Bài tập Số phức

V. SỐ PHỨC
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
 a/ Z = i + (2-4i) + (3 – 2i) b/ Z = 
 c/ Z = (2 – 3i)(2 + 3i) d/ Z = i(2 – i)(3 + i)
 e/ Z = f/ Z = (2 – 3i)3
 g/ Z = h/ Z = 1 + (1 + i) + (1+i)2 +..+(1 + i)20
 ĐS: a/ 5; 5 b/ 3/26; - 67/26 c/ 13; 0 d/ 1; 7
 e/ -7; f/ -46; 9 g/ h/ -1024; 1025
Bài 2: Chứng minh số phức sau là số thực: 
	 .
Bài 3: Cho số phức z = x + iy. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
 a/ u = z2 – 2z + 4i b/ V = 
 ĐS: a/ x2 – y2 – 2x; 2xy – 2y + 4 b/ 
Bài 4: Phân tích các biểu thức sau thành thừa số phức.
	a/ với 	 
	b/ với 	 
 ĐS: a/ 	 b/
Bài 5: Cho hai số phức và .
	a/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
	b/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
 ĐS: a/ Phần thực: ac – bd; Phần ảo: ad + bc. 
 b/ Phần thực: ; Phần ảo:
Bài 6: Tìm phần thực và phần ảo ( dạng đại số ) của các số phức sau :
	a/ ( 3 + 2i ) + 5( 1 – i ) – 2( 3 – i )	 
	b/ ( 2 + i )2 – ( 2 – i )2	 
	c/ 	
 ĐS: a/ Phần thực : 2; Phần ảo : -1.
 b/ Phần thực : 0; Phần ảo : 8.
 c/ Phần thực : ; Phần ảo:
Bài 7: Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di.
	a/ Tìm điều kiện giữa a, b, c, d để z + w thuần ảo.	
	b/ Tìm điều kiện giữa a, b, c, d để z.w là 1 số thực.	 
 ĐS: a/ a + c = 0 và b + d 0 b/ ad + bc = 0 .
Bài 8: Tìm các số thực x,y biết:
 a/ ( 2x -3 )- (3y+1)i = ( 2y+ 1) + (3x -7) 
 b/ x(1+2i) +y(2 – i) = 2x + y +2yi +ix. 
 ĐS: a/ x = 2; y = 0	 b/ x = y = 0	
Bài 9: Thực hiện phép tính:
 a/ (11 – 6i) – (2 – 4i)2 b/ 
 c/ d/ (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i)
 ĐS: a/ 23 + 10i b/ c/ d/ -15 + i
Bài 10: Cho các số phức:
 a/ Biểu diễn các số phức lên mặt phẳng phức. 
 b/ Tính môđun và tìm một argumen của mỗi số phức đó.
 c/ Tìm số phức liên hợp,số phức đối, số phức nghịch đảo của mỗi số phức trên.
 ĐS: a/ A(1;-3); B(1;1); C(0;-); D(3;0).
 b/ z1 có môđun r1=2; argumen j = 
 z2 có môđun r2=; argumen j = 
 z3 có môđun r3= ; argumen j = 
 z4 có môđun r4=1; argumen j=.
 c/ 
 ) 
Bài 11: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
 a/ -15+8i b/ -i c/ 4i 
 d/ -4 e/ 1+4i f/ 4+6
 ĐS: a/ 	 b/ 	 c/ 
 d/ e/ 	 f/ 
Bài 12: Giải các phương trình sau: 
 a/ x2 – 2x + 5 = 0 b/ x2 + (1 + i)x – (1 – i) = 0 
 c/ x2 – 6x + 25 = 0 d/ x2 – 4x + 7 = 0
 e/ x3 + 8 = 0 f/ z2 + (3 – 2i)z + 5 – 5i = 0
 g/ 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = 5 + 4i h/ z2 = z + 1
 i/ x4 – 3x2 + 4 = 0 j/ (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 
 ĐS : a/ x = 1 b/ x = c/ x = 3 
 d/ x = 2 e/ Z = -2; Z = 1 f/ Z = -1 +3i; Z = -2 – i
 g/ x = 1 + h/ Z = 
 i/ x = x = j/ Z = (1 – i); Z = (-1 +i); Z =i
Bài 13: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :
	 a/ 	 
	 b/ a + bi và a – bi 	
 ĐS: a/ b/ 
Bài 14: Tìm số phức B để phương trình : z2+ Bz +3i =0 có tổng bình phương hai
 nghiệm bằng 8. 
 ĐS: 
Bài 15: Biết z1, z2 là nghiệm của phương trình : . Tính .
 ĐS: 
Bài 16: Tìm số phức z biết:
 a/ và z là số thuần ảo. 
 b/ và phần thực bằng hai lần phần ảo. 
 ĐS: a/ z = b/ z = 
Bài 17:Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5( 1 –i).
 ĐS: 3+ i và 1 – 2i
Bài 18: Giải các phương trình sau:
 a/ b/ c/ Z + 2= 2 – 4i
 d/ Z2 + e/ Z2 + f/ (Z – i)(Z2 + 1)(Z3 + i) = 0
 g/ (Z2 + Z)2 + 4(Z2 + Z) – 12 = 0 h/ Z4 – Z3 + +Z + 1 = 0 
 ĐS: a/ Z = b/ Z = -1 + i; Z = c/ Z = 
 d/ Z = 0; Z = - 1; Z = e/ Z = 0; Z = i; Z = -i
 f/ Z = i; Z = -i; Z = g/ Z = 1; Z = -2; Z = 
 h/ Z = 1; Z = 
Bài 19: Trong Z, giải các phương trình sau :
	 a/ ( 2 + 3i )z = z – 1. b/ 	
	c/ 	 d/ z2 + 4 = 0	
 ĐS: a/ Z = b/ Z = 
 c/ Z = -i; Z = 2 + 3i d/ Z = 
Bài 20:Giải phương trình : 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = 0	
 ĐS: .
Bài 21: Giải hệ phương trình : 
 ĐS: hoặc 
Bài 22: Tính các luỹ thừa sau:
 a/ (2 +3i)2 b/ [(4 + 5i) – (4 + 3i)]5 c/ 
 d/ (1 + i)2008 e/ (1 – i)2009 f/ 
 ĐS: a/ b/ 32i c/ - 1 - 2 d/ 21004 e/ (1 – i)21004 f/ 1
Bài 23: Chứng minh rằng : .
Bài 24: Tính :
 a/ b/ c/ 
 d/ e/ f/ (1 + i)8 +(1 – i)20
 ĐS: a/ - 26 b/ c/ 221
 d/ 29(1 - i e/ 27 f/ - 1008
Bài 25: Chứng minh rằng các số sau là số thực :
	a/ 	 b/ 	
 ĐS: a/ -4096 b/ 
Bài 26: Cho hai số phức: 
 a/Viết z1 ; z2 về dạng lượng giác.
 b/ Tính . 
 c/ Tính z20 
 ĐS: a/ z1 =; )
 b/ z = 
 c/ 
Bài 27: Viết các số phức sau về dạng lượng giác:
 a/ Z = -1 + i b/ Z = 2 + 2 c/ Z =
 d/ Z = cos e/ Z = (1 - i(1 + i) f/ Z = 
 ĐS: a/ Z = 2(cos b/ Z = 4(cos
 c/ Z = d/ Z = 
 e/ Z = f/ Z = 
Bài 28: Cho hai số phức :
 a.Tính z1.z2 và và viết kết quả dưới dạng đại số.
 b. Tìm phần thực và phần ảo của z1 và z2. Biểu diễn z1, z2 lên mặt phẳng phức.
 ĐS: a/ 
Bài 29: Tìm môđun và argumen của số phức :
 ĐS: 
Bài 30: Tính 	
 ĐS : 
Bài 31: Tính cos5x theo cosx; sin5x theo sinx.
 ĐS: cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx ; sin5x = 16sin5x – 20 sin3x +5sinx.
Bài 32: Tìm tập hợp ảnh M của số phức z cho bởi (4+3i)z + i –m =0 (m là số thực)
 ĐS: Tập hợp các ảnh M là đường thẳng : 3x + 4y + 1 = 0
Bài 33: Cho A,B,C,D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 
 Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D cùng 
 nằm trên một đường tròn. 
 ĐS: Đường tròn tâm I(3;3) ,bán kính R =2)
Bài 34: Giải hệ phương trình: 
 ĐS: Nghiệm của hệ: (1+2i;3-i) ; (3-i ; +2i))
Bài 35: Tìm tập hợp các điểm M biểu diển số phức z thoả điều kiện:
 ĐS: a. Đường tròn tâm I(1;-1),bk R=2. b. Đường thẳng 4x + 2y +3 =0 
 c. Nửa mặt phẳng bên phải trục tung.d. Hình vành khuyên tâm (-1;1),bk nhỏ 
 r=1;bk lớn R=2.
 e. là elip có tiêu cự bằng 8, trục lớn bằng 10 
 có pt:
Bài 36: Cho số phức z = .
 a.Tìm m để 
 b.Tìm m để . 
 c. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất 
 ĐS: a/ m = 1 b/ c/ m=0 , z= i
Bài 37: Cho z= cosj + isinj (j)
 a.Chứng minh rằng: j ; j
 (HD : Sử dụng công thức Moa-vrơ)
 b.Chứng minh : j = (cos4j+ 4cos2j +3)
	sin5j = (sin5j - 5sin3j + 10sinj)
 ( HD : Áp dụng câu a,thay n =1)
Bài 38: Cho số phức . Tính các số phức : , z2, , 1 + z + z2.
 ĐS: ; 1 + z + z2 = 3 - 
Bài 39: Tìm số phức z nếu 
 ĐS: z = 0, z = i, z = - i )
Bài 40: Giải các phương trình sau :
 	a/(z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = 0 
 	b/(z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0 
 ĐS: a/ z = i, z = -i, 
 b/ z = 1, z = -2, 
Bài 41: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác 
 	a/1 – i 	b/
 ĐS : a/ 	b/
Bài 42: Giải các phương trình bậc hai sau trên tập số phức
 	a/2x2 – 3x + 10 = 0 	b/x2 – 4x – 5 = 0
 	c/x2 – (5 + 4i)x + 4(1 + i) = 0
Bài 43: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau :
 	a/ 	b/
 	c/ 	d/
Bài 44: Tìm môđun và argument của số phức: 
 ĐS: môđun , argument )
Bài 45: Tìm căn bậc hai của a + I, ( ). Tìm điểm biểu diễn các căn đó.
 ĐS: 
	 Điểm biểu diễn .
Bài 46: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn 
 của các số phức . Chứng minh rằng 
 tam giác ABC vuông cân tại A.
 	Hướng dẫn : A ( 3 ; -1 ) ; B ( 1 ; 3 ) ; C ( -1 ; -3 )
	.
Bài 47: Chứng minh rằng số là số thực khi và chỉ khi z là số thực và .
 và số là số thuần ảo khi và chỉ khi và .
Bài 48: Chứng minh rằng nếu số phức z không phải là số ảo thì là số thực.
 ĐS:: ( với x là phần thực của z )
Bài 49:Chứng minh công thức : .
Bài 50: Chứng minh rằng :
	a/ 
 Hướng dẫn : nhóm từng 4 số hạng và đặt thừa số chung.
	b/ .
 Hướng dẫn : nhân dạng lượng giác của 3 thừa số ở vế trái của đẳng thức.
Bài 51: Tìm số phức z sao cho có một argumen bằng .
 ĐS : .