Bài tập Mặt cầu trong không gian

IV. MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của mặt cầu, 
 khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó:
 1/ 	
 2/ 	 
 3/ 	 
 4/ 	
 5/ 	 
 ĐS: 1/ I(1;2;-3) và R = 2 2/ Không là phương trình mặt cầu
 3/ I(1;-1/2;3/2) và R = 4/ I(2;1;-5/2) và R = 
 5/ Không là phương trình mặt cầu
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết :
 1/ Tâm I(2,1,-1), bán kính R=4.
 2/ Đi qua điểm A(2,1,-3) và tâm I(3,-2,-1).
 3/ Đi qua điểm A(-1,3,0) ,B(1,1,0) và tâm I thuộc 0x.
 4/ Hai đầu đường kính là A(-1,2,3), B(3,2,-7)
 ĐS: 1/ (x -2)2 + (y – 1)2 + ( z + 1)2 = 16 2/(x – 3)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 14
 3/ (x + 2)2 + y2 + z2 = 10 4/ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z +2)2 = 29
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
 1/Tâm I(1,2,-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x - 3y + 2z - 11= 0.
 2/Tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : 6x + 6y - 7z + 42 = 0.
 3/Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1,1,-3).
 ĐS: 1/ (x - 1)2 + (y – 2)2 + ( z + 2)2 = 2/ (x -1)2 + (y – 4)2 + ( z + 7)2 = 121
 3/ (S1) : (x -4)2 + (y – 7)2 + ( z - 9)2 = 81
 (S2) : (x + 2)2 + (y + 5)2 + ( z + 7)2 = 81
Bài 4 : Viết phương trình mặt cầu : 
 1/Có tâm O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm (3;-2;4) và bán kính bằng1 
 2/ Có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ
 ĐS: 1/ x2 + y2 + x2 = 30 ±2
 2/ (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 9 
 (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 1
 (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 4 
Bài 5 :
 1/Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4);B(1;-3;1);C(2;2;3) và có tâm nằm
 trong mặt phẳng (0xy)
 2/ Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm
 thuộc 0z
 3/Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2),D(2;2;1) 
 ĐS:1/ (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 2/ x2 + y2 + (z – 1)2 = 11
 3/ x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z + 6 = 0 
Bài 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt 
 phẳng biết: 
 ; :x + 2y - 2z – 2 = 0. và :x + 2y - 2z + 4 = 0.
 ĐS: (x + 1)2 + (y – 3)2 + ( z - 3)2 = 1
Bài 7 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và cắt đường thẳng
 (d) :x = 2t; y = 11/2 + t; z = -14 – 2t tại hai điểm A và B sao cho đoạn AB = 16 . 
 ĐS: (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 
Bài 8 : Lập phương trình mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu 
 (S) :x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z -113 = 0 và song song với hai đường thẳng 
 (d1) :x = -5 + 2t ; y = 1 – 3t ; z = -2 + 2t và (d2) : x = -7 +3t ; y = -1 – 2t ; z = 8 
 ĐS: 4x + 6y + 5z + 205 = 0 và 4x + 6y + 5z – 103 = 0
Bài 9 : Cho mặt phẳng (a) : 3x + 4z – 1 = 0 và điểm I(1;2;3).
 1/ Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (a).
 2/ Tìm toạ độ tiếp điểm A
 ĐS: 1/ (x - 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4 2/ A(11/5;2;-7/5)
Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1); B(1;0;0); C(1;1;1)
 và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm 
 A,B,C có tâm thuộc mặt phẳng (P)
 ĐS: x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 
Bài 11:Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
 (Q) :x + y + 2z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu 
 (S):x2 + y2 z2 – 2x + 4y – 6z + 8 = 0 
 ĐS: x + y + 2z – 11 = 0 
Bài 12: Trong không gian Oxyz ,cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), CSDL(2;4;3),
 D(2,2,-1).
 1/ Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường 
 thẳng AB và CD.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABD).
 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D. Viết phương trình 
 tiếp diện () của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
 ĐS: 1/ (x = 2; y = 4 – 2t ; vectơ = -1 +t), sin = . 
 2/ ; tiếp diện: )
Bài 13:Trong không gian Oxyz ,cho 4 điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), CSDL(4;3;2),
 D(4;-1;2).
 1/Chứng minh A,B,C,D đồng phẳng.
 2/Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (Oxy). Hãy viết phương trình
 mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’ ,B,C,D.
 3/Viết phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A’ .
 ĐS: 2/ 3/ 3x + 4y + 2z = 0 
Bài 14:Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0), D(0;0;3).
 1/Viết phương trình đường thẳng đi qua A và trọng tâm G của tam giác BCD.
 2/Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm 
 B,C,D.
 ĐS: 1/ 2/. 
Bài 15: Trong không gian Oxyz ,cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình 
 x +2y–2z +6 = 0
 1/Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với (P).
 2/Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua E và vuông góc với (P).
 ĐS: 1/ (S): 2/ (d): x = 1 + t; y = 2 + 2t; z = 3 – 2t 
Bài 16 :
 1/Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0 . Xác định m 
 để nó là phương trình của một mặt cầu . khi đó , tìm m để bán kính mặt cầu là
 nhỏ nhất 
 2/Cho phương trình : x2 + y2 + z2 + 2x cosa - 2ysina - 4z – (4 + sin2a) = 0 . 
 Xác định a để phương trình trên là phương trình trên là phương trình của một 
 mặt cầu . Khi đó, tìm a để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất , lớn nhất .
 ĐS: 1/ "m và Rmin = khi m = ½ 
 2/"a và Rmin = 3 khi a = kp ( kÎZ); Rmax = khi a = p/2 + lp ( lÎZ)
Bài 17 :Cho hai mp(P) và (Q) vuong góc với nhau, có giao tuyến là D. Trên D lấy hai 
 điếm A và B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm (C), trong mp(Q) lấy điểm D
 sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt 
 cầu ngọai tiếp tứ diện ABCD và tính khỏang cách từ A đến mp(BCD) theo a.
Bài 18 :Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x – 1)2 + (y -2)2 + (z +1)2 = 25 và mặt 
 phẳng () có phương trình: 2x+2y–z+5=0.
 a/Viết phương trình tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với ()
 b/ Viết phương trình tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó vuông góc với 
 c/ Chứng minh rằng (S) và () cắt nhau theo một đường tròn. Tìm tâm và bán 
 kính của đường tròn đó.
Bài 19 :Cho A(-2; 6;3); B(1; 0; 6); C(0; 2; -14); D(1; 4; 0)
 a/Viết phương trình mặt phẳng (ABC) từ đó suy ra ABCD là một tứ diện.
 b/Tính độ dài chiều cao DH của tứ diện.
 c/Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD
 d/Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
 e/Tính côsin của góc tạo bởi AB và CD.
Bài 20 :Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
 a/Có đường kính AB với A(3;-1;3),B(1;3;5)
 b/Đi qua điểm A(4;3;-2) và có tâm I(3;1;2)
Bài 21 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm B(1;-3;2) và mặt phẳng (P) có
 phương trình : -x-2y+z-1=0
 a/Tìm tọa độ hình chiếu B trên (P) .
 b/Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc (P).
Bài 22 :Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng:
 và tiếp xúc mặt cầu: 
Bài 23 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(-1;-1;4) và
 B(1;-1;-2) . Viết phương trình mặt cầu (S) qua A,B tiếp xúc với mặt phẳng 
 Oxy và có tâm nằm trên mặt phẳng Oyz.
Bài 24 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-1;3;2) và mặt phẳng (P) có 
 phương trình : x - 2y + z – 1 = 0
 a/Tìm tọa độ hình chiếu A trên (P) .
 b/Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc (P).
Bài 25 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(4;1;0);B(0;1;6);
 C(6;-2;3);D(2;0;-1).
 a/CMR:A,B,C,D là 4 đỉnh tu dien và tính thể tích tứ diện ABCD.
 b/Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định toạ độ tâm I 
 và tính bán kính mặt cầu đó.
 c/Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A,B,C . Tìm toạ độ tâm và tình 
 bán kính của nó.
Bài 26 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
a/Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;1;1) và 
 N(2;-1;5)
b/Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại giao điểm đó.
Bài 27 :Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(-1;-2;-3) cắt mặt cầu
 (S): theo một đường tròn giao tuyến có bán 
 kính nhỏ nhất 
Bài 28 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
a/ Tìm tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu .
b/ Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S)và mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tùy theo giá trị của k