Bài tập Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.
. Quy ước: 0! = 1.
Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.
Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi với và phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1.
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
Vậy có 4.24 = 96 số.
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Nhận xét: 
.
Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
Vậy có cách sắp.
Ví dụ 4. Từ tập hợp có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi với và phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số nên có 5 cách chọn a1.
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí cách.
Vậy có số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 6. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.
- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có .
Suy ra có cách chọn.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.
- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có cách.
- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có cách chọn.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.
Giải
Gọi với là số cần lập.
 .
Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có số.
Nhận xét: 
i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt.
ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.
4. Phương pháp giải toán
4.1. Phương pháp 1
Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn.
Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.
Ví dụ 8. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có cách.
Cách khác:
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách.
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách.
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách.
Vậy có cách.
4.2. Phương pháp 2.
Đối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do đó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán .
Bước 1. Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2.
Bước 2. Tính số cách chọn loại 1 và loại 2.
Bước 3. Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.
Chú ý: Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải.
Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
+ Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số.
+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số.
Vậy có 120 – 24 = 96 số.
Ví dụ 10. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có cách.
+ Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có cách.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 11. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
Giải
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Chú ý: Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại.
Ví dụ 12. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
Cách giải sai:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra!
Sai sót trong cách tính số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2.
Cách giải sai khác:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Sai sót do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ có 7 câu dễ và đề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1 và trường hợp 2.
Cách giải đúng:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Ví dụ 13. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.
Giải
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ).
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 2.
Vậy có cách.
5. Hoán vị lặp 
Ví dụ 14. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.
Giải
+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có cách.
+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có cách.
+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.
Vậy có số.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.
Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.
Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2.
Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên.
Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số được thành lập.
Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O.
Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X.
Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.
Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.
Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bài 15. Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn.
Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0.
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.
Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được.
Bài 20. Tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.