Bài tập Tính đơn điệu; cực trị của hàm số; GTLN - GTNN của hàm số; tiệm cận

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU; CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ; GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ; TIỆM CẬN.
A . TÍNH ĐƠN ĐIỆU; CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
 a/ y = - x2 +4x +1	 b/ y = x3 – 3 x2 + 8x -2	
 c/ y = - x4 +4x2 	 d/ 
Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
 a/ y = 4x+1+	 b/ y = x+	
 c/ y = x.	 d/ y =x2.e-x
Bài 3:Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số :
 a/ e/ 
 b/ f/ 
 c/ g/ 
 d/ h/ 
Bài 4: Tuỳ theo m hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
 y = f(x) = x3 – 3mx2 + 4mx
 ĐS: .: Khoảng đồng biến là R
 . m4/3: Khoảng đồng biến là (-∞;x1); (x2;+∞) và khoảng nghịch
 biến (x1; x2 ) với 
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3(2m+1)x2 + (12m+5)x + m+1 
 a/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. 
 b/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (-∞;0).
 ĐS :a/ b/ 
 Bài 6: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây luôn đồng biến trên miền
 xác định.
	a/ y= f(x) = x3 – 3(2m+1)x2 +(2m+5)x + 2 
	b/ y= f(x) = x3 + (m-1)x2 + (m2 – 4 )x + 9
 ĐS: a/	b/
Bài 7: Cho hàm số 
 a/Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định. 
 b) Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +∞). 
 ĐS:a/ -2<m<2 b/ m≥2
Bài 8: Tùy theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y=mx3-3x2+1.
 ĐS: . m=0: hs đồng biến trên (-;0) và nghịch biến trên (0;+).
 .m>0: hs đồng biến trên (-;0),và nghịch biến trên .
 . m<0: hs đồng biến trên và nghịch biến trên .
Bài 9: Chứng minh rằng hàm số f(x) = tanx + 2sinx – 3x đồng biến trên nửa khoảng 
 .
Bài 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	a. cosx >1 - , 
	b. , với 0<x<.
	c. 
Bài 11: Tìm m để hàm số tăng trên các khoảng xác định. 
 ĐS : m<-2
Bài 12: Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. 
 ĐS : -3 ≤ m ≤ 1
Bài 13: Tìm cực trị của các hàm số sau:
 a/y = x3 – 3x2 + 5	 b/y = 2x2 – x4 +3
 c/y= 	 d/y = x3 – x2 +x -1
 e/y = x4 +3x2 -2 	 f/y = -x3 +3x2 – 3x +2.
Bài 14:. Tìm cực trị của hàm số :
 a/ b/ c/
Bài 15: Tìm cực trị của hàm số :
 a/ b/ c/
 d/ e/
Bài 16: Tìm cực trị của các hàm số sau:
 a/f(x) = x.	 b/f(x) = 	
 c/f(x)=sin2x - .cosx, x
.Bài 17: Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4 + m x2 -2
Bài 18: Định m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu :
 a/ b/
 ĐS: a/ b/
Bài 19: Định m để hàm số sau có cực trị: .
 ĐS : 
Bài 20: Xác định m để hàm số sau có cực đại tại x = –2 :
 .
 ĐS : m = ±3
Bài 21: Tìm m để hàm số y = f(x) = (x-m)3 – 3x đạt cực tiểu tại x = 0
 ĐS: m= - 1 
Bài 22: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3mx2 +(m2 – 1 )x + 2. Xác định m để hàm số đạt 
 cực đại tại x = 2.
 ĐS: m =11
Bài 23: Tìm m để hàm số y = f(x) = đạt cực đại tại x = 2.
 ĐS: m = -2
Bài 24: Cho hàm số y = f(x) = x3 +mx2 +(2m+3)x + 2.
 a/Xác đinh m để hàm số có cực trị. 
 b/Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2 
Bài 25: Cho hàm số y = . Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực trị tại x0 và
 v’(x0 )≠ 0 thì 
Áp dụng : Chứng minh rằng nếu hs y = f(x) = đạt cực đại tại x1, cực 
 tiểu tại x2 thì 
Bài 26: Cho hàm số y = f(x) = . Xác định m để hàm số có cực đại, cực 
 tiểu thỏa 
 ĐS: m = 3 
Bài 27: Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị là (Cm)
 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị 
 (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuộng tại O.
 ĐS: m= )
Bài 28: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 có đồ thị là (Cm)
 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị 
 (Cm)cách đều gốc tọa độ O. 
 ĐS: m= )
Bài 29: Cho hàm số y = f(x) = . Tìm các giá trị của m để hàm số có cực 
 đại, cực tiểu và hai giá trị cực trị cùng dấu.
Bài 30: Tìm các hệ số a, b, c của hàm số , biết rằng hàm số 
 f(x) đạt cực đại tại x = –1, f(–1) = 3 và đạt cực tiểu tại x = 1, f(1) = –1. 
 ĐS: a = 1, b = 0, c = -3, d = 1
Bài 31: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số luôn 
 luôn có cực trị tại x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc a.
Bài 32: Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực 
 trị tại x1, x2 thỏa điều kiện .
 ĐS : m = 1, m = -8
Bài 33: Xác định m để hàm số sau có 3 cực trị : .
 ĐS : .
Bài 34: Xác định m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu 
 thỏa xcđ = 2xct. 
 ĐS:m = –1, m = –7
B. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : , x > 0
 ĐS: min y = 3 khi x = 1 ; Không tồn tại max y.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 ĐS: min y = 1 ; max y = 6
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 1 + x – x2 
 ĐS: max y = khi x = ; Không tồn tại min y.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sinx + cosx 
 ĐS: max y = ; min y = -
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 ĐS: min y = 1 ; max y = 
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sin20x + cos20x 
 ĐS: max y = 1 khi ; min y = khi 
 HD: Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên xét .
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = cosx + cos2x 
 ĐS: max y = ; min y = 
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = lg2x + 
 ĐS: min y = 
Bài 9: Tìm GTLN của hàm số y= 4x3 – 3x4 
 ĐS: max y =y(1)=1
Bài 10: Tìm GTNN của hàm số với x>0 
 ĐS: 
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
 Sử dụng kết quả đã tìm được để giải pt : = x2 - 6x + 11
 ĐS: , nghiệm x = 3.
Bài 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 
 ĐS: , 
Bài 13:. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [0; ]
 ĐS: , 
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
 ĐS: , 
Bài 15: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
 ĐS: , 
Bài 16: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
 ĐS: , 
Bài 17: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 13 và tích của chúng là bé nhất.
 ĐS: 
Bài 18: Tìm các cạnh của tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh 
 góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a>0).
 ĐS: Độ dài các cạnh là: 
Bài 19: Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp trong 
 đường tròn có bán kính R cho trước.
 ĐS: max S = 2R2 khi x = R
Bài 20: Cho hình cầu bán kính R. Tìm hình nón ngoại tiếp hình cầu sao cho diện tích 
 xung quanh nhỏ nhất.
 ĐS: Chiều cao hình nón h = R(2 + )
HD: Gọi chiều cao hình nón là h ; Tính bán kính đáy và đường sinh hình nón theo h.
Bài 21:. Trên parabol y = x2 lấy 2 điểm A(-1;1) ; B(3;9) và 1 điểm M thuộc cung AB. 
 Xác định tọa độ M sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.
 ĐS : M(1;1)
.
C. TIỆM CẬN
Bài 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị các hàm số:
 a/ b/ 
 c/ d/
 e/ g/
 ĐS: a/ x = 3 ; y = 0 	b/ Không có.	
 c/ x = 3/2 ; y = 1. d/ x = 3, x = -3 ; y = 2x - 3.
 e/ y = x - 2 ; y = - x + 2 g/y = 1 ; y = 2x+1
Bài 2: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận đứng: x = 2 , tiệm cận ngang: y = -5
Bài 3: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1 , tiệm cận ngang: y = x -1
Bài 4: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1, x = , tiệm cận ngang: y = 
Bài 5: Cho (C) : , Xác định m để hàm số có tiệm cận
 ĐS: m ¹ 0
Bài 6: Cho (Cm): , Với giá trị nào của m (Cm)không có tiệm 
 cận đứng.
 ĐS: m = 0 ; m = 1
Bài 7: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận đứng: x = , tiệm cận xiên: y = 
Bài 8: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận xiên: y = 
Bài 9: Tìm tiệm cận: 
 ĐS: Tiệm cận đứng: x = , tiệm cận xiên: y = 
Bài 10: Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau không có tiệm cận
 a/ b/
 ĐS : a/ m = 0 ; m = 2; b/ m=- 1 m = 
Bài 11: Xác định tất cả các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau
 a/ đi qua điểm M(2; 5).
 b/ vuông góc với đường thẳng 
 c/ cùng với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có 
 diện tích bằng 4.	
 ĐS:a/m = 4 b/ c/ 
Bài 12: Xác định a để hàm số: có tiệm cận xiên đi qua điểm 
 A(2 , 0).
 ĐS: a = 1
Bài 13: Cho hàm số : . Xác định a,b,c để hàm số có cực trị 
 bằng 1 khi x = 1 và có tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng 
 (d): x + 2y + 1 = 0.
 ĐS: a = 2 , b = -3 , c = 0
Bài 14: Cho hs 
 Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có diện
 tích bằng 8 đvdt.
 ĐS : m=3 ; m=-5