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S ≠ A). 
d) Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo 
 bởi mp đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó khi SA = 2a . 
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mp đáy, SA = AB = a. 
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a. b. CMR BD ⊥ SC. 
c) Tính góc giữa đ−ờng thẳng SC và mp(SBD). 
16. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đ−ờng thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, 
lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60o. Hãy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a. 
17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi M là một điểm 
thay đổi trên cạnh AB. Đặt ∠ACM = α , hạ SH vuông góc với CM 
a. Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. 
b. Hạ AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAIK. 
III/ Tứ diện 
1. Cho hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân của đ−ờng cao hình tứ diện 
xuất phát từ A, K là chân của đ−ờng vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = a, HK = b. Tính thể tích của 
khối tứ diện ABCD theo a và b. 
2. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. 
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
 a) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình vuông. 
 b) Tính thể tích của khối đa diện DAA’B’C’D’ theo a . 
 c) Tính thể tích của khối đa diện DAA’B’C’D’ theo a nếu A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là điểm nằm 
trên cạnh AB, AC, CD, BD sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = a/4 
3. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đ−ờng cao SH 
a) Chứng minh SA ⊥ BC b) Tính thể tích của khối chóp SABC 
4. Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh còn lại đều bằng 1. 
a)Tính thể tích khối chóp theo x,y. b)Với x,y bằng bao nhiêu thì thể tích khối chóp lớn nhất? 
5. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính 
khoảng cách từ A tới mp(BCD). 
6. Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC), (ACD), (ADB) là tam giac vuông tại A. Gọi h là đ−ờng cao xuất 
phát từ A của tứ diện ABCD. CMR : 2222
1111
ADACABh
++= . 
7. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c. 
a. Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện. 
b. CMR bốn mặt của tứ diện là các tam giác có ba góc nhọn 
8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mp(BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ∠BDC 
= 90o. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b. 
9. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB =c. 
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và CMR 
 )(2 cbaabcS ++≥ 
10. ho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB = AOC = 60o; BOC = 90o. 
a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và CMR tam giác ABC vuông. 
b. CM OA ⊥ CB. 
11. Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a 2 
a. CMR các góc ∠CAD và ∠CBD bằng 1 vuông 
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD 
c. CMR hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau 
12. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a. 
a. CMR AB ⊥ CD. Hãy xác định đ−ờng vuông góc chung của AB và CD. 
b. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác 
ABC. 
13. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ∠ASB = 120o, ∠BSC = 60o, ∠ASC = 90o . 
a. CM tam giác ABC vuông. 
b. Tính thể tích tứ diện SABC. 
c. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC. 
14. Cho tứ diện ABCD. Một mp (α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB lần l−ợt tại M, 
N, P, Q. 
 a. CM tứ giác MNPQ là hình bình hành. 
a. Xác định vị trí của (α ) để cho diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 
15. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông 
a. CMR SCASBCSABABC SSSS ++≥3 . 
b. Biết rằng SA = a, SB + SC = k, đặt SB = x. Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k ,x và xác định SB, 
SC để thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn nhất. 
16. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AD = CA = DB = a 2 và CD = 2a. 
a. CMR AB vuông góc với CD. Hãy xác định đ−ờng vuông góc chung của AB và CD. 
b. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC. 
17. Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính độ dài 
đoạn vuông góc chung của hai cạnh AB và CD. Tìm điều kiên đối với x để bài toán có nghĩa. 
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
18. Tính thể tích khối tứ diện ABCD< biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 
60o. 
19. Cho các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lần l−ợt lấy các điểm khác O là M, N và S với OM = m, ON = 
n, OS = a. Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m + n = a. 
a. Tính thể tích của hình chóp S.OMN. Xác định vị trí của M và N để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. 
b. CM các góc OSM = MSN = NSO = 90o. 
IV/ Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy 
1. Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.Mặt bên qua cạnh huyền 
vuông góc với đáy,hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45o 
a)CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền của đáy 
b)Tính thể tích của khối chóp 
2. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vuông góc với mf(ABC) và SA=SB 
=A. 
a)CMR tam giác SBC là tam giác vuông 
b)Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a và x 
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) ⊥ mp(ABC) và SA = SB = a. 
a. CMR tam giác SBC vuông tại S. 
b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x. 
V/ Lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập ph−ơng 
1. Khối lăng trụ tứ giỏc đều ABCD.A1B1C1D1 cú khoảng cỏch hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài 
đường chộo của mặt bờn bằng 5. 
a)Hạ AK ⊥ A1D (K ∈A1D ).CMR AK =2 
b)Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 
2. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 với AB=a;BC= b;AA1 
a)Tớnh diện tớch tam giỏc ACD1 theo a,b,c 
b)Giả sử M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tớnh thể tớch của tứ diện D1DMN theo a,b,c 
3. Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của 
mặt bên CC’D’D. 
 a) Xác định thiết diện của hình lập ph−ơng với mặt phẳng (AIK). 
 b) Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AIK) chia ra trên hình lập ph−ơng. 
4. Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 c đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,điểm A1 cách đều các điểm 
A,B,C.Cạnh AA1 tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o 
a) Tính thể tích khối lăng trụ 
b) Chứng minh mặt bên BCC1B1 là một hình chữ nhật 
5. Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC là một tam giác vuông tại A,AC=b,góc C =60
o.Đ−ờng chéo BC1 
tạo với mf(A A1C1C) một góc 30
o. 
a)Tính độ dài AC1 
b)Tính thể tích khối lăng trụ 
6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Trên tia A1B1 lấy điểm M sao cho B1M = 
1
2
A1B1. Qua M và 
các trung điểm của A1C1 và B1B dựng một mặt phẳng. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lăng trụ do mặt 
phẳng này chia ra. 
7. Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’. Thiết diện của hình lập ph−ơng tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh A, 
trung điểm của cạnh BC và tâm của mặt DCC’D’ chia khối lập ph−ơng thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của 
hai phần đó. 
8. Biết thể tích khối hộp ABCDA1B1C1D1 bằng V. tính thể tích khối tứ diện ACB1D1 
9. Cho lăng trụ đều ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích là 3 S và hợp với mặt đáy góc α 
a)Tính thể tích lăng trụ 
b)S không đổi,cho α thay đổi.Tính α để thể tích lăng trụ lớn nhất 
10. Cho lăng trụ đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a.Góc giữa đừơng chéo AC1 và đáy là 60
o .Tính thể tích khối 
lăng trụ 
11. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A.Góc giữa AA1 và BC1 là 30
o và khoảng cách giữa 
chúng là a.Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 60
o.Tính thể tích lăng trụ 
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
12. Cho lăng trụ ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu cảu A1 lên măt phẳng (ABC) trùng với 
tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA1 = 45
o .Tính thể tích lăng trụ 
13. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A bằng 60
o.Chân đ−ờng vuông góc 
hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đ−ờng chéo của đáy.Biết BB1 =a 
a)Tính góc giữa cạnh bên và đáy 
b)Tính thê tích của khối hộp 
14. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ∠BAD = 60o. Gọi 
M là trung điểm AA’, N là trung điểm CC’. CMR bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính 
độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 
15. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, góc ∠BAC = 120o, 
cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. CMR tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai 
mp(ABC) và (AB’I). 
16. Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mp(BD’M) cắt hình lập 
ph−ơng theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. 
17. Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng a 
a. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AA’ và BD’. 
b. CMR đ−ờng chéo BD’ vuông góc với mp(DA’C’). 
18. Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét 
mp(P) đi qua M và chứa đ−ờng chéo A’C’ của hình vuông A’B’C’D’. 
a. Tính diện tích thiết diện của hình lập ph−ơng cắt bơi mp(P). 
b. Mp(P) chia hình lập ph−ơng thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa 
diện đó gấp đôi thể tích khối đa diện kia. 
19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và điểm M trên cạnh AD. Mp(A’BM) cắt đ−ờng chéo AC’ của 
hình hộp tại H. 
a. CMR khi M thay đổi trên cạnh AD thì đ−ờng thẳng MH cắt đ−ờng thẳng AB tại một điểm cố định. 
b. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đ−ợc tạo bởi mp(A’BM) cắt hình hộp trong tr−ờng hợp M là 
trung điểm của cạnh AD. 
c. Giả sử AA’ = AB và MB vuông góc với AC. CMR mp(A’BM) vuông góc với AC’ và điểm H là trực 
tâm của tam giác A’BM. 
VI/ Một số bài toán khác 
1. Cho hỡnh chúp SABC đỉnh S, đỏy là tam giỏc cõn AB=AC=3a,BC=2a. biết rằng cỏc mặt bờn 
(SAB),(SBC),(SCA) đều hợp với mặt phẳng đỏy (ABC) một gúc 60o.Kẻ đường cao SH của hỡnh chúp. 
a)Chứng tỏ H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC và SA ⊥ BC 
b)Tớnh thể tớch của khụi chúp 
2. Trên nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB = 2R, lấy điểm C tuỳ ý. Kẻ CH vuông góc với AB. Gọi I là trung 
điểm của CH. Trên nửa đ−ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I, lấy điểm S sao cho góc ASB = 
900. 
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600. 
b) Cho AH = x. Tính thể tích khối tứ diện SABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích đó lớn nhất. 
3. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a là hai đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng 
(ABC) về cùng một phía với mặt phẳng đó. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’. 
4. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a , BD = 
2
3
a
. Trên đ−ờng thẳng vuông góc với (P) và 
đi qua giao điểm của hai đ−ờng chéo hình thoi, lấy điểm S sao cho SB = a . 
 a) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông. 
 b) Tính thể tích hình chóp SABCD 
5. Cho hình chóp SABC .Trên các tia SA,SB,SC lần l−ợt lấy các điểm A’ ,B’,C’ . 
CMR 
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
SABC
CBSA
'''
..
'''
= 
6. Trong khụng gian cho đoạn OO1 = H và hai nửa đường thẳng Od,O1d1 cựng vuụng gúc với OO1 và vuụng 
gúc với nhau. Điểm M chạy trờn Od, điểm N chạy trờn O1d1 sao cho ta luụn cú OM2+O1N2 =k2(k cho trước) 
a)Chứng minh đoạn MN cú độ dài khụng đổi 
b)Xỏc định vị trớ M trờn Od và N trờn O1d1 sao cho tứ diện OO1MN cú thể tớch lớn nhất. 
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
7. Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đ−ờng thẳng∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A, B với 
AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = 
BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a. 
8. Hình vuông ABCD có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Hai điểm M, N lần l−ợt di động trên cạnh AD và CD 
sao cho AM = x, CN = y và góc ∠MBN = 45o. Tìm x, y đẻ diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 
nhất. 
9. Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đ−ờng thẳng vuông góc với mp (ABC) tại A (M 
không trùng với điểm A). 
a. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC 
 b. Gọi O là trực tâm tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn 
nhất. 
10. Trong mp(α ) cho đ−ờng tròn (T) đ−ờng kính AB = 2R. Gọi C là một điểm di động trên (T). Trên đ−ờng 
thẳng d qua A và vuông góc với mp(α ) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC 
a. Chứng minh AK ⊥ (SBC), SB ⊥ (AHK) 
b. Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK 
11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y. 
b. Với giá trị nào của x, y thì hình chóp có thể tích lớn nhất. 
12. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đ−ờng thẳng Ax, Cy vuông góc với 
mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không 
trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. 
 a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC). 
 b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc ∠MIN vuông 
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a, đ−ờng cao 
SO = 3a trong đó O là trung điểm của AD. 
a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 
 b. Gọi (α ) là mp qua A và vuông góc với SD. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp 
(α ). 
14. Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần l−ợt 3 điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC 
= c. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 
a. Tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC. 
b. Khi a, b, c thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = k2 với k là hằng số d−ơng, tìm giá trị lớn 
nhất của độ dài OH và của diện tích tam giác ABC. 
 c. CMR a2tgA = b2tgB = c2tgC. 
15. Cho góc tam diện Sxyz với ∠ xSy = 120o, ∠ ySz = 60o, ∠ zSx = 90o. Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự 
lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a. 
a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC). 
b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a. 
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần l−ớt trên các cạnh SB, SD sao cho: 
2==
DN
SN
BM
SM
a. Mp(AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số SP/CP. 
b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. 
17. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Trên đ−ờng thẳng vuông góc với mp(P) tại 
A, lấy điểm S sao cho SA = h (h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I, J lần l−ợt là trung điểm 
của BC, AB 
a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SI và AB. 
b. Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp B.MIJ và B.SCA khi độ dài đoạn vuông góc 
chung của AC và MJ đạt giá trị lớn nhất. 
18. Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một . Xét tam diện Oxyz. Cho điểm M cố định nằm 
trong góc tam diện. Một mp qua M cắt Ox, Oy, Oz lần l−ợt tại A, B, C.Gọi khoảng cách từ M đến các mp 
(OBC), (OCA), (OAB) lần l−ợt là a, b, c. 
a. CMR tam giác ABC không phải là tam giác vuông. 
b. CM 1=++
OC
c
OB
b
OA
a
Hỡnh học khụng gian lớp 11 
c. Tình OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. 
19. Cho một tam diện vuông đỉnh O. Trên ba cạnh của tam diện ấy lấy ba điểm A, B, C sao cho : AC = 2OB, 
BC = 2OA. 
a. Giả sử M, N là chân các đ−ờng vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC.CMR MN ⊥ AC. 
b. Tính cosMON . 
c. Gọi D là trung điểm của đoạn AB. CM 
 14
4
=+
AB
MN
OCAtg
OCDtg
20. Trên mp(α ) cho góc ∠ xOy. Đoạn SO = a vuông góc với mp(α ). Các điểm M, N chuyển động trên Ox, 
Oy sao cho ta luôn có : OM + ON = a. 
a. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN. 
b. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì 
nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất. 
21. Cho tam giác đều OAB có cạnh AB = a > 0. Trên đ−ờng thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) lấy 
một điểm M với OM = x. Gọi E, F lần l−ợt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đ−ờng thẳng 
EF cắt d tại N. 
a. CMR AN ⊥ BM. 
b. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. 
22. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O.Trên các nửa đ−ờng thẳng Ax, Cy vuông góc với 
(P) và ở về cùng một phía đối với (P) ta lần l−ớt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. 
a. Tính độ dài MN.Từ đó CMR điều kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là xy = 
2
2a
. 
b. Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác định x, 
y để thể tích tứ diện này bằng 
4
3a
. 
23. Trong mp(P) cho đ−ờng tròn (C) tâm O đ−ờng kính AB = 2R. Lấy một điểm S thuộc đ−ờng thẳng vuông 
góc với mp(P) tại O sao cho OS = R 3 . I là điểm thuộc đoạn SO với SI = 
3
2R
, M là điểm thuộc (C). 
a. Tính tỉ số SH/SM với H là hình chiếu của I lên SM.Từ đó suy ra quỹ tích của H khi M di động trên 
(C). 
b. Xác định vị trí của M trên (C) để cho hình chóp H.AMB có thể tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất 
này. 
24. Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mp(P). Hai điểm M, N di động trên hai cạnh CB và CD . Đặt CM = 
x, CN = y. Trên đ−ờng thẳng At vuông góc với mp(P) lấy điểm S . Tìm hệ thức giữa x, y để : 
a. Các mp(SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45o. 
b. Các mp(SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 
25. Cho đ−ờng tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (S và A cố cố 
định), SA = h cho tr−ớc, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đ−ờng tròn đã cho mà các đ−ờng chéo AC và 
BD vuông góc với nhau 
a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình c