Bài tập Toán 8 – Tập 3 Phần I: Đại số

Chöông III: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN
š&›
Toùm taét lyù thuyeát
Hai phöông trình goïi laø töông ñöông vôùi nhau khi chuùng coù chung taäp hôïp nghieäm. Khi noùi hai phöông trình töông ñöông vôùi nhau ta phaûi chuù yù raèng caùc phöông trình ñoù ñöôïc xeùt treân taäp hôïp soá naøo, coù khi treân taäp naøy thì töông ñöông nhöng treân taäp khaùc thì laïi khoâng.
Phöông trình baäc nhaát moät aån laø phöông trình coù daïng ax + b = 0 (a ¹ 0). Thoâng thöôøng ñeå giaûi phöông trình naøy ta chuyeån nhöõng ñôn thöùc coù chöùa bieán veà moät veá, nhöõng ñôn thöùc khoâng chöùa bieán veà moät veá.
Phöông trình quy veà phöông trình baäc nhaát
Duøng caùc pheùp bieán ñoåi nhö: nhaân ña thöùc, quy ñoàng maãu soá, chuyeån veá…ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng ax + b = 0.
Phöông trình tích laø nhöõng phöông trình sau khi bieán ñoåi coù daïng:
A(x) . B(x) = 0 Û A(x) = 0 hoaëc B(x) = 0
Phöông trình chöùa aån ôû maãu: ngoaøi nhöõng phöông trình coù caùch giaûi ñaëc bieät, ña soá caùc phöông trình ñeàu giaûi theo caùc böôùc sau:
Tìm ñieàu kieän xaùc ñònh (ÑKXÑ).
Quy ñoàng maãu thöùc vaø boû maãu.
Giaûi phöông trình sau khi boû maãu.
Kieåm tra xem caùc nghieäm vöøa tìm ñöôïc coù thoûa ÑKXÑ khoâng. Chuù yù chæ roõ nghieäm naøo thoûa, nghieäm naøo khoâng thoûa.
Keát luaän soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø nhöõng giaù trò thoûa ÑKXÑ.
Giaûi toaùn baèng caùch laäp phöông trình:
Böôùc 1: Laäp phöông trình:
Choïn aån soá vaø ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån soá.
Bieåu dieãn caùc ñaïi löôïng chöa bieát theo aån vaø caùc ñaïi löôïng ñaõ bieát.
Laäp phöông trình beåu thò moái quan heä giöõa caùc ñaïn löôïng.
Böôùc 2: Giaûi phöông trình.
Böôùc 3: Traû lôøi: Kieåm tra xem trong caùc nghieäm cuûa phöông trình, nghieäm naøo thoûa maõn ñieàu kieän cuûa aån, nghieäm naøo khoâng thoûa, roài keát luaän. 
Chuù yù: 
Soá coù hai, chöõ soá ñöôïc kyù hieäu laø 
Giaù trò cuûa soá ñoù laø: = 10a + b; (Ñk: 1 £ a £ 9 vaø 0 £ b £ 9, a, b Î N)
Soá coù ba, chöõ soá ñöôïc kyù hieäu laø 
= 100a + 10b + c, (Ñk: 1 £ a £ 9 vaø 0 £ b £ 9, 0 £ c £ 9; a, b, c Î N)
Toaùn chuyeån ñoäng: Quaõng ñöôøng = vaän toác x thôøi gian 
Hay S = v . t
BAØI TAÄP
Haõy chæ ra caùc phöông trình baäc nhaát trong caùc phöông trình sau:
a) 1 + x = 0	b) x + x2 = 0	c) 1 – 2t = 0	d) 3y = 0	
e) 0x – 3 = 0	f) (x2 + 1)(x – 1) = 0	g) 0,5x – 3,5x = 0	h) – 2x2 + 5x = 0 
Cho hai phöông trình: 	x2 – 5x + 6 = 0	(1)
x + (x – 2)(2x + 1) = 2.	(2)
Chöùng minh hai phöông trình coù nghieäm chung laø x = 2.
Chöùng minh: x = 3 laø nghieäm cuûa (1) nhöng khoâng laø nghieäm cuûa (2).
Hai phöông trình ñaõ cho coù töông ñöông vôùi nhau khoâng, vì sao ?
Giaûi caùc phöông trình sau:
1.	a) 7x + 12 = 0	b) 5x – 2 = 0	c) 12 – 6x = 0	d) – 2x + 14 = 0
2.	a) 3x + 1 = 7x – 11	b) 2x + x + 12 = 0	c) x – 5 = 3 – x 	d) 7 – 3x = 9 – x 
	e) 5 – 3x = 6x + 7	f) 11 – 2x = x – 1	g) 15 – 8x = 9 – 5x	h) 3 + 2x = 5 + 2x
3.	a) 0,25x + 1,5 = 0	b) 6,36 – 5,2x = 0	c) 	d) 
Chöùng toû raèng caùc phöông trình sau ñaây voâ nghieäm:
	a) 2(x + 1) = 3 + 2x	b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0	c) | x | = –1 	d) x2 + 1 = 0
Giaûi caùc phöông trình sau, vieát soá gaàn ñuùng cuûa nghieäm ôû daïng soá thaäp phaân baèng caùch laøm troøn ñeán haøng phaàn traêm:
a) 3x – 11 = 0	b) 12 + 7x = 0	c) 10 – 4x = 2x – 3 	e) 5x + 3 = 2 – x 
Xeùt tính töông ñöông cuûa caùc phöông trình: 
(1 – x)(x + 2) = 0 	(1)
(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0 	(2)
(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0 	(3)
Khi 	a) AÅn soá x chæ nhaän nhöõng giaù trò treân taäp N. 
	b) AÅn soá x chæ nhaän nhöõng giaù trò treân taäp Z.
	c) AÅn soá x chæ nhaän nhöõng giaù trò treân taäp Q.
	d) AÅn soá x chæ nhaän nhöõng giaù trò treân taäp R.
Trong caùc caëp phöông trình sau haõy chæ ra caùc caëp phöông trình töông ñöông, khoâng töông ñöông. Vì sao ?
a) 3x + 2 = 1 	vaø 	x + 1 = 
b) x + 2 = 0	vaø 	(x + 2)(x – 1) = 0
c) x + 2 = 0	vaø 	(x + 2)(x2 + 1) = 0 
d) x2 – 4 + 	vaø	x2 – 4 = 0	
e) 2x + 3 = x + 5	vaø	2x + 3 + = x + 5 + 
f) 2x + 3 = x + 5	vaø	2x + 3 + = x + 5 + 
g) x + 7 = 9	vaø	x2 + x + 7 = 9 + x2
h) (x + 3)3 = 9(x + 3)	vaø	(x + 3)3 – 9(x + 3) = 0 
i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0 	vaø	x2 – 15x + 56 = 0
j) 2x – 1 = 3	vaø	x(2x – 1) = 3x

Tìm giaù trò cuûa k sao cho:
Phöông trình: 2x + k = x – 1 	coù nghieäm x = – 2. 
Phöông trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40 	coù nghieäm x = 2 
Phöông trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k) 	coù nghieäm x = 1
Phöông trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80	coù nghieäm x = 2
Tìm caùc giaù trò cuûa m, a vaø b ñeå caùc caëp phöông trình sau ñaây töông ñöông:
mx2 – (m + 1)x + 1 = 0	vaø	(x – 1)(2x – 1) = 0
(x – 3)(ax + 2) = 0	vaø	(2x + b)(x + 1) = 0
Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 	a)	3x – 2 = 2x – 3	b)	3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
	c)	7 – 2x = 22 – 3x	d)	8x – 3 = 5x + 12
	e)	x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1	f)	x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5
	g)	11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x	h)	4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x
2.	a)	5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)	b)	2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4) 
	c)	7 – (2x + 4) = – (x + 4)	d)	(x – 2)3 + (3x – 1)(3x + 1) = (x + 1)3
	e)	(x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)	f)	(x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2)
	g)	(x – 1) – (2x – 1) = 9 – x	h)	(x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2	
	i) 	x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1	j)	(x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1) 
3.	a)	1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)	b)	3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) 
	c)	2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x 	d) 	0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
	e)	3 + 2,25x +2,6 = 2x + 5 + 0,4x	f)	5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
4. 	a)	b) 	
	c)	d) 	
	e)	f) 	
	g)	h) 	
	i) 	k) 	
	m) 	n) 	
	p) 	q) 	
	r) 	s) 	
	t) 	u) 	
	v)	w)	
5.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
Tìm giaù trò cuûa x sao cho caùc bieåu thöùc A vaø B cho sau ñaây coù giaù trò baèng nhau:
A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)	vaø	B = (x – 4)2
A = (x + 2)(x – 2) + 3x2	vaø 	B = (2x + 1)2 + 2x
A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x	vaø 	B = x(x – 1)(x + 1)
A = (x + 1)3 – (x – 2)3	vaø	B = (3x –1)(3x +1).
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 	b) 
c) 
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 	b) 
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 
j) 
(Ñeà thi Hoïc sinh gioûi lôùp 8 toaøn quoác naêm 1978)
Tìm ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa caùc phöông trình sau:
	a)	3x2 – 2x = 0	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
Giaûi caùc phöông trình sau:
1.	a) 	b)	c)	
	d)	e)	f)	
	g)	h)	
2.	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f)	
	i)	j)	
3.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f) 	
	g)	h) 	
	i)	j) 	
	k)	l) 	
	m)	n)	
	o)	p)	
4.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
Giaûi caùc phöông trình sau:
	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
	k)	l)	
	m) 	n)	
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm caùc giaù trò cuûa a sao cho moãi bieåu thöùc sau coù giaù trò baèng 2.
	a)	b)	
	c)	d)	
Tìm x sao cho giaù trò cuûa hai bieåu thöùc vaø baèng nhau.
Tìm y sao cho giaù trò cuûa hai bieåu thöùc vaø baèng nhau.
Cho phöông trình (aån x): 
Giaûi phöông trình vôùi a = – 3.
Giaûi phöông trình vôùi a = 1.
Giaûi phöông trình vôùi a = 0.
Tìm caùc giaù trò cuûa a sao cho phöông trình nhaän x = laøm nghieäm.
Giaûi caùc phöông trình sau:
1.	a)	(3x – 2)(4x + 5) = 0	b)	(2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0
c)	(4x + 2)(x2 + 1) = 0 	d)	(2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
e)	(x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0	f)	(4x – 10)(24 + 5x) = 0
g)	(3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0	h)	(5x + 2)(x – 7) = 0
i)	15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0	j)	(x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0
k)	(3x – 2) = 0	l)	(3,3 – 11x)= 0
2.	a)	(3x + 2)(x2 – 1) = (9x2 – 4)(x + 1)	b)	x(x + 3)(x – 3) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
c)	2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0	d)	(3x – 1)(x2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10)
e)	(x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4	f)	x(2x – 7) – 4x + 14 = 0 
g)	3x – 15 = 2x(x – 5)	h)	(2x + 1)(3x – 2) = (5x – 8)(2x + 1)
i)	0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)	j)	(2x2 + 1)(4x – 3) = (x – 12)(2x2 + 1)	
k)	x(2x – 9) = 3x(x – 5)	l)	(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
m)	2x(x – 1) = x2 - 1	n) 	(2 – 3x)(x + 11) = (3x – 2)(2 – 5x)	
o)	p)	
q)	r)	
s)	(x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33)
3.	a)	(2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0	b)	(3x2 + 10x – 8)2 = (5x2 – 2x + 10)2 
c)	(x2 – 2x + 1) – 4 = 0 	d)	4x2 + 4x + 1 = x2
e)	(x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2	f)	(x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0
g)	9(x – 3)2 = 4(x + 2)2	h)	(4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2
i)	(2x – 1)2 = 49	j)	(5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0
k)	(2x + 7)2 = 9(x + 2)2	l)	4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2
m)	(x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0	n)	(5x2 – 2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2
o)	p)	
q)	r)	
4.	a)	3x2 + 2x – 1 = 0	b)	x2 – 5x + 6 = 0
c)	x2 – 3x + 2 = 0	d)	2x2 – 6x + 1 = 0
e)	4x2 – 12x + 5 = 0	f)	2x2 + 5x + 3 = 0
g)	x2 + x – 2 = 0	h)	x2 – 4x + 3 = 0
i)	2x2 + 5x – 3 = 0	j)	x2 + 6x – 16 = 0
5.	a)	3x2 + 12x – 66 = 0	b)	9x2 – 30x + 225 = 0
c)	x2 + 3x – 10 = 0	d)	3x2 – 7x + 1 = 0
e)	3x2 – 7x + 8 = 0	f)	4x2 – 12x + 9 = 0
g)	3x2 + 7x + 2 = 0	h)	x2 – 4x + 1 = 0
i)	2x2 – 6x + 1 = 0	j)	3x2 + 4x – 4 = 0
6.	a)	(x – ) + 3(x2 – 2) = 0	b)	x2 – 5 = (2x – )(x + ) 
7.	a)	2x3 + 5x2 – 3x = 0	b)	2x3 + 6x2 = x2 + 3x
c)	x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4	d)	(x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0
e)	x3 + 1 = x(x + 1)	f)	x3 + x2 + x + 1 = 0 
g)	x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0	h)	x3 – 7x + 6 = 0
i)	x6 – x2 = 0	j)	x3 – 12 = 13x
k)	– x5 + 4x4 = – 12x3	l)	x3 = 4x
Cho phöông trình (aån x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
	a) Giaûi phöông trình vôùi k = 0	b) Giaûi phöông trình vôùi k = – 3 
	c) Tìm caùc giaù trò cuûa k ñeå phöông trình nhaän x = – 2 laøm nghieäm. 
Cho phöông trình (aån x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0
Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù moät nghieäm x = 1.
Vôùi giaù trò m vöøa tìm ñöôïc, tìm caùc nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình. 
Cho phöông trình (aån x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
Xaùc ñònh a ñeå phöông trình coù moät nghieäm x = – 2.
Vôùi giaù trò a vöøa tìm ñöôïc, tìm caùc nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình. 
Cho bieåu thöùc hai bieán: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)
Tìm caùc giaù trò cuûa y sao cho phöông trình (aån x) f(x, y) = 0 nhaän x = – 3 laøm nghieäm.
Tìm caùc giaù trò cuûa x sao cho phöông trình (aån y) f(x, y) = 0 nhaän y = 2 laøm nghieäm.
Cho 2 bieåu thöùc: vaø .
Haõy tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå hai bieåu thöùc aáy coù giaù trò thoûa maõn heä thöùc:
	a) 2A + 3B = 0	b) AB = A + B
Duøng maùy tính boû tuùi ñeå tính giaù trò gaàn ñuùng caùc nghieäm phöông trình sau, laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù ba.
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Baøi toaùn coå: “ Ngöïa vaø La ñi caïnh nhau caøng chôû vaät naëng treân löng. Ngöïa than thôû veà haønh lyù quaù naëng cuûa mình. La ñaùp: “Caäu than thôû noãi gì ? Neáu toâi laáy cuûa caäu moät bao thì haønh lyù cuûa toâi naëng gaáp ñoâi cuûa caäu. Coøn neáu caäu laáy cuûa toâi moät bao thì haønh lyù cuûa caäu môùi baèng cuûa toâi”. Hoûi Ngöïa vaø La moãi con mang bao ngheâu bao ? 
Naêm 1999, boá 39 tuoåi, con 9 tuoåi. Hoûi naêm naøo thì tuoåi boá gaáp 3 laàn tuoåi con ? 
Naêm nay, tuoåi meï gaáp 3 laàn tuoåi Phöông. Phöông tính raèng 13 naêm nöõa thì tuoåi meï chæ coøn gaáp 2 laàn tuoåi cuûa Phöông thoâi. Hoûi naêm nay Phöông bao nhieâu tuoåi ? 
OÂng cuûa Bình hôn Bình 58 tuoåi. Neáu coäng tuoåi cuûa boá Bình vaø hai laàn tuoåi cuûa Bình thì baèng tuoåi cuûa oâng vaø toång soá tuoåi cuûa caû ba ngöôøi laø 130. Haõy tính tuoåi cuûa Bình.
An hoûi Bình: “Naêm nay cha meï cuûa anh bao nhieâu tuoåi ?” Bình traû lôøi: “Cha toâi hôn meï toâi 4 tuoåi. Tröôùc ñaây khi toång soá tuoåi cuûa boá vaø meï toâi laø 104 tuoåi thì tuoåi cuûa 3 anh em chuùng toâi laø 14, 10 vaø 6. Hieän nay toång soá tuoåi cuûa cha meï toâi gaáp 2 laàn toång soá tuoåi cuûa 3 anh em chuùng toâi”. Tính xem tuoåi cuûa cha vaø meï Bình laø bao nhieâu ? 
Tìm hai soá, bieát toång cuûa hai soá baèng 65 vaø hieäu cuûa chuùng laø 11.
Tìm hai soá, bieát toång cuûa hai soá baèng 75 vaø soá naøy gaáp ñoâi soá kia.
Moät soá töï nhieân leû coù hai chöõ soá vaø chia heát cho 5. Hieäu cuûa soá ñoù vaø chöõ soá haøng chuïc cuûa noù baèng 68. Tìm soá ñoù.
Tìm moät phaân soá coù töû nhoû hôn maãu 22 ñôn vò, bieát raèng neáu theâm 5 ñôn vò vaøo töû vaø bôùt 2 ñôn vò ôû maãu thì ñöôïc phaân soá môùi baèng phaân soá . Tìm phaân soá ñaõ cho.
Tìm moät phaân soá coù töû nhoû hôn maãu 11 ñôn vò, bieát raèng neáu theâm 3 ñôn vò vaøo töû vaø bôùt 4 ñôn vò ôû maãu thì ñöôïc phaân soá môùi baèng phaân soá . Tìm phaân soá ñaõ cho.
Maãu soá cuûa moät phaân soá lôùn hôn töû soá cuûa noù laø 3 ñôn vò. Neáu taêng caû töû vaø maãu cuûa noù theâm 2 ñôn vò thì ñöôïc phaân soá môùi baèng phaân soá .
Tìm moät phaân soá nhoû hôn 1 coù toång cuûa töû vaø maãu laø 32, bieát raèng neáu taêng maãu theâm 10 ñôn vò vaø giaûm töû ñi moät nöûa thì ñöôïc phaân soá môùi baèng phaân soá .
Tìm 2 soá nguyeân, bieát hieäu cuûa 2 soá ñoù laø 99. Neáu chia soá beù cho 3 vaø soá lôùn cho 11 thì thöông thöù nhaát hôn thöông thöù hai 7 ñôn vò. Bieát caùc pheùp chia noùi treân laø caùc pheùp chia heát.
Tìm 2 soá nguyeân, bieát tæ soá giöõa soá thöù nhaát vaø soá thöù hai baèng . Neáu chia soá thöù nhaát cho 9 vaø chia soá thöù hai cho 6 thì thöông thöù nhaát beù hôn thöông thöù hai laø 3 ñôn vò. Bieát raèng caùc pheùp chia noùi treân laø caùc pheùp chia heát.
Tìm 4 soá töï nhieân coù toång 2007. Bieát raèng neáu soá I bôùt ñi 2, soá II theâm 2, soá III chia cho 2 vaø soá IV nhaân vôùi 2 thì ñöôïc keát quaû baèng nhau. Tìm 4 soá ñoù.
Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá, bieát raèng neáu vieát theâm moät chöõ soá 2 vaøo beân traùi vaø moät chöõ soá 2 vaøo beân phaûi soá ñoù thì ta ñöôïc moät soá lôùn gaáp 153 laàn soá ban ñaàu.
Tìm moät soá coù hai chöõ soá. Bieát toång hai chöõ soá laø 10 vaø neáu ñoåi choã hai chöõ soá cho nhau thì ñöôïc moät soá môùi lôùn hôn soá caàn tìm laø 18 ñôn vò.
Tìm moät soá coù hai chöõ soá. Neáu theâm chöõ soá 5 vaøo beân traùi soá ñoù thì ñöôïc moät soá lôùn hôn 153 ñôn vò so vôùi khi theâm chöõ soá 5 ôû beân phaûi soá ñoù.
Tìm moät soá coù hai chöõ soá. Chöõ soá haøng ñôn vò gaáp 2 laàn chöõ soá haøng chuïc. Neáu vieát theâm chöõ soá 1 vaøo giöõa hai chöõ soá thì ñöôïc soá môùi lôùn hôn soá ñaõ cho 370 ñôn vò.
Chu vi moät mieáng ñaát hình chöõ nhaät coù chu vi baèng 80m. Neáu giaûm chieàu roäng 3m vaø taêng chieàu daøi 8m thì dieän tích taêng theâm 32m2. Tính kích thöôùc mieáng ñaát. 
Chu vi moät mieáng ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi baèng chieàu roäng. Neáu giaûm moãi chieàu ñi 4m thì dieän tích taêng theâm 164m2. Tính kích thöôùc mieáng ñaát. 
Thuøng thöù nhaát chöùa 60 goùi keïo, thuøng thöù hai chöùa 80 goùi keïo. Ngöôøi ta laáy ra töø thuøng thöù hai soá goùi keïo nhieàu gaáp ba laàn soá goùi keïo laáy ra töø thuøng thöù nhaát. Hoûi coù bao nhieâu goùi keïo ñöôïc laáy ra töø thuøng thöù nhaát, bieát raèng soá goùi keïo coøn laïi trong thuøng thöù nhaát nhieàu gaáp hai laàn soá goùi keïo coøn laïi trong thuøng thöù hai ?
Hoïc kì I, soá hoïc sinh gioûi cuûa lôùp 8A baèng soá hoïc sinh caû lôùp. Sang hoïc kì II, coù theâm 3 baïn phaán ñaáu trôû thaønh hoïc sinh gioûi nöõa, do ñoù soá hoïc sinh gioûi baèng 20% soá hoïc sinh caû lôùp. Hoûi lôùp 8A coù bao nhieâu hoïc sinh ? 
Trong moâït buoåi lao ñoäng, lôùp 8A goàm 40 hoïc sinh chia thaønh hai toáp: toáp thöù nhaát troàng caây vaø toáp thöù hai laøm veä sinh. Toáp troàng caây ñoâng hôn toáp laøm veä sinh laø 8 ngöôøi. Hoûi toáp troàng caây coù bao nhieâu hoïc sinh ?
Hai chieác oâtoâ khôûi haønh töø hai tænh A vaø B, ngöôïc chieàu nhau. Chieác xe ñi töø A coù vaän toác 40km/h, chieác xe ñi töø B vôùi vaän toác 30km/h. Neáu chieác xe ñi töø B khôûi haønh sôùm hôn chieác xe ñi töø A laø 6 giôø thì 2 xe gaëp nhau ôû ñòa ñieåm caùch ñeàu A vaø B. Tìm quaõng ñöôøng AB ? 
Moät oâtoâ ñi töø Haø Noäi ñeán Thanh Hoùa vôùi vaän toác 40km/h. Sau 2 giôø nghæ laïi ôû Thanh hoùa, oâtoâ laïi töø Thanh Hoùa veà Haø Noäi vôùi vaän toác 30km/h. toång thôøi gian caû ñi laãn veà laø 10 giôø 45 phuùt (keå caû thôøi gian nghæ). Tính quaõng ñöôøng Haø Noäi – Thanh Hoùa.
Moät oâtoâ phaûi ñi quaõng ñöôøng AB daøi 60km trong moät thôøi gian nhaát ñònh. OÂtoâ ñi nöûa ñaàu quaõng ñöôøng vôùi vaän toác hôn döï ñònh 10km/h vaø ñi nöûa sau quaõng ñöôøng vôùi vaän toác keùm hôn döï ñònh 6km/h. Bieát oâtoâ ñeán B ñuùng thôøi gian ñaõ ñònh. Tính thôøi gian oâtoâ döï ñònh ñi quaõng ñöôøng AB.
Hai oâtoâ khôûi haønh cuøng moät luùc töø A ñeán B. Vaän toác oâtoâ I baèng vaän toác oâtoâ II. Neáu oâtoâ I taêng vaän toác 5km/h, coøn oâtoâ II giaûm vaän toác 5km/h thì sau 5 giôø quaõng ñöôøng oâtoâ I ñi ñöôïc ngaén hôn quaõng ñöôøng oâtoâ II ñaõ ñi laø 25km. Tính vaän toác cuûa moãi oâtoâ.
Moät oâtoâ ñi töø Haø Noäi luùc 8 giôø saùng, döï kieán ñeán Haûi Phoøng vaøo luùc 10 giôø 30 phuùt. Nhöng moãi giôø oâtoâ ñi chaäm hôn so vôùi döï kieán laø 10km neân maõi ñeán 11 giôø 20 phuùt xe môùi tôùi Haûi Phoøng. Tính quaõng ñöôøng Haø Noäi – Haûi Phoøng. 
Hai ngöôøi cuøng khôûi haønh moät luùc töø A ñeán B daøi 60 km. Vaän toác ngöôøi I laø 12km/h, vaän toác ngöôøi II laø 15km/h. Hoûi sau luùc khôûi haønh bao laâu thì ngöôøi I caùch B moät quaõng ñöôøng gaáp ñoâi khoaûng caùch töø ngöôøi II ñeán B ?
Moät taøu chôû haøng töø ga Vinh ñi Haø Noäi, sau ñoù 1,5 giôø, moät taøu chôû khaùch xuaát phaùt töø ga Haø Noäi ñi Vinh vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác taøu chôû haøng laø 7km/h. Khi taøu khaùch ñi ñöôïc 4 giôø thì noù coøn caùch taøu haøng laø 25km. Tính vaän toác moãi taøu, bieát raèng hai ga caùch nhau 319km.
Moät ñoaøn taøu hoûa töø Haø Noäi ñi Tp. Hoà Chí Minh. 1 giôø 48 phuùt sau, moät ñoaøn taøu khaùc khôûi haønh töø Nam Ñònh cuõng ñi Tp. Hoà Chí Minh vôùi vaän toác nhoû hôn vaän toác cuûa ñoaøn taøu thöù nhaát laø 5km/h. Hai ñoaøn taøu gaëp nhau (taïi moät ga naøo ñoù) sau 4 giôø 48 phuùt keå töø luùc ñoaøn taøu thöù nhaát khôûi haønh. Tính vaän toác moãi ñoaøn taøu, bieát raèng ga Nam Ñònh naèm treân ñöôøng töø Haø Noäi ñi Tp. Hoà Chí Minh vaø caùch ga Haø Noäi laø 87km.
OÂtoâ I ñi töø A ñeán B. Nöûa giôø sau, oâtoâ II ñi töø B ñeán A vôùi vaän toác gaáp röôõi vaän toác oâtoâ I. Sau ñoù 45 phuùt hai oâtoâ gaëp nhau. Tính vaän toác cuûa moãi oâtoâ, bieát quaõng ñöôøng AB daøi 95km.
OÂtoâ I ñi töø tænh A ñeán tænh B vôùi vaän toác 40km/h. Sau ñoù 1 giôø, oâtoâ II ñi töø tænh B ñeán tænh A vôùi vaän toác 65km/h. Hai oâtoâ gaëp nhau khi oâtoâ I môùi ñi ñöôïc quaõng ñöôøng AB. Tính quaõng ñöôøng AB.
Luùc 6 giôø moät oâtoâ khôûi haønh töø A. Luùc 7 giôø 30 phuùt, oâtoâ II cuõng khôûi haønh töø A vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác oâtoâ I laø 20km/h vaø gaëp oâtoâ I luùc 10 giôø 30 phuùt. Tính vaän toác moãi oâtoâ. 
Moät ngöôøi ñi xe daïp töø A ñeán B. Luùc ñaàu, treân ñoaïn ñöôøng ñaù, ngöôøi ñoù ñi vôùi vaän toác 10km/h. Treân ñoaïn ñöôøng coøn laïi laø ñöôøng nhöïa, daøi gaáp röôõi ñoaïn ñöôøng ñaù, ngöôøi ñoù ñi vôùi vaän toác 15km/h. Sau 4 giôø ngöôøi ñoù ñeán B. Tính ñoä daøi quaõng ñöôøng AB. 
Hai oâtoâ cuøng khôûi haønh töø Laïng Sôn veà Haø Noäi, quaõng ñöôøng daøi 163km. Trong 43km ñaàu, hai xe coù cuøng vaän toác. Nhöng sau ñoù chieác xe thöù nhaát taêng vaän toác leân gaáp 1,2 laàn vaän toác ban ñaàu, trong khi chieác xe thöù hai vaãn duy trì vaän toác cuõ. Do ñoù xe thöù nhaát ñaõ ñeán Haø Noäi sôùm hôn xe thöù hai 40 phuùt. Tính vaän toác ban ñaàu cuûa hai xe. 
Moät xe taûi ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác 50km/h. Ñi ñöôïc 24 phuùt thì gaëp ñöôøng xaáu neân vaän toác treân quaõng ñöôøng coøn laïi giaûm coøn 40km/h. Vì vaäy ñaõ ñeán nôi chaäm maát 18 phuùt. Tính quaõng ñöôøng AB.
Anh Nam ñi xe ñaïp tôø A ñeán B vôùi vaän toác 12km/h. Ñi ñöôïc 6km, xe ñaïp hö, anh Nam phaûi ñi baèng oâtoâ vaø ñaõ ñeán B sôùm hôn döï ñònh 45 phuùt. Tính quaõng ñöôøng AB, bieát vaän toác cuûa oâtoâ laø 30km/h. 
Hai oâtoâ khôûi haønh cuøng luùc ngöôïc chieàu nhau vaø gaëp nhau sau 4 giôø. OÂtoâ I ñi töø A vôùi vaän toác baèng vaän toác cuûa oâtoâ II ñi töø B. Hoûi moãi oâtoâ ñi caû quaõng ñöôøng AB thì maát bao laâu ?
Moät oâtoâ ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác 60km/h vaø quay töø B veà A vôùi vaän toác 40km/h. Tính vaän toác trung bình cuûa oâtoâ.
Moät oâtoâ ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác 48km/h. Nhöng sau khi ñi ñöôïc moät giôø vôùi vaän toác aáy, oâtoâ bò taøu hoûa chaén ñöôøng 10 phuùt. Do ñoù ñeå kòp ñeán B ñuùng thôøi gian ñaõ ñònh, ngöôøi ñoù phaûi taêng vaän toác theâm 6km/h. Tính quaõng ñöôøng AB.
Moät ngöôøi ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác 25km/h. Luùc veà ngöôøi ñoù ñi vôùi vaän toác 30km/h neân thôøi gian veà ít hôn thôøi gian ñi laø 20 phuùt. Tính quaõng ñöôøng AB.
Moät canoâ xuoâi doøng töø A ñeán B maát 4 giôø vaø ngöôïc doøng töø B veà A maát 5 giôø. Tìm ñoaïn ñöôøng AB, bieát vaän toác cuûa doøng nöôùc laø 2km/h. 
Luùc 7 giôø saùng, moät canoâ xuoâi doøng töø A ñeán B caùch nhau 36km, roài ngay laäp töùc quay trôû veà vaø ñeán A luùc 11 giôø 30 phuùt. Tính vaän toác cuûa canoâ khi xuoâi daøng, bieát vaän toác cuûa doøng nöôùc laø 6km/h. 
Moät ñoäi thôï moû laäp keá hoaïch khai thaùc than, theo ñoù moãi ngaøy phaûi khai thaùc ñöôïc 50 taán than. Khi thöïc hieän, moãi ngaøy ñoäi khai thaùc ñöôïc 57 taán than. Do ñoù, ñoäi khoâng nhöõng ñaõ hoaøn thaønh keá hoaïch tröôùc moät ngaøy maø coøn vöôït möùc 13 taán than. Hoûi theo keá hoaïch, ñoäi phaûi khai thaùc bao nhieâu taán than ? 
Moät xí nghieäp kyù hôïp ñoàng deät moät soá taám thaûm len trong 20 ngaøy. Do caûi tieán kó thuaät, naêng suaát deät cuûa xí nghieäp ñaõ taêng 20%. Bôûi vaäy, chæ trong 18 ngaøy, khoâng nhöõng xí nghieäp ñaõ hoaøn thaønh soá thaûm caàn deät maø coøn deät theâm ñöôïc 24 taám nöõa. Tính soá taám thaûm len maø xí nghieäp phaûi deät theo hôïp ñoàng. 
Moät ñoäi saûn xuaát döï ñònh phaûi laøm moät soá duïng cuï trong 30 ngaøy. Do moãi ngaøy ñaõ vöôït naêng suaát so vôùi döï ñònh 10 duïng cuï neân khoâng nhöõng ñaõ laøm theâm ñöôïc 20 duïng cuï maø toå ñoù coøn laøm xong tröôùc thôøi haïn 7 ngaøy. Tính soá duïng cuï maø toå saûn xuaát ñoù phaûi laøm theo keá hoaïch.
Moät ñoäi saûn xuaát döï ñònh phaûi laøm 1500 saûn phaåm trong 30 ngaøy. Do moãi ngaøy ñaõ vöôït naêng suaát so vôùi döï ñònh 15 saûn phaåm. Do ñoù ñoäi ñaõ khoâng nhöõng ñaõ laøm theâm ñöôïc 255 saûn phaåm maø coøn laøm xong tröôùc thôøi haïn. Hoûi thöïc teá ñoäi saûn xuaát ñaõ ruùt ngaén ñöôïc bao nhieâu ngaøy ?
Hai voøi nöôùc cuøng chaûy vaøo moät beå thì sau 2 giôø beå ñaày. Moãi giôø löôïng nöôùc voøi I chaûy ñöôïc baèng löôïng nöôùc chaûy ñöôïc cuûa voøi II. Hoûi moãi voøi chaûy rieâng trong bao laâu thì ñaày beå?
Moät voøi nöôùc chaûy vaøo beå khoâng coù nöôùc. Cuøng luùc ñoù, moät voøi chaûy töø beå ra. Moãi giôø löôïng nöôùc chaûy ra baèng löôïng nöôùc chaûy vaøo. Sau 5 giôø, nöôùc trong beå ñaït tôùi dung tích beå. Hoûi neáu beå khoâng coù nöôùc vaø chæ môû voøi chaûy vaøo thì trong bao laâu thì ñaày beå ?
Hai ngöôøi cuøng laøm moät coâng vieäc trong 3 giôø 20 phuùt thì xong. Neáu ngöôøi I laøm 3 giôø vaø ngöôøi II laøm 2 giôø thì taát caû ñöôïc coâng vieäc. Hoûi moãi ngöôøi laøm moät mình trong bao laâu thì xong coâng vieäc ñoù ?
Baøi toaùn coå: 	Moät ñaøn em nhoû ñöùng beân soâng
To nhoû baøn nhau chuyeän chia boøng
Moãi ngöôøi naêm quaû thöøa naêm quaû
Moãi ngöôøi saùu quaû moät ngöôøi khoâng
Hoûi ngöôøi baïn treû ñang döøng böôùc:
Coù maáy em thô, maáy quaû boøng ?
Ñaàu naêm hoïc moät toå hoïc sinh ñöôïc mua moät soá saùch vôû, phaûi traû 72.000ñ. Neáu bôùt ñi 3 ngöôøi thì moãi ngöôøi coøn laïi phaûi traû theâm 4000ñ. Hoûi toå coù bao nhieâu ngöôøi ?
(Ñeà döï bò thi vaøo lôùp 8 chuyeân toaùn Haø Noäi naêm 1981)
CAÙC ÑEÀ OÂN TAÄP
ÑEÀ 1
LYÙ THUYEÁT
Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?
Hai phöông trình voâ nghieäm thì töông ñöông nhau.
Hai ph/trình töông ñöông nhau treân taäp hôïp soá Q thì cuõng töông ñöông nhau treân taäp R.
Giaù trò cuûa soá coù hai chöõ soá laø: = 10b + a.
A(x) . B(x) ¹ 0 Û A(x) ¹ 0 hoaëc B(x) ¹ 0
Khi chuyeån chia 2 veá cuûa moät phöông trình vôùi moät bieåu thöùc coù chöùa aån thì ta ñöôïc moät phöông trình môùi töông ñöông vôùi phöông trình ñaõ cho.
Giaù trò cuûa moät phaân thöùc ñöôïc xaùc ñònh khi maãu thöùc khaùc 0 vaø töû thöùc baèng 0.
Choïn caâu ñuùng:
Moät phöông trình baäc nhaát coù theå:
Voâ nghieäm.
Luoân luoân coù moät nghieäm duy nhaát.
Coù voâ soá nghieäm.
Coù theå voâ nghieäm, coù theå coù moät nghieäm duy nhaát vaø cuõng coù theå coù voâ soá nghieäm.
Chæ coù moät nghieäm laø x = – 4. 
BAØI TAÄP
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 	– 6(1,5 – 2x) = 3(–15 + 2x)	b)	
c)	d)	
d)	(x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
Cho phöông trình: 3x2 + 7x + m = 0 coù moät trong caùc nghieäm baèng 1. Xaùc ñònh soá m vaø tìm nghieäm coøn laïi.
Tìm moät soá coù hai chöõ soá. Bieát tæ soá giöõa chöõ soá haøng ñôn vò vaø chöõ soá haøng chuïc laø . Neáu vieát theâm chöõ soá 0 vaøo giöõa hai chöõ soá thì ñöôïc soá môùi lôùn hôn soá ñaõ cho 540 ñôn vò.
ÑEÀ 2
LYÙ THUYEÁT
Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?
Hai phöông trình töông ñöông nhau thì cuøng voâ nghieäm.
Phöông trình ax = b luoân coù moät nghieäm duy nhaát laø .
Phöông trình 0x = 0 coù taäp hôïp nghieäm laø S = Æ. 
Giaù trò cuûa soá coù hai chöõ soá laø: = 10a + b. 
Khi chuyeån veá moät haïng töû töø veá naøy sang veá kia thì ta ñöôïc moät phöông trình môùi töông ñöông vôùi phöông trình ñaõ cho.
Moät phaân thöùc coù giaù trò baè