Bài tập Toán 11

Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 64 
ĐẠO DIỄN: TRUNG đẹp trai ---hehe
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 2 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 63
®Ò 2 
Bài 1: Tìm 
 a) 
6
293lim 3
23
2 −−
−−+
→ xx
xxx
x
 b) 
21
3 2
lim
1x
x
x→
+ −
− 
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: 
⎧ + + ≠ −⎪= +⎨⎪⎩
2 3 2
, khi x 2
( ) 2
3 , khi x = -2
x x
f x x 
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x +1 (1) 
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số (1) rồi suy ra ( 5)f ′′ − . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại 
điểm Mo(0; 1). 
c) Chứng minh PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm 
trong khoảng (-1; 1). 
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a. 
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD). 
b) Chứng minh tam giác SAC vuông. 
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 62 
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 
®Ò 1 
Câu 1: Tính giới hạn của hàm số 
a) 
2
3
2 9 9lim
3x
x x
x→
− −
− b) 
22 4 1lim
3 2x
x x
x→−∞
− +
− + 
Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó: 
f(x) = 
22 10 2
2 4
4 17 2
x x x
x
x x
⎧− + + < −⎪ +⎨⎪ + ≥ −⎩
nÕu
nÕu
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số: 
a) y = 3x3 - 4x2 + 8 
b) y = 
22 5 1
3 4
x x
x
+ −
− 
c) y = 3sin3x - 3cos24x 
Câu 4: 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) 
 y = - 2x4 + x2 – 3 tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. 
b) Cho hàm số y = x.cosx. 
 Chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0 
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ở B và 
nABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. Gọi O là trung 
điểm của đoạn AC, H là hình chiếu của O trên SC. 
a) Chứng minh: OB ⊥ SC. 
b) Chứng minh: (HBO) ⊥ (SBC). 
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng AD và SB. 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 3
Chương I: 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC 
PHẦN 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1. 1sin
1
+= −
xy
x
 2. 3sin2
2cos3
= xy
x
 3. cot(2 )
4
π= −y x 4. 2tan( 5 )
3
π= +y x 
 5. 
1cos
1
−= +
xy
x
 6. 
sin 2
cos 1
+= +
xy 
 7. 
1
sin cos
= −y x x 8. 2 2
3 tan
cos sin
+= −
xy
x x
 9. sin cos
cos 1 1 sin
= +− +
x xy
x x
 10. 2
12 sin
tan 1
= + − −y x x 
Bài 2. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 
 1. cos3xy
x
= 2. 2 2siny x x= − 
 3. 2siny x x= + 4. 21 tan 1
2
y x= + 
 5. 23sin cosy x x= − 6. tan 2cosy x x= + 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 
 1. y 2sin(x ) 3
3
π= − + 2. 1y=3- cos2x
2
 3. 
21 3cosy=
2
x+ 4. 2 4sin cosy x x= − 
 5. 24sin cos2y x x= − 6. 3 cos2 1y x= + 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 4 
 7. 7 3 s in3y x= − 8. 2 25 2sin cosy x x= − 
Bài 4. Hãy xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 
 1. siny x= − 2. 2 siny x= − 
 3. sin( )
3
y x π= + 4. cos 1y x= + 
PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 1s in3
2
x = 2. 2cos2
2
x = − 
 3. tan( ) 3
4
x π− = 4. s in2 s in2 cos 0x x x− = 
 5. s in3 cos2 0x x− = 6. t an4 cot 2 1x x = 
 7. 2cos( ) 1 0
6
x π− + = 8. tan(2 ) t an3 0
3
x xπ+ + = 
 9. 2cos 2sin 0
2
xx − = 10. 4 4 2cos sin
2
x x− = 
 11. 1sin cos sin cos
2 3 3 2 2
x xπ π+ = 
 12. 3 3 2sin cos cos sin
8
x x x x− = 
 13. 2 2 2cos cos 2 cos 3 1x x x+ + = 
 14. 
2 2 17s in 2 cos 8 sin( 10 )
2
x x xπ− = + 
 15. 4 6cos sin cos2x x x+ = 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 61
3. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và 
SD 
4. Tính : d [ ])(, SACM 
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ 
= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). 
2. Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). 
3. Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách 
từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). 
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
1. Chứng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’) 
2. Tính d (BA 'C'),(ACD')⎡ ⎤⎣ ⎦ 
3. Tính d (BC'),(CD')⎡ ⎤⎣ ⎦ 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 60 
 1. OA và BC 2. AI và OC. 
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, 
cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng: 
 1. SC và BD. 2. AC và SD. 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
canh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 3a . Tính: 
1. Giữa SC và BD ; giữa AC và SD. 
2. d [ ])(, ABCDA 
3. d [ ])(, SBCO với O là tâm của hình vuông. 
4. d [ ])(, ABCDI với I là trung điểm của SC. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
vuông tại A và D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a 
Tính : 
1. d [ ])(, SCDA ; d [ ])(, SBCA 
2. d [ ])(, SCDAB 
3. d [ ])(, SCDAB 
4. d [ ])(, SBCDE , E là trung điểm của AB 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,tam 
giac SAD đều và (SAD) ⊥ (ABCD) .gọi I là trung điểm của Sb 
va K =CM ∩ BI 
1. Chứng minh (CMF) ⊥ (SIB) 
2. Chứng minh : tam giac BKF cân tại K 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 5
 16. 1 cos4 s in4 0
2s in2 1 cos4
x x
x x
− − =+ 
 17. 2 2 1sin cos cos
2
x x x ++ = 
 18. 
2(2 3)cos 2sin ( )
2 4 1
2cos 1
xx
x
π− − −
=− 
Bài 2. Giải và biện luận phương trình: 
 1. sin 2 1x m= − 
 2. (4 1)cos cos 8m x m x− = − 
 3. 4 tan ( 1) tanx m m x− = + 
 4. 2(3 2)cos2 4 sin 0m x m x m− + + = 
Bài 3. Tìm m để phương trình: 
 1. 2 sin( )
4
x mπ+ = có nghiệm (0; )
2
x π∈ 
 2. 7(2 )sin( ) (3 2)cos(2 ) 2 0
2
m x m x mπ π+ + − + − + − = có 
nghiệm. 
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1. 24 cos 2( 3 1)cos 3 0x x− + + = 
2. 2 2cos x 5sinx – 4 0+ = 
3. 2cos2x – 8cosx 5 0 + = 
4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x= + + 
5. 22
3 3 2 tan
cos
= + x
x
6.  5tan x 2cotx 3 0− − = 
7. 26sin 3 cos12 4x x+ = 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 6 
8. 2cos2 3cos 4 cos
2
x x
x− = 
9. 2cos4cot tan
s in2
xx x
x
= + 
10. 
2cos (2sin 3 2) 2sin 3 1
1 s in2
x x x
x
+ + − =+ 
11. 4 43tan 2 tan 1 0x x+ − = 
12. 1 1cos sin
sin cos
x x
x x
− = − 
13. 2
2
1 1cos 2(cos ) 1
coscos
x x
xx
+ − + = 
14. 
2 2
1 1 4
sin cossin cos x xx x
+ = 
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
1. 2cos (1 )cos 2 6 0x m x m+ − + − = 
2. 24 cos 2 4cos2 3 3 0x x m− − − = 
Bài 3. Cho phương trình: cos2 ( 2)sin 1 0x a x a+ + − − = 
1. Giải phương trình đã cho khi a = 1. 
2. Với giá trị nào của a thì phương trình đã cho có 
nghiệm? 
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO 
SINu VÀ COSu 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 2sincos3 =− xx 
 2. 1sin3cos −=− xx 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 59
1. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC). 
2. Tính góc giữa hai mp (SAD), (SBC). 
3. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng 
minh: (SHC) ⊥ (SDI). 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J lần lượt là 
trung điểm của BC và AB, AC. Từ O kẻ đoạn thẳng 
OS⊥ (ABC). 
1. Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC). 
2. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SAB). 
3. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SOJ). 
Bài 11. Cho tam diện ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi 
một vuông góc). Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz các điểm B, C, A 
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đường cao CH va BK của 
tam giác ABC cắt nhau tại I. 
1. Chứng minh: (ABC) ⊥ (OHC). 
2. Chứng minh: (ABC) ⊥ (OKB). 
3. Chứng minh: OI ⊥ (ABC). 
4. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi OA, OB, OC với OI. 
Chứng minh: cos2α + cos2 β + cos2 γ = 1. 
KHOẢNG CÁCH 
Bài 1. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I 
là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc 
chung của các cặp đường thẳng: 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 58 
1. Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC). 
2. Chứng minh: (SOI) ⊥ (ABC). 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Tam 
giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. I, J, K 
lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC. 
1. Chứng minh: SI ⊥ (ABCD). 
2. Chứng minh: trên mặt phẳng SAD và SBC là những tam 
giác vuông. 
3. Chứng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB). 
4. Chứng minh: (SDK) ⊥ (SIC). 
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD ⊥ (BCD). Gọi AE, BF 
là hai đường cao của tam giác ABC, H và K lần lượt là trực tâm 
của tam giác ABC và tam giác BCD. 
1. Chứng minh: (ADE) ⊥ (ABC). 
2. Chứng minh: (BFK) ⊥ (ABC). 
3. Chứng minh: HK⊥ (ABC). 
Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, AC = 
2 6
3
a . Trên đường thẳng vuông góc với mp (P) tại giao điểm O 
của hai đường chéo hình thoi ta lấy S sao cho SB = a. 
1. Chứng minh: ∆ SAC vuông. 
2. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD). 
Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian 
sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD). 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 7
 3. s in3 3 cos3 2x x+ = 
 4. 22 cos 3 s in2 2x x− = 
 5. 2s in2 cos2 3 cos4 2 0x x x+ + = 
 6. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− 
 7. 
4
1)
4
(cossin 44 =++ πxx 
 8. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x− = + 
 9. 2 1sin 2 sin
2
x x+ = 
 10. 33sin3 3 cos9 1 4sin 3x x x− = + 
 11. 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x x
x
− = 
 12. cos sincot tan
sin cos
x xx x
x x
−− = 
Bài 2. Định m để phương trình sau đây có nghiệm: 
 1. sin 2cos 3m x x+ = 
 2. s in2 cos2 2 0x m x m+ + = 
 3. cos3 ( 2)s in3 2m x m x+ + = 
 4. (sin 2cos 3) 1 cosx x m x+ + = + 
 5. (cos sin 1) sinm x x x− − = 
 6. (3 4 )cos2 (4 3)s in2 13 0m x m x m+ + − + = 
Bài 3. Cho phương trình: sin cos 1x m x+ = 
 1. Giải phương trình khi 3m = − . 
 2. Định m để phương trình trên vô nghiệm. 
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI 
THEO SINu VÀ COSu 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 2 2sin x 3 sinxcosx – 4cos x 0+ = 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 8 
 2. 2 23sin x 8sinxcosx ( 8 3  9)cos x 0+ + − = 
 3. 2 24sin x 3 sin2x – 2cos x 4+ = 
 4. 2 22sin x – 5sinx.cosx – cos x 2= − 
 5. 2 24sin 3 3 sin 2cos 4
2 2
x xx+ − = 
 6. 2 22sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 3x x x x+ + + = + 
 7. 3 2 3sin 2sin cos 3cos 0x x x x+ − = 
 8. 3 2 34sin 3sin cos sin cos 0x x x x x+ − − = 
 9. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − 
 10. 22 tan cot 3
s in2
x x
x
+ = + 
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 1. 2 2sin 2s in2 3 cos 2m x x m x+ + = 
 2. 2 2sin s in2 ( 1)cos 0x m x m x− − + = 
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 2(sin cos ) 3sin cos 2 0x x x x+ + + = 
 2. ( ) 3 sinx cosx 2sin2x 3 0+ + + = 
 3. ( )sin2x –12 sinx –cosx 12= − 
 4. ( )2 cosx sinx 4sinxcosx 1+ = + 
 5. cosx –sinx –2sin2x –1 0= 
 6. (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2 0x x x x+ + − − − = 
 7. 3 3sin cos 1 sin cosx x x x+ = − 
 8. 3 3sin cos 2(sin cos ) 1x x x x+ = + − 
 9. tan cot 2(sin cos )x x x x+ = + 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 57
3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng 
minh rằng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC). 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABD và ACD cùng vuông 
góc với mặt BCD. Gọi DE ,BK là đường cao tam giác BCD và 
BF là đường cao tam giác ABC 
1. Chứng minh : AD ⊥ (BCD) 
2. Chứng minh : (ADE) ⊥ (ABC) 
3. Chứng minh : (BKF) ⊥ (ABC) 
4. Chứng minh : (ACD) ⊥ (BKF) 
5. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và 
ABC chứng minh : OH ⊥ (ABC) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
a. SA= SB= SC=a. Chứng minh : 
1. (ABCD) ⊥ (SBD) 
2. Tam giác SBD là tam giác vuông. 
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của cạnh 
BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn SD = 6
2
a 
vuông góc với (ABC). Chứng minh: 
1. (SAB) ⊥ (SAC). 
2. (SBC) ⊥ (SAD). 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam 
giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC = 2a . Gọi 
O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB. 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 56 
3. Tính góc [(SMC), (ABC)]. 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA = 2a . SA 
⊥ (ABCD). Tính góc giữa các mặt phẳng. 
1. (SBC) và (ABC). 
2. (SAB) và (SCB). 
3. (SCB) và (SCD). 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm 
O, cạnh a qABC = 600, SO ⊥ (ABCD) và SO = 3
4
a . Tính số đo 
nhị diện cạnh AB. 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a, tâm O, SA ⊥ (ABCD) và SA = x (x>0). 
1. Tính sđ [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a để số đo nhị 
diện trên bằng 600. 
2. Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a để số đo nhị 
diện trên bằng 1200 
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA 
⊥ (ABCD). 
1. Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD). 
2. Chứng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC). 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 9
 10. cos2sin cos
1 s in2
xx x
x
+ = − 
Bài 2. Định m để phương trình sau có nghiệm: 
 1. sin cos 1 s in2x x m x+ = + 
 2. 2s in2 2 2 (sin cos ) 1 6 0x m x x m− + + − = 
DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU 
MỰC 
Bài tập. Giải các phương trình sau: 
 1. sin .s in2 1x x = − 
 2. 2 1007cos 8sin 8x x+ = 
 3. sin cos 2(2 s in3 )x x x+ = − 
 4. 3 3 4sin cos 2 s inx x x+ = − 
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
 1. 2(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + 
 2. 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x− − = 
 3. 3sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )x x x x x x+ + = + 
 4. (1 2sin ) osx 3
(1 2sin )(1 s inx)
x c
x
− =+ − 
 5. sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− = 
 6. 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cosx x x x+ + = + 
 7. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − 
 8. 1 1 74sin( )3sin 4sin( )
2
x
x x
π
π+ = −−
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 10 
 9. 2(sin cos ) 3 cos 2
2 2
x x x+ + = 
 10. 22sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = 
 11. 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + 
 12. cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − = 
 13. cot sin (1 tan tan ) 4
2
xx x x+ + = 
 14. 
6 62(cos sin ) sin cos 0
2 2sin
x x x x
x
+ − =− 
 15. 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
π π+ + − − − =x x x x 
 16. 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = 
 17. 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x− = 
 18. 25sin 2 3(1 sin ) tanx x x− = − 
 19. (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x− + = − 
 20. 2cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 55
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm 
trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của 
AB. 
1. Chứng minh: SI (ABCD)⊥ và tính góc giữa SC và 
(ABCD). 
2. Gọi J là trung điểm CD. Chứng tỏ: (SIJ) (ABCD)⊥ . Tính 
góc hợp bởi SI và (SDC). 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm 
O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính: 
1. [SAB, (SCD)]. 
2. [SAB, (SBC)]. 
3. [SAB, (SAC)]. 
4. [SCD, (ABCD)]. 
5. [SBC, (SCD)]. 
6. sđ [S, BC, A]. 
7. sđ[C, SA, D]. 
8. sđ[A, SB, D]. 
9. sđ[B, SC, A]. 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông 
tại B, AB = 2a, BC = 3a , SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M là 
trung điểm của AB. 
1. Tính góc [(SBC), (ABC)]. 
2. Tính đường cao AK của ∆ AMC. 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 54 
 4. Gọi d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm 
K của BC tìm d ∩ (α ). 
- GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG 
- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N lần lượt là trung điểm của 
SA và BC, biết n 0( ,( )) 60MN ABCD = . 
1. Tính MN và SO. 
2. Tính góc giữa MN và mp(BCD). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a. SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: 
1. SC và (ABCD) 
2. SC và (SAB) 
3. SC và (SBD) 
4. SB và (SAC) 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) và AB = 3a , 
BCD là tam giác đều cạnh a. Tính góc giữa: 
1. AC và (BCD). 
2. AD và (BCD). 
3. AD và (ABC). 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 11
Chương II. TÔ HỢP – XÁC SUẤT 
PHẦN 1. HOÁN VN - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
Bài 1. Có 25 đội bóng tham gia thi đấu, cứ 2 đội thì đá với nhau 
2 trận ( đi và về). Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu? 
Bài 2. 
1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số 
tự nhiên có 5 chữ số? 
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao 
nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số và là số chẵn? 
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau 
và chia hết cho 5? 
Bài 3. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ 
tịch, 1 phó chủ tịch, 1 thư kí. Hỏi có mấy cách nếu không ai 
được kiêm nhiệm? 
Bài 4. Trong một tuần, An định mỗi tối đi thăm 1 người bạn 
trong số 10 người bạn của mình. Hỏi An có thể lặp được bao 
nhiêu kế hoạch thăm bạn nếu: 
1. Có thể thăm 1 bạn nhiều lần? 
2. Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần? 
Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc? 
Bài 6. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B,C,D,E vào một ghế dài 
5 chỗ nếu: 
1. Bạn C ngồi chính giữa. 
2. Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế. 
Bài 7. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể thiết lập được bao nhiêu 
số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh 
nhau? 
Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4 
sách Hóa khác nhau.Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao 
cho các sách cùng môn kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách? 
Bài 9. Giải : 
1. P2.x2 – P3.x = 8 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 12 
2. 1
1
1
6
x x
x
P P
P
−
+
− = 
3. 
12
4 15
. −+
+ <
nnn
n
PPP
P
Bài 10. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao 
nhiêu cách? 
Bài 11. Từ tập hợp { }X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có thể lập được 
mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. 
Bài 12. Có 10 quyển sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau. 
Cần chọn ra 3 quyển sách và 3 cây bút để tặng cho 3 học sinh, 
mỗi em được tặng 1 quyển sách và 1 cây bút. Có mấy cách? 
Bài 13. Giải: 
1. 2 2x 2x2A +50=A , x N∈ 
2. 3 25n nA A+ = 2(n + 15) 
3. 2 223 42 0.n nA A− + = 
4. 2 22 6 12n n n nP A P A+ − = 
5. 10 9 89 .x x xA A A+ = 
6. 
4
2
2 1
143 0
4
n
n n
A
P P
+
+ −
− < 
7. 
4
4 15
( 2)! ( 1)!
nA
n n
+ <+ − 
Bài 14. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có 
bao nhiêu cách? 
Bài 15. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho 
trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách? 
Bài 16. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung 
bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra 
sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể 
lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 53
1. Xác định mặt phẳng α 
2. Tính diện tích của thiết diện của tứ giác với mặt phẳng α 
Bài 12. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là 
trung điểm của AH. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại 
O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt 
AI = x (a<x<2a), ( α ) là mặt phẳng qua I và vuông góc với OH 
1. Xác định (α ) 
2. Tìm thiết diện của tứ diện SABC và α 
3. Tính diện tích cua thiết diên theo a và x 
Bài 14. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là 2 tam 
giác đều cạnh a và SA = 3
2
a . Lấy điểm M thuộc AB và AM = 
x (0<x<a).gọi (α ) là mặt phẳng qua M và vuông góc vói BC, D 
là trung điểm của BC 
1. Chứng minh: (α ) // (SAD) 
2. Tìm thiết diện của tứ diện SABC và (α ) 
3. Tính diện tích của thiết diện theo a và x 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại B, 
AB = BC =2a. Cạnh SA ⊥ (ABC) và SA =a 2 
1. Chứng minh các mặt của hình chóp là các tam giac vuông 
2. Gọi (α ) là mặt phẳng trung trực của cạnh SB. Tìm thiết 
diện của hình chóp với (α ) 
3. Tính diện tích của thiết diện 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 52 
5. Tam giác ABC là tam giác nhọn các góc của tam giác đều 
nhọn. 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đều cạnh a, SA 
⊥ (ABC). Gọi O là trực tâm tam giác ABC, H là trực tâm tam 
giác SBC, I là trung điểm của BC . 
1. Chứng minh: BC ⊥ (SAI) và CO ⊥ (SAB). 
2. Chứng minh: H = h/c O/(SBC). 
3. Gọi N = OH ∩ SA. Chứng minh : SB ⊥ CN và SC ⊥ 
BN 
Bài 9. Cho tứ diện S.ABC có SA⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt 
là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh: 
1. AH, SK, BC đồng quy 
2. SC ⊥ (BHK) 
3. HK⊥ (SBC) 
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, 
AB =a,SA ⊥ (ABC) và SA =a 3 . Lấy điểm M tùy ý thuộc 
cạnh AB với AM =x (0<x<a). Gọi α là mặt phẳng qua M và 
vuông góc với AB 
1. Tìm thiết diện của tứ diện và α 
2. Tính diện tích của thiết diện theo a và x 
Bài 11. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, 
AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a. Gọi α là mặt phẳng qua trung 
điểm M của AB và vuông góc vói SB 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 13
Bài 17. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong 
đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch 
hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. 
Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có 
nữ ? 
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 
12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học 
sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao 
cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. 
Bài 19. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi 
trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao 
cho không có đủ 3 màu. 
Bài 20. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 
học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn khác nhau. 
 1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ. 
 2. Nếu phải chọn tuỳ ý. 
Bài 21. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta 
muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư rồi dán 3 tem thư vào 3 bì 
thư đó. Có bao nhiêu cách ? 
Bài 22. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 
nam, 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội đó về 3 tỉnh 
miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam, 1 nữ ? 
Bài 23. Giải : 
1. 1 2 3x x x
7C +C +C = x
2
2. 3 2 2x-1 x-1 x-2
2C C = A
3
− 
3. 1 2 1
x x+1 x+4
1 1 7=
C C 6C
− 
4. 3032 22 1 <++ xx AC 
5. 106
2
1 32
2 +≤− xxxx CxAA 
Bài 24. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 14 
 1. 
10
4
1x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 2. 
123
3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
x 
 3. 
5
3
2
1x
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 4. 
7
4
3 1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
x
x 
Bài 25. Tìm số hạng thứ 31 trong khai triển 
40
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
x 
Bài 26. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 
10
3
5
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + x
x
Bài 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức 
Niu-tơn 53
1 nx
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ , biết rằng ( )
1
4 3 7 3
n n
n nC C n
+
+ +− = + . 
Bài 28. Cho biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai 
triển 2 2
3
n
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ là 97. Tìm số hạng chứa x
4. 
Bài 29. Tính tổng: 
1. 0 1 21 ... .
n
n n n nS C C C C= + + + + 
2. 0 2 42 ...n n nS C C C= + + + 
3. 1 3 53 ...n n nS C C C= + + + 
4. 0 1 2 24 2 2 ... 2 ... 2 .
k k n n
n n n n nS C C C C C= + + + + + + 
5. 0 2 2 4 45 2 2 ...
n
n nS C C C= + + + 
Bài 30. Chứng minh: 
1. nnnnnn CCCC 2.......
210 =++++ 
2. 0 2 4 2 1 3 5 2 12 2 2 2 2 2 2 2... ...
n n
n n n n n n n nC C C C C C C C
−+ + + + + = + + + + + +
3. 0 1 2 26 6 ... 6 7n n nn n n nC C C C+ + + + = 
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 51
3. Chứng minh: HK// BD OH=OK. 
4. Chứng minh: HK⊥ (SAC). 
5. Chứng minh: AI⊥ HK. 
6. Tìm mặt phẳng trung trực của đoạn BD và HK. Giải thích. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a 
SA⊥ (ABCD) và SA=a 2 . Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và 
vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt H, M, K. 
1. Chứng minh: AH⊥ SB, AK⊥ SD. 
2. Chứng minh: BD // (α ) suy ra BD // HK. 
3. Chứng minh: HK qua trọng tâm của tam giác SAC. 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. 
Biết rằng SA=SC SB=SD. Chứng minh: 
1. SO⊥ (ABCD). 
2. AC⊥ SD 
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB⊥ BD và 
AC⊥ BD thì AD⊥ BC. 
Bài 7. Cho tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC). Chứng 
minh: 
1. OA⊥ BC, OB⊥ CA, OC⊥ AB. 
2. BC⊥ (OAH), AB⊥ (OCH) 
3. H là trực tâm của tam giác ABC 
4. 2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + + 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 
 50 
1. Xác định góc giữa các cặp vectơ: ' 'AB vaø A C
JJJG JJJJJG
; 
' 'AB vaø A D
JJJG JJJJJG
; 'AC vaø BD
JJJJG JJJG
. 
2. Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: ' 'AB vaø A C
JJJG JJJJJG
; 
' 'AB vaø A D
JJJG JJJJJG
; 'AC vaø BD
JJJJG JJJG
. 
- ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
- HA