Bài tập Phương trình nghiệm nguyên

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Khái niệm
Phương trình nghiệm nguyên : 
Nghiệm của phương trình nghiệm nguyên : 
Không phải nghiệm của phương trình nghiệm nguyên : 
Bài toán ứng dụng : Nam có một số tờ 2 đồng, Hà có một số tờ 3 đồng. Hai bạn góp lại được 7 đồng. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền ?
Các dạng phương trình nghiệm nguyên cơ bản
Phương trình dạng tích : 
Bài 1 : Tìm x, y nguyên thoả mãn 
Hướng dẫn : 
x
7
1
-7
-1
y + 3
1
7
-1
-7
y
-2
4
-4
-10
Các nghiệm của phương trình là : 
Bài 2 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn
Bài 3 : Tìm một số biết tỷ số của số đó và 10 bằng tỷ số của 25 và hai lần số đó ?
Phương trình dạng tổng : 
Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm : ƯCLN(a; b) là ước của c
Chứng minh :
Điều kiện cần : Nếu d = ƯCLN(a; b) và (x; y) là nghiệm của phương trình thì 
Điều kiện đủ : Nếu c là bội d = ƯCLN(a; b) khi đó tồn tại các số (x; y) sao cho (theo định lý về ƯCLN) và tồn tại c’ sao cho . Nhân hai vế của đẳng thức với c’ ta có . Điều này chứng tỏ cặp là nghiệm của phương trình 
Các phương pháp giải :
Phương pháp nhẩm nghiệm : Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm tổng quát của nó có dạng 
Bài 4 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn
Phương pháp đặt ẩn phụ : Biến đổi phương trình đã cho về phương trình có một trong các hệ số của x, y bằng 1 hoặc -1. Sau đó muốn có công thức nghiệm tổng quát cho x, y có thể tìm một nghiệm rồi sử dụng phương pháp trên !
Bài 5 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn
Bài 6 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn
Hướng dẫn :
Bài 7 : Tìm x, y nguyên thoả mãn
Bài 8 : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau
Bài 9 : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau
Bài 10 : Một đoàn 96 người qua sông bằng hai loại thuyền lớn (7 người), nhỏ (4 người). Tính số thuyền mỗi loại ?
Bài 11 : Một đoàn 50 người qua sông bằng hai loại thuyền lớn (7 người), nhỏ (5 người). Tính số thuyền mỗi loại ?
Một số phương trình nghiệm nguyên khác (Dành cho học sinh lớp 8)
Bài 12 : Giải các phương trình sau
Bài 13 : Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2 ?
Bài 14 : Tìm hai số tự nhiên khác 0 có tổng bằng tích ?
Bài 15 : Tìm ba số tự nhiên khác 0 có tổng bằng tích ?
Bài 16 : Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình