Bài tập Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài tập Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d1 2, một tam giác cân tại giao điểm của d d1 2, . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x y x y x y ( ) x y ( ) 1 2 2 2 2 2 7 17 5 3 13 0 3 4 01 ( 7) 1 1 D D - + + - é + - = = Û ê - - =ë+ - + Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1D hoặc 2D . KL: x y3 3 0+ - = và x y3 1 0- + = Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y1 : 2 5 0- + = . d x y2 : 3 6 – 7 0+ = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. · d1 VTCP a1 (2; 1)= - r ; d2 VTCP a2 (3;6)= r Ta có: a a1 2. 2.3 1.6 0= - = uur uur nên d d1 2^ và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x B y Ax By A B: ( 2) ( 1) 0 2 0- + + = Û + - + = d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 A B A BA AB B B AA B 0 2 2 2 2 2 2 2 3cos45 3 8 3 0 32 ( 1) - é =Û = Û - - = Û ê = -ë+ + - * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y: 3 5 0+ - = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x y: 3 5 0- - = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d x y: 3 5 0+ - = ; d x y: 3 5 0- - = . Câu hỏi tương tự: a) d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = , P(0;1) . ĐS: x y3 3 0+ - = ; x y3 1 0- + = . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 5 0+ + = , d x y2 : 3 1 0+ + = và điểm I(1; 2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2= . · Giả sử A a a d B b b d1 2( ; 3 5) ; ( ; 3 1)- - Î - - Î ; IA a a IB b b( 1; 3 3); ( 1; 3 1)= - - - = - - + uur uur I, A, B thẳng hàng b k aIB kIA b k a 1 ( 1) 3 1 ( 3 3) ì - = -Þ = Û í- + = - -î uur uur · Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả). · Nếu a 1¹ thì bb a a b a 13 1 ( 3 3) 3 2 1 - - + = - - Û = - - AB b a a b t t 22 2 2( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8é ù= - + - + = Û + + =ë û (với t a b= - ). t t t t2 25 12 4 0 2; 5 Û + + = Û = - = - + Với t a b b a2 2 0, 2= - Þ - = - Þ = = - x y: 1 0Þ D + + = PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 2 + Với t a b b a2 2 4 2, 5 5 5 5 - - = Þ - = Þ = = x y: 7 9 0Þ D - - = Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 1 0+ + = , d x y2 : 2 – –1 0= . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho MA MB2 0+ = uuur uuur r . · Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1). Từ điều kiện MA MB2 0+ = uuur uuur r tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 1 0, : –2 2 0+ + = + = lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. · A d A a a MA a a B d B b b MB b b 1 2 ( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 ) ( ) (2 2; ) (2 3; ) ìì Î ïì - - = - - -Û Þí í íÎ - = -î ïî î uuur uuur . Từ A, B, M thẳng hàng và MB MA3= Þ MB MA3= uuur uuur (1) hoặc MB MA3= - uuur uuur (2) (1) Þ A d x y B 2 1; ( ) : 5 1 03 3 ( 4; 1) ì æ ö - -ï ç ÷ Þ - - =í è ø ï - -î hoặc (2) Þ ( )A d x y B 0; 1 ( ) : 1 0 (4;3) ì - Þ - - =í î Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 3 5 0, : 4 0- - = + - = lần lượt tại A, B sao cho MA MB2 –3 0= . · Giả sử A a a d1( ;3 5)- Î , B b b d2( ;4 )- Î . Vì A, B, M thẳng hàng và MA MB2 3= nên MA MB MA MB 2 3 (1) 2 3 (2) é = ê = -ë uuur uuur uuur uuur + a b a A B a b b 5 5 52( 1) 3( 1)(1) ; , (2;2)22(3 6) 3(3 ) 2 22 ì æ öïì - = - =Û Û Þí í ç ÷- = -î è øï =î . Suy ra d x y: 0- = . + a b a A B a b b 2( 1) 3( 1) 1(2) (1; 2), (1;3) 2(3 6) 3(3 ) 1 ì ì- = - - =Û Û Þ -í í- = - - =î î . Suy ra d x: 1 0- = . Vậy có d x y: 0- = hoặc d x: 1 0- = . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA OB( 3 )+ nhỏ nhất. · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y a b 1+ = (a,b>0) M(3; 1) Î d Cô si ab a b a b 3 1 3 11 2 . 12 - = + ³ Þ ³ . Mà OA OB a b ab3 3 2 3 12+ = + ³ = a b aOA OB b a b min 3 6( 3 ) 12 3 1 1 2 2 ì =ï ì =Þ + = Û Ûí í == = îïî Phương trình đường thẳng d là: x y x y1 3 6 0 6 2 + = Û + - = Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 3 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất. · x y2 6 0+ - = Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho OA OB2 2 9 4 + nhỏ nhất. · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên A a B b( ;0); (0; ) với a b. 0¹ Þ Phương trình của (d) có dạng x y a b 1+ = . Vì (d) qua M nên a b 1 2 1+ = . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b a b a b 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 9 41 . 1. 1 3 9 æ ö æ ö æ öæ ö = + = + £ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè ø Û a b2 2 9 4 9 10 + ³ Û OA OB2 2 9 4 9 10 + ³ . Dấu bằng xảy ra khi a b 1 3 2: 1: 3 = và a b 1 2 1+ = Û a b 2010, 9 = = Þ d x y: 2 9 20 0+ - = . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). · x y x y3 6 0; 2 0+ - = - - = Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4= . · Gọi A a B b a b( ;0), (0; ) ( , 0)¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x yd a b : 1+ = . Theo giả thiết, ta có: a b ab 2 1 1 8 ì + =ï í ï =î Û b a ab ab 2 8 ì + = í =î . · Khi ab 8= thì b a2 8+ = . Nên: b a d x y12; 4 : 2 4 0= = Þ + - = . · Khi ab 8= - thì b a2 8+ = - . Ta có: b b b2 4 4 0 2 2 2+ - = Û = - ± . + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - + Þ - + + - = + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - - Þ + + - + = . Câu hỏi tương tự: a) M S(8;6), 12= . ĐS: d x y: 3 2 12 0- - = ; d x y: 3 8 24 0- + = Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình x y2 – 3 0+ = . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 10 = . · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ + = Û ax by a b–2 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ Ta có: a b a b2 2 2 1cos 105( ) a -= = + Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x y: 2 3 4 0+ + = . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 045 . · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ - = Û ax by a b–(2 ) 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ . Ta có: a b a b 0 2 2 2 3cos45 13. + = + Û a ab b2 25 24 5 0- - = Û a b a b 5 5 é = ê = -ë + Với a b5= . Chọn a b5, 1= = Þ Phương trình x y: 5 11 0D + - = . + Với a b5 = - . Chọn a b1, 5= = - Þ Phương trình x y: 5 3 0D - + = . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 2 0- - = và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 045 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ . Vì ·d 0( , ) 45D = nên a b a b2 2 2 1 2. 5 - = + a b b a 3 3 é =Û ê = -ë · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I( ; ) 10D = c4 10 10 + Û = c c 6 14 é =Û ê = -ë · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I( ; ) 10D = c2 10 10 - + Û = c c 8 12 é = -Û ê =ë Vậy các đường thẳng cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình lần lượt là x y3 2 0+ + = và x y3 4 0- + = . Gọi A là giao điểm của d1và d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B , C ( B vàC khác A ) sao cho AB AC2 2 1 1 + đạt giá trị nhỏ nhất. · A d d A1 2 ( 1;1)= Ç Þ - . Ta có d d1 2^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: AB AC AH AM2 2 2 2 1 1 1 1 + = ³ (không đổi) Þ AB AC2 2 1 1 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng AM2 1 khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x y 2 0+ - = . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2)- , d x y1 : 3 5 0+ + = , d x y2 : 3 5 0- + = . ĐS: x y: 1 0D + + = . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ) : –3 – 4 0= và đường tròn C x y y2 2( ) : – 4 0+ = . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b b 60; 5 = = Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M N38 6 8 4; , ; 5 5 5 5 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: x y2 3 4 0+ + = . Tìm điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 045 . · D có PTTS: x t y t 1 3 2 2 ì = - í = - +î và VTCP u ( 3;2)= -r . Giả sử B t t(1 3 ; 2 2 ) D- - + Î . AB 0( , ) 45D = Þ AB u 1cos( ; ) 2 = uuur r AB u AB u . 1 . 2 Û = uuur r r t t t t 2 15 13169 156 45 0 3 13 é =ê Û - - = Û ê ê = - ë . Vậy các điểm cần tìm là: B B1 2 32 4 22 32; , ; 13 13 13 13 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 3 6 0- - = và điểm N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 15 2 . · Ta có ON (3;4)= uuur , ON = 5, PT đường thẳng ON: x y4 3 0- = . Giả sử M m m d(3 6; )+ Î . Khi đó ta có ONMONM S S d M ON ON d M ON ON 21 ( , ). ( , ) 3 2 D D = Û = = Û m m m m m4.(3 6) 3 133 9 24 15 1; 5 3 + - - = Û + = Û = - = + Với m M1 (3; 1)= - Þ - + Với m M13 137; 3 3 æ ö- - = Þ -ç ÷ è ø Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x y: 2 2 0- + = . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . · Giả sử B b b C c c d(2 2; ), (2 2; )- - Î . Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û dAB u. 0= uuur r Û B 2 6; 5 5 æ ö ç ÷ è ø Þ AB 2 5 5 = Þ BC 5 5 = BC c c21 125 300 180 5 = - + = 5 5 Û c C c C 1 (0;1) 7 4 7; 5 5 5 é = Þ ê æ ö ê = Þ ç ÷ è øë Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 0+ - = , d x y2 : 9 0+ - = và điểm A(1;4) . Tìm điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. · Gọi B b b d C c c d1 2( ;3 ) , ( ;9 )- Î - Î Þ AB b b( 1; 1 )= - - - uuur , AC c c( 1;5 )= - - uuur . DABC vuông cân tại A Û AB AC AB AC . 0ì =í =î uuur uuur Û b c b c b b c c2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) ì - - - + - = í - + + = - + -î (*) Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 6 (*) Û b cb c cb b c c c 2 2 2 2 2 2 ( 1)(5 )1 (1) 1 (5 )( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2) ( 1) ì + - - =ï -ï í -ï + + + = - + - ï -î Từ (2) Û b c2 2( 1) ( 1)+ = - Û b c b c 2é = - ê = -ë . + Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c b4, 2= = Þ B C(2;1), (4;5) . + Với b c= - , thay vào (1) ta được c b2, 2= = - Þ B C( 2;5), (2;7)- . Vậy: B C(2;1), (4;5) hoặc B C( 2;5), (2;7)- . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d m x m y m1 : ( –1) ( –2) 2 – 0+ + = ; d m x m y m2 : (2 – ) ( –1) 3 – 5 0+ + = . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất. · Xét Hệ PT: m x m y m m x m y m ( 1) ( 2) 2 (2 ) ( 1) 3 5 ì - + - = - í - + - = - +î . Ta có m mD m m m m 2 3 11 2 2 0, 2 1 2 2 æ ö- -= = - + > "ç ÷- - è ø Þ d d1 2, luôn cắt nhau. Ta có: A d B d d d1 2 1 2(0;1) , (2; 1) ,Î - Î ^ Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: PA PB PA PB AB2 2 2 2( ) 2( ) 2 16+ £ + = = Þ PA PB 4+ £ . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »AB Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= . Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc m 2= . Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x y–2 –2 0= và hai điểm A( 1;2)- , B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA MB2 22 + có giá trị nhỏ nhất. · Giả sử M M t t AM t t BM t t(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)D+ Î Þ = + - = - - uuur uuur Ta có: AM BM t t f t2 2 22 15 4 43 ( )+ = + + = Þ f t f 2min ( ) 15 æ ö = -ç ÷ è ø Þ M 26 2; 15 15 æ ö -ç ÷ è ø Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 3 0- + = và 2 điểm A B(1;0), (2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất. · Ta có: A A B Bx y x y(2 3).(2 3) 30 0- + - + = > Þ A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x y: 5 7 0¢ + - = . Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B¢ ¢+ = + ³ . Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. Khi đó: M 8 17; 11 11 æ ö -ç ÷ è ø . Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 7 TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): x y2 – – 5 0= và đường tròn (C’): x y x2 2 20 50 0+ - + = . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x y x y2 2 4 8 10 0+ - - + = Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d x y: 3 – –8 0= . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. · Tìm được C (1; 1)1 - , C2( 2; 10)- - . + Với C1(1; 1)- Þ (C): 2 2x y x y11 11 16 0 3 3 3 + - + + = + Với C2( 2; 10)- - Þ (C): 2 2x y x y91 91 416 0 3 3 3 + - + + = Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 3 0+ - = , d x y2 : 3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. · Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1. Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û t t t t3 4(3 2 ) 5 5 4 3(3 2 ) 2 5 + - + = + - + Û tt 2 4 é êë = = Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49 25 ( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9( 4) ( 5) 25 - + + = . Câu hỏi tương tự: a) Với d x y1 : –6 –10 0= , d x y2 : 3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 5 0- - = . ĐS: x y2 2( 10) 49- + = hoặc x y 2 2 2 10 70 7 43 43 43 æ ö æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x y3 8 0+ + = , x y' :3 4 10 0D - + = và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. · Giả sử tâm I t t( 3 8; )- - Î D.. Ta có: d I IA( , )D¢ = Û t t t t2 2 2 2 3( 3 8) 4 10 ( 3 8 2) ( 1) 3 4 - - - + = - - + + - + Û t 3= - Þ I R(1; 3), 5- = PT đường tròn cần tìm: x y2 2( 1) ( 3) 25- + + = . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0D - + = và x y' : 3 4 31 0D - - = . Lập phương trình đường tròn C( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.D Tìm tọa độ tiếp điểm của C( ) và 'D . · Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn (C). C( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C( ) tiếp xúc với D¢ nên PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 8 aa b a bd I d I a a IM u a b a b 54 34 3 3 3 4 31( , ) ( , ') 4 3 3 6 85 45 5(3;4) 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54D D D ìì -- + - -ì = ï ï - + = -=Û Ûí í í^ =î ï ï- + - = + =î î uuur r a a a b a a bb 25 150 4 6 85 10; 654 3 190; 156 4 ì - = -ï é = =Û Û-í ê = - == ëïî Vậy: C x y2 2( ) : ( 10) ( 6) 25- + - = tiếp xúc với 'D tại N(13;2) hoặc C x y2 2( ) : ( 190) ( 156) 60025+ + - = tiếp xúc với 'D tại N( 43; 40)- - Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp xúc với các trục toạ độ. · Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a x a y a a b 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é - + + = ê - + - =êë a) Þ a a1; 5= = b) Þ vô nghiệm. Kết luận: x y2 2( 1) ( 1) 1- + + = và x y2 2( 5) ( 5) 25- + + = . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ) : 2 4 0- - = . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). · Gọi I m m d( ;2 4) ( )- Î là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m 42 4 4, 3 = - Û = = . · m 4 3 = thì phương trình đường tròn là: x y 2 2 4 4 16 3 3 9 æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø . · m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2( 4) ( 4) 16- + - = . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): x y3 – 4 8 0+ = . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). · Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)= uuur Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) Ta có IA = d(I,D) a a a211 8 5 5 10 10Û - = - + Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û a a 3 31 2 é = ê =ê ë · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 · Với a = 31 2 Þ I 31; 27 2 æ ö -ç ÷ è ø , R = 65 2 Þ (C): x y 2 231 4225( 27) 2 4 æ ö - + + =ç ÷ è ø Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và x y: 3 5 0D + - = . Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10 5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . · Tâm I Î d Þ I a a( 2 3; )- + . (C) tiếp xúc với D nên: d I R( , )D = a 2 2 10 510 - Û = a a 6 2 é =Û ê = -ë Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 9 Þ (C): x y2 2 8( 9) ( 6) 5 + + - = hoặc (C): x y2 2 8( 7) ( 2) 5 - + + = . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 4 3 4 0+ + - = . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). PT đường thẳng IA : x t y t 2 3 2 2 ì =í = +î , I IA'Î Þ I t t(2 3 ;2 2)¢ + . AI I A t I12 '( 3;3) 2 ¢= Û = Þ uur uur Þ (C¢): x y2 2( 3) ( 3) 4- + - = Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y2 2 – 4 –5 0+ = . Hãy viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2; 5 5 æ ö ç ÷ è ø · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M Þ I¢ 8 6; 5 5 æ ö- ç ÷ è ø Þ (C¢): x y 2 2 8 6 9 5 5 æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 4 2 0+ - + + = . Viết phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3= . · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3= . PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0- - = . AB 3= . Gọi H x y( ; ) là trung điểm của AB. Ta có: H IM IH R AH2 2 3 2 ì Îï í = - =ïî Û x y x y2 2 3 4 11 0 9( 1) ( 2) 4 ì - - =ï í - + + =ïî Û x y x y 1 29; 5 10 11 11; 5 10 é = - = -ê ê ê = = - ë Þ H 1 29; 5 10 æ ö - -ç ÷ è ø hoặc H 11 11; 5 10 æ ö -ç ÷ è ø . · Với H 1 29; 5 10 æ ö - -ç ÷ è ø . Ta có R MH AH2 2 2 43¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2( 5) ( 1) 43- + - = . · Với H 11 11; 5 10 æ ö -ç ÷ è ø . Ta có R MH AH2 2 2 13¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2( 5) ( 1) 13- + - = . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 4- + - = và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2= . IABSD lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2= . Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT. + T1( ) có bán kính R R1 2= = Þ T x y 2 2 1( ) : ( 3) ( 4) 4- + - = PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 10 + T2( ) có bán kính R 2 2 2 (3 2) ( 2) 2 5= + = Þ T x y 2 2 1( ) : ( 3) ( 4) 20- + - = . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B C1 ;0 , (2;0) 4 æ ö ç ÷ è ø . · Điểm D(d;0) d1 2 4 æ ö < <ç ÷ è ø thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi ( ) ( ) dDB AB d d d DC AC d 2 2 22 91 3 44 4 1 6 3 1. 2 4 3 æ ö + -ç ÷- è ø= Û = Þ - = - Þ = - + - Phương trình AD: x y x y2 3 1 0 3 3 + - = Û + - = - ; AC: x y x y2 3 3 4 6 0 4 3 + - = Û + - = - Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b1- và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: ( )b b b b b 2 2 3 1 4 6 3 5 3 4 - + - = Û - = + Þ b b b b b b 43 5 3 13 5 2 é - = Þ = -ê ê ê - = - Þ = ë Rõ ràng chỉ có giá trị b 1 2 = là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y 2 2 1 1 1 2 2 4 æ ö æ ö - + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x y4 3 12 0- - = và (d2): x y4 3 12 0+ - = . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy. · Gọi A d d B d Oy C d Oy1 2 1 2, ,= Ç = Ç = Ç Þ A B C(3;0), (0; 4), (0;4)- Þ DABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC Þ I R4 4;0 , 3 3 æ ö =ç ÷ è ø . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có phương trình: (C1): x y2 2( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2( 5) ( 4) 32+ + - = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I a a d( ; –1)Î . (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II R R II R R II R II R1 1 2 2 1 1 2 2, – –= + = + Þ = Û a a a a2 2 2 2( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x y2 2( 1) 2+ + = . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 11 · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x y x2 2: 2 0+ + = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . · C x y I R2 2( ) : ( 1) 1 ( 1;0); 1+ + = Þ - = . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là 3± . Þ PT (D) có dạng x y b1 : 3 0D - + = hoặc x y b2 : 3 0D + + = + x y b1 : 3 0D - + = tiếp xúc (C) d I R1( , )DÛ = b b3 1 2 3 2 - Û = Û = ± + . Kết luận: x y1( ) : 3 2 3 0D - ± + = + x y b2( ) : 3 0D + + = tiếp xúc (C) d I R2( , )DÛ = b b3 1 2 3 2 - Û = Û = ± + . Kết luận: x y2( ) : 3 2 3 0D + ± + = . Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 6 2 5 0+ - - + = và đường thẳng (d): x y3 3 0+ - = . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 045 . · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (D): ax by c c0 ( 0)+ + = ¹ . Từ: d I d ( , ) 5 2cos( , ) 2 D D ì =ï í =ïî Þ a b c a b c 2, 1, 10 1, 2, 10 é = = - = - ê = = = -ë Þ x y x y : 2 10 0 : 2 10 0 D D é - - = ê + - =ë . Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C x y2 2( ) : ( 1) ( 1) 10- + - = và đường thẳng d x y: 2 2 0- - = . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C( ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 045 . · (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10= . Gọi n a b( ; )=r là VTPT của tiếp tuyến D a b2 2( 0)+ ¹ , Vì ·d 0( , ) 45D = nên a b a b2 2 2 1 2. 5 - = + a b b a 3 3 é =Û ê = -ë · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I R( ; )D = c4 10 10 + Û = c c 6 14 é =Û ê = -ë · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I R( ; )D = c2 10 10 - + Û = c c 8 12 é = -Û ê =ë Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x y x y2 2 – 2 –2 –2 0+ = , (C2): x y x y2 2 –8 – 2 16 0+ + = . · (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: I I R R1 2 1 23= = + Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến,
File đính kèm:
hinh hoc toa do.pdf
