Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 1 
BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII 
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
( VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM) 
1. Giải PT: 3 2 3 2 3 33 2012 3 6 2013 5 2014 2013x x x x x        . 
HD: Đặt 3 23 2012a x x   ; 3 23 6 2013b x x    ; 3 5 2014c x   
Ta có hệ sau: 
     
33
33 3 3
20132013
2013 3 2013
a b ca b c
a b c a b c a b b c c a
      
 
           
Suy ra: a b  hoặc b c  hoặc c a  . 
2. Giải BPT:
           
2 3 2012... 1
1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 ... 2012 1
x x x x
x x x x x x x x x
    
        
HD: k   ta có: 
    
 
              
1 1 1 1
1 2 1 ... 1 1 2 1 ... 1 1 2 1 ... 11 2 1 ... 1 1
kxkx
x x kx x x kx x x kxx x k x
 
  
             
Áp dụng cho bài toán trên, ta thu được: 
    
    11 1 1 2 1 ... 2012 1 0
1 2 1 ... 2012 1
x x x
x x x
      
  
. 
Nghiệm của BPT là: 1 1 1 1 11; ; ... ;
2 3 4 2011 2012
x                    
     
. 
3. Giải HPT: 
1
2
3
4
2
3
4
1
2 2 os
2 2 os
2 2 os
2 2 os
x c
x c
x c
c
x
x
x
xx




 






 ; 1 2 3 4, , ,x x x x  . 
HD: Theo đề: 1 1, 4 os 1, 40
22 2
 iix i c ix

       
Nếu 1 3x x thì 2 4 2 4 3 1 3 1os os os osx c x x x xc c x c x x          . Do đó: 1 3x x . 
Chứng minh tương tự ta có được: 2 4x x . 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 2 
HPT đã cho tương đương với: 
2
1 3
2 4
1
2 1
2 os
4
2 os
4
x x
x x
x c
x
x
xc



 

 


 

Đồ thị của hai hàm số: 21
2 os
4
x c x , 2 1
1 arccos 2 2x x

 ; 1
10;
2
x   
 
, 2
20;
4
x
 
  
 
 trong hệ 
trục tọa độ 1 2Ox x cắt nhau tại một điểm duy nhất có tọa độ 
1 1;
4 4
 
 
 
. 
HPT đã cho có nghiệm duy nhất là: 1 2 3 4
1
4
x x x x    . 
4. Giải HPT: 
2
2
2
30 4 2012
30 4 2012
30 4 2012
y y
x
z z
y
x x
z

 


 


 

 ; , ,x y z 
HD: Ta có: 2 2
3030 4 2012 4 2012 0 0y y y y
x x
         
 
. Tương tự , 0x z  . 
Không mất tính tổng quát, giả sử: ,x y x z  . 
Trừ vế theo vế của phương trình thứ ba cho phương trình thứ nhất ta được: 
     3 2 2 22 230 4 0 30 4 0
x y x y x yz x z x y
z x
          
 
. 
Vì 0, 0y xx z    nên 0x y  ; 3 2 0x yz  . 
Do đó:    
3 2
3 2 2 230 4 0
x yz
x yz x z x y x y z
x y
 
       

. 
5. Cho 2013 số dương: 1 2 2013, ,..., 0x x x  thỏa mãn: 
2 2
1 2 2 1
2 2
2 3 3 2
2 2
2011 2012 2012 2011
2 2
2012 2013 2013 2012
..........................
..........................
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   

  



   

   
. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 3 
Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số ,a b sao cho: 1
2012
a b  . 
HD: 
Từ 2 21 2 2 1 2 1 1 20 0x x x x x x x x         . Chứng minh tương tự được: 2 3 2013...x x x   . 
Mặt khác: 2 2 2 22012 2013 2013 2012 2013 2013 2012 2012 20130 0 1x x x x x x x x x           . 
Khi đó: 1 2 20130 ...x x x    . 
Chia đọan  0;1 thành 2012 đoạn con bằng nhau, độ dài của mỗi đoạn con là 1
2012
. 
Theo nguyên lý Dirichlet: ,a b trong 2013 số đã cho thuộc về cùng một đoạn con. 
Như vậy 
1
2012
a b  . 
6. Giải HPT: 2 2 2
2012 2012 2012
3
3
3
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 ; , ,x y z . 
HD: Xét các vectơ:    ; ; , 1;1;1u x y z v 
 
. Dễ thấy . . 3u v u v 
   
. 
Suy ra: ,u v
 
 cùng phương 0
1 1 1
x y z x y z       . 
Kết hợp với phương trình còn lại ta được: 1x y z   . 
7. Giải BPT:  2 22012 2014 2 4028 2014 2 4024x x x x        ; x . 
Điều kiện: 2012x  . 
BPT đã cho tương đương với:      22012 2014 2 2014 2 2012x x x x       . 
Đặt: 2012 0u x   ; 2014v x  . 
BPT thành: 
 
2 2
2 2 2
2 2 0 0
2 2
0u
u v u v u v u v
u v u v


        

  

. 
8. Giải HPT: 
20122013
1 2 3
20122013
2 3 4
20122013
2012 1 2
1 2 2012
30 4
30 4
.......................................
30 4
, ,..., 0
x x x
x x x
x x x
x x x
  

  



 
 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 4 
HD: Giả sử:  1 2 2012, ,...,x x x là một nghiệm của HPT trên. 
Đặt:  1 2 2012, ,...,M Max x x x ;  1 2 2012, ,...,m Min x x x . 
Suy ra: 0M m  . 
Ta có: 
20122013
1 2 3
20122013
2 3 4
20122013
2012 1 2
34 30 4
34 30 4
......................................................
34 30 4
M x x x
M x x x
M x x x
   

   



  
  20132012 2012 2012 20122013 2013 20131 2 201234 ; ;...; 34 34M Max x x x M M    
4026 2013 402434 M M  2011 4026 2011 402634 34M M    . 
Chứng minh tương tự, ta được: m  2011 402634 . Suy ra: 2011 402634M m  . 
Do đó: 2011 40261 2 2012... 34x x x    . Thử lại thấy đúng. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm dương duy nhất: 2011 40261 2 2012... 34x x x    . 
9. Giải HPT: 
1 2
2
2 3
3
2012 1
1
1 2012
2
1 2012
2
..............................
1 2012
2
x x
x
x x
x
x x
x
  
   
 
      
  


  
   
  
 ; 1 2 2012, ,...,x x x  . 
HD: Ta có:  21 1 1 1
1
1 2012 1 2012 0
2 2i i i i ii
x x x x x
x   
 
     
 
 1,2011i  
 Các ix cùng dấu 1,2012i  . 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 1
1
2012 2 2012 2 2 2012 2012i i i
i
x x x
x 
      1,2012i  . 
Lấy phương trình đầu tiên lần lượt trừ cho các phương trình số 2, số 3,..., số 2012 vế theo vế ta được: 
 1 2 2 3
2 3
1 20121
2
x x x x
x x
 
    
 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 5 
  2 3 3 4
3 4
1 20121
2
x x x x
x x
 
    
 
 ................................................ 
  2012 1 1 2
1 2
1 20121
2
x x x x
x x
 
    
 
Vì 21 2 012...x xx    nên 
2 3 3 4 2011 2012
2012 2012 20121 0;1 0;...;1 0
x x x x x x
      và 
1 2
20121 0
x x
  . 
Suy ra: 
2 3
2011 2012
1 2
2012
..................
2012
2012
x x
x x
x x





 
 . Kết hợp với 2012ix  1,2012i  suy ra 1 2 2012... 2012x x x    . 
10. Giải HPT: 
2
2
2
2
2
2
2
2
x x y
y y z
z z t
t t x
  

 

 
  
 ; , , ,x y z t . 
HD: Đặt: 1 , 1 , 1 , 1X x Y y Z z T t        . 
Ta có hệ phương trình sau: 
2
2
16 8 4 2
2
2
X Y
Y Z
X Y Z T X
Z T
T X
 


    

 
. Như vậy:  15 01 0 1
X
X X
X

    
* Với 0 0 1X Y Z T x y z t          . 
* Với 1 1 0X Y Z T x y z t          . 
11. Giải HPT: 
2
2
1 1 2
2
2
2 2 3
2
2
2012 2012 1
1
2
1
2
....................................
1
2
kx kx x
kx kx x
kx kx x
      
 
         


        
 ; 1 2 2012, ,...,x x x  , k là một số cho trước. 
HD: Cộng vế theo vế của các PT đã cho ta được: 
 
2 22012 2012
2
1 2 2012
1 1
1 1 10 1 ...
2 2 2i i ii i
k k kx k x x x x x
 
                    
     
  . 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 6 
12. Cho số nguyên 3n  . Giải hệ phương trình: 
1 2 3
2 3 4
1 2
2012 4025 2013 0
2012 4025 2013 0
...............................................
2012 4025 2013 0n
x x x
x x x
x x x
  
   


   
 ; 1 2, ,..., nx x x  . 
HD: Đặt 1 1 2 2 2 3 2; ; ... ; n ny x x y x y y x x      . 
Hệ đã cho thành: 
1 2
2 3
1 2 1 2 1 2
1
2012 2013
2012 2013
2012 ... 2013 ... ... 0
...........................
2012 2013
n n
n n n
n
y y
y y
y y y y y y y y y
y y

 
   

 
. 
Như vậy phải có một chỉ số j sao cho 0jy  . Nhưng 12012 2013 ,j jy y  ... nên 1 2 ... 0ny y y    . 
Suy ra: 1 2 ... nx x x a     . 
13. Giải HPT: 
2013 2 2013
2012 2 2012
2013 2 2013
2 20122012
2
2 2 1
2
2 2 1
xyx x y
x x
xyy y x
x y
   
  

   
   
 ; ,x y . 
HD: 
Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được: 
2 2
2012 2 2012 2 20125
1 12
2 2 1 2 2 1
xy x y
x x y y
 
   
       
   
2 2
2 22012 20122012 2012
1 12
1 2 1 2
xy x y
x y
 
    
     
 (*) 
Nhận xét:    2 2* 2 *VT xy x y VP    . 
   
0
* * 1
1
0
x y
x y
VT VP x y x y
x y
 
 
        
. 
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:     0;0 , 1;1S  . 
14. Giải PT:
2 2
2 2 2
3 2 2 2 3 10
33 3 4 4 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
       
    
           
HD: 
Đặt 22, 1, 1, 1, 1a b x c x d x x e x         . 
Phương trình đã cho trở thành: 
10
3
a b b c c d d e e a
c d e d e a e a b a b c b c d
    
    
         
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 7 
101 1 1 1 1 5
3
a b b c c d d e e a
c d e d e a e a b a b c b c d
                                                   
  1 1 1 1 1 25
3
a b c d e
c d e d e a e a b a b c b c d
                     
           
1 1 1 1 1
25 *
c d e d e a e a b a b c b c d
c d e d e a e a b a b c b c d
                 
                
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của (*) thì ta được  * 25VT  . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a b c d e x      . 
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
15. Giải HPT: 2012 2012 2011 2011
2x y
x y x y
 

  
 ; ,x y . 
HD: 
Hệ phương trình tương đương với: 
         2012 2012 2011 2011 2012 2012 2011 2011
2 2
2 2 2
x y x y
x y x y x y x y x y
     
 
        
2012 2012 2012 2011 2011 2012 2012 2012 2011 2011
2 2
2 2
x y x y
x y x xy x y y x y x y xy
    
  
        
      2011 20112011 2011
22 2
1
0 00
x yx y x y
x y
x y x y x yx x y y x y
     
       
         
16. Giải HPT: 
  2
2 2
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
   

     
 ; ,x y . 
HD: 
Ta có:  2 2 2 25 4 16 8 16 0 4 8 5 16 16 0y x xy x y y x y x x             . Xem đây là một 
phương trình bậc hai theo ẩn y ( tham số x ). 
Ta có: 29x  , từ đó: 
5 4
4
y x
y x
 
   
. 
 + Với 5 4y x  , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 
       2
0 4
5 4 5 4 4 6 5 4 0 5 0
4
x y
x x x x x
x y
  
       
    

. 
 + Với 4y x   , thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta được: 
       2
0 4
4 5 4 4 6 4 0
4 0
x y
x x x x x
x y
  
            
. 
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:     40;4 ; 4;0 ; ;0
5
S      
  
. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 8 
17. Giải HPT: 
   
 
4 3 2 2
24 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x
      


     
 ; ,x y 
HD: 
+ Xét 0x  , hệ phương trình đã cho thành: 2
0 6
5y
 

  
 ( vô lý) 
 + Chia vế theo vế của từng phương trình trong hệ cho 2 0x  ta được: 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 6 1 16 12 6 12 0
1 5 1 15 11 5 11 0
x x y y x x y y
x xx x
x x y x x y
x xx x
                       
      
 
                           
. 
Đặt 2 22
1 1 2t x x t
x x
      . 
Hệ phương trình thành: 
 
 
2 2 2 2
2 2 22 2 2
6 2 12 0 6 0
5 1 05 2 11 0
t ty y t ty y
t t yt t y
          
 
      
+ Xét 0t  , hệ phương trình thành: 
0
1 0
y 

 
 ( vô lý). 
+ Chia vế theo vế của từng phương trình trong hệ cho 2 0t  ta được: 
2 2
2 2
2
2 2
2 2
1 66 0 6
1 1 15 0 5 2. 5
yy y y y y
t tt tt t
yy y y
t t t t
               
   
                
Đặt: 
1; ya y b
t t
   
 Hệ phương trình thành:
2
2 2
5 66 2
2 5 5
2
aaab
a b ab
 
 
 
    
3
2
5 12 0
5
2
a a
ab
   

  


   2
2
3 3 4 0
3
5 2
2
a a a
a
a bb
    
 
    

Khi đó: 
2
1
11 213 2 3 2 3 1 0 1
12222 22
1
t
t
yy t t tt tt
y y t ty t
t y t
y
 
                                  
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 9 
* Với 1t  ta có: 21 1 51 1 0
2
x x x x
x

        . 
* Với 1
2
t  ta có: 21 1 1 172 2 0
2 4
x x x x
x

        . 
18. Giải HPT: 
 
   
2 4 2 2 2 4
2 2 4 2 2
3 2 1 2
1 1 2 2 1 0
x y x y x x y
x y x x x xy
     

        
 ; ,x y . 
HD: 
Hệ phương trình đã cho tương đương với: 
   
   
22 4 2 2
2 2 4 2 2
4 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
x y y x x
x y x x x xy
      

         
. 
Suy ra:  4 2 21 2y x x    2 4 2 22 2 1x x x xy    4 2 4 6 4 3 2 22 2 2y x x x x x y x        
 26 3 2 4 3 2 3 22 0 0x x y y x y x y         (*) 
Từ (*) và dấu “=” xảy ra ở bất đẳng thức trên ta suy ra: 1x y  . 
19. Giải HPT: 
2 2
3 3
2
14 2 2
9
2 2
xy y x y x y x y
x y x y
    
 


             
 ; ,x y . 
HD: 
Điều kiện 
0
0
x y
x y
 

 
. 
Đặt , 
2 2
x y x yu v   ; , 0u v  . Suy ra: 2 2 2 2, x u v y u v    . 
Hệ phương trình đã cho thành: 
    2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
2 4
14
9
u v u v u v u v
u v
u v
    
  

  
  3 3 3 3
3 3 3 33 3
7 0 0 7
9 99
u v u v u v u v
u v u vu v
          
    
      
. 
Hệ 
3 3
0
9
u v
u v
 

 
 vô nghiệm. 
Giải hệ 
3 3
3 3
7
9
u v
u v
  

 
 ta được 
2
1
u
v



. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 10 
Do đó: 
2 8 52
2 3
1
2
x y
x y x
x y yx y
 
    
   
     
. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
5
3
x
y



20. Giải HPT: 
 4 4
2009 2013 2013 2009
2011
2 1
2
3
xy x y
x y x y
   


  

 ; ,x y . 
HD: 
Ta có:    2009 4 4 2009 2013 2013 2009 2011
2 0 0
3
xy x y x y x y xy       . 
Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta có: 
 4 41 2 2 2xy x y xy xy     ( Bất đẳng thức Cauchy) 
1
3
xy  và  
2
4 4 1
2
xy
x y

  . 
Lại có:        
2
2009 20092009 2013 2013 2009 4 4 1.
2
xy
x y x y xy x y xy

    
      2008 2008 3 2011
1 1 1 22 . . . 2 .
2 2 3 3
xy xyxy xy xy    . 
Dấu “=” xảy ra 
4 4
1
2
1 1
3 3
xyxy
xy x y
x y
 


     

 

. 
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 1 1 1 1; , ;
3 3 3 3
S
    
      
    
. 
21. Giải HPT:   
2 2
2011 20132011 2013
1
2014
x y
x y y x x y xy
  

     
; ,x y . 
HD: 
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra: 1 , 1x y   . 
Do đó:   2014 1 1 2013 0x y xy x y        . 
+ Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái dương, vế phải âm. Điều này vô lý. 
+ Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái âm, vế phải dương. Điều này vô lý. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 11 
+ Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ thỏa mãn. Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 
2 12 1
2
x x    . 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: 1 1;
2 2
 
 
 
, 1 1;
2 2
 
  
 
. 
22. Giải PT: 
4
6
2
cos 23 1 tan 7
cos
x x
x
    
 
HD: 
Đặt 22
cos 2 , tan
cos 1
xa b x
x
 

. 
Phương trình đã cho thành: 4 33 4 7a b  . 
Dễ thấy a, b 0 và 2a b  . 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
4 31 1 1 4 , b 1 1 3a a b       . 
Suy ra:    4 3 4 33 3 12 , 4 2 12 3 4 7a a b b a b       . 
Dấu bằng xảy ra 4 4 1 1a b a b     hay  tan 1 
4
x x k k        
là nghiệm của phương trình đã cho. 
23. Giải HPT: 
3 33 3
1 1 9
1 1 1 11 1 18
x y
x y x y
  

                    
 ( ,x y ). 
HD: 
Điều kiện , 0x y  .Đặt 
3 3
1 1, u v
x y
  . 
Hệ phương trình đã cho thành: 
    
   
  
33 3 9 3 9
1 1 18 1 18
u v u v uv u v
u v u v u v u v uv
       
 
          
. 
Đặt ,S u v P uv   . Điều kiện 2 4S P . 
Hệ phương trình thành: 
 
 
 
33
2
3 9 13 9
1 18 18 2
S PSS PS
S S P PS S S
     
 
       
Thay (2) vào (1) ta được:  33 23 3 63 0 1 64 3 2S S S S S P           . 
Với 
3
2
S
P



 ta suy ra: ,u v là nghiệm của phương trình: 2
1
3 2 0
2
X
X X
X

     
. 
Khi đó: 
1
2
u
v



 hoặc 
2
1
u
v



. Suy ra: 
1
8
1
x
y
 

 
 hoặc 
1
1
8
x
y




. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 12 
24. Giải BPT:  2 4 26 3 1 1 0x x x x      ; x 
HD: 
Bất phương trình đã cho tương đương với: 
         2 4 2 2 2 4 26 3 1 6 1 0 6 2 1 1 6 1 0x x x x x x x x x x                  
      2 2 2 212 1 6 1 1 6 1 0x x x x x x x x            
 22
2 2
6 1112 6 0
1 1
x xx x
x x x x
   
        
 ( vì 2 1 0 x x x     ) 
Đặt 
 2
2
6 1
 , 0
1
x x
t t
x x
 
 
 
. 
Bất phương trình thành: 2 32 6 0 0
2
t t t      . 
Do đó: 
 2 2
2
6 1 9 11 21 11 215 11 5 0
1 4 10 10
x x
x x x
x x
   
       
 
. 
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: 11 21 11 21;
10 10
S
  
  
 
. 
25. Giải HPT: 
   
   
2
2 2
1 1 4 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
       

     
 , ,x y . 
HD: 
Đặt 1 0u x y    ;  3 0v x y   . 
Hệ phương trình đã cho thành: 
 
2 22 2
24 2 2 4
3 33 3
9 9 4 9 9 3 4 9
u vu v
u v u u v v
     
 
       
  
2 22 2
3 2 2 34 2 2 4
3 33 3
9 9 3 3 09 9 9 6 3 0
u vu v
u v u u v uv vu v u u v v
     
  
         
2 22 3 6
2
u v
u v
u v
  
   

Khi đó: 
 
61
1 12
2 263
2
x y
x y y x
x y

  
     
  
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ phương 
trình đã cho ta tìm được: 
4 5
3 6
1 7
6 10
y x
y x
    

    

. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 13 
26.Giải HPT: 
 
   
4 4
2 2 2
1 1 2
2
1 1 3 3
2
y x
x y
y x x y
x y

   

    

 , ,x y 
HD: 
Điều kiện , 0x y  . 
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với: 
 
 
4 4 2 2
54 5 3 2
4 5 2 3 5
4 4 2 2
2 5 10 32 5 10
1 1 5 10 15 10
y x x y x yxy x x yx
x y y x y x yx y x y
y
           
   
        

5
5
5
3 1
3 2
1 3 1
2
xx y
x y
y
 
   
  
    
 ( thỏa điều kiện). 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: 
5 53 1 3 1;
2 2
  
  
 
. 
27. Giải BPT: 3 3 2 24 6 7 12 6 2x x x x x       ; x . 
HD: 
Điều kiện: 
3
2
x   . 
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với: 
           2 32 2 232 2 2 2 2 2 2x x x x x x x                
Đặt      2 233 2 3 234 6 2 , 7 12 6 2 7 12 6 2A x x B x x x x x x x x               (*) 
Thế thì 3
2
x   ta có: 0 , 0A B  
Khi đó  
           2 2 3 32 2 22 2 2 2 2 2* 2x x x x x x x
A B
         
    
  2 21 12 1 0 2 0 2 2x B xxA
            



 ( thỏa điều kiện 3
2
x   ) 
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2; 2S     . 
28. Giải BPT:    35 3 2 2 21 1x x x x x x x       ; x . 
HD: 
Điều kiện: 0x  . 
+ Nếu 0x  thì BPT luôn đúng 
+ Nếu 0x  thì chia cả 2 vế của BPT cho:  2 2 1 0x x   
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 14 
Ta được: 
 
 
 
 
 
32 2 2
2 2
5 3
2 2 2 2
1 1
1 11
x x x x x
x x x x
x x
x x
  
 

 

 
2
2 2 2
1 1 1 111 1 11 11
x x xx x
x x x x x xx
x
x
x

         


 


1
1
1
1 1 11 x
x x
x
x
x x
x
   
 
  . 
Đặt 
1t x
x
  ; 2t  . 
BPT trên thành: 
2
1 11 .. 11 . 0t tt
tt t
 
         
 
 ( luôn đúng 2t  ). 
Vậy nghiệm của BPT là: 0x  . 
29. Giải HPT: 
   
   
   
22 2 2 2
22 2 2 2
22 2 2 2
3 1
4 1 ; , ,
5 1
x y z x x y z
y z x y y z x x y z
z x y z z x y
    


    

   
 . 
HD: 
+ TH 1: 0xyz  . 
 Nếu 0x  thì hệ có nghiệm    0;0; , 0; ;0z y . 
 Tương tự cho trường hợp 0y  hoặc 0z  . 
+ TH2: Chia cả hai vế của các PT trong hệ cho 2 2 2 0x y z  ta được: 
2
2
2
2
2
2
1 1 1 13
1 1 1 14
1 1 1 15
z y x x
x z y y
y x z z
 
    
 

     
 
       
 Đặt 1 1 1, ,a b c
x y z
   . HPT thành: 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
3
4
5
b c a a
c a b b
a b c c
    


   

   
. 
Cộng vế theo vế các PT trên rồi rút gọn ta được:    2
4
12 0
3
a b c
a b c a b c
a b c
  
            
. 
 www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 15 
30. Giải HPT: 
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
  

 
  
 ; , ,x y z . 
HD: 
HPT đã cho tương đương với: 
 
 
 
2
2
2
1 2
1 2
1 2
y x x
z y y
x z z
  


 

 
 (I) 
Vì một trong các giá trị , ,x y z bằng 1 đều