Bài tập Toán 8 – Tập 3 Phần II: Hình học

Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
š&›
Tóm tắt lý thuyết
Đoạn thẳng tỉ lệ: Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ và C’D’ 
Một số tính chất của tỉ lệ thức:




Định lý Ta-lét thuận và đảo:

Hệ quả của định lý Ta-lét





Tính chất đường phân giác trong tam giác:
AD là tia phân giác của BÂC, AE là tia phân giác của BÂx
 
Tam giác đồng dạng:
Định nghĩa: 
DA’B’C’ ~ DABC 	(k là tỉ số đồng dạng)
Tính chất: 
Gọi h, h’, p, p’, S, S’ lần lượt là chiều cao, chu vi và diện tích của 2 tam giác ABC và A’B’C’ 
;	 ;	
Các trường hợp đồng dạng:
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	Þ DA’B’C’ ~ DABC (c.c.c)
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	Þ DA’B’C’ ~ DABC (c.g.c)
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	Þ DA’B’C’ ~ DABC (g.g)
Các trường hợp đồng dạng của hai D vuông:
Cho DABC và DA’B’C’(Â = Â’ = 900) 
Þ DA’B’C’ ~ DABC (c.g.c) 
BÀI TẬP
Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:
a. AB = 9cm và CD = 27cm	b. EF = 36cm và 12dm	c. MN = 4,8m và RS = 96cm 
Cho biết và CD = 12cm. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.
Cho DABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.
a. Tính 	b. Tính 
c. Kể tên 2 cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG và GD.
Cho biết độ dài của đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài của đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’ gấp 5 lần độ dài của đoạn thẳng CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’.
Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm trong đoạn AB. Tính các tỉ số và nếu:
a. 	b. 	c. (với m, n Ỵ N*)
Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’ gấp bảy lần đoạn thẳng CD.
a. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’.
b. Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn thẳng M’N’ = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng AB, A’B’ có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và M’N’ hay không ?	
Cho 5 điểm A, B, C, D, E, theo thứ tự trên một đường thẳng. Biết AB = 6cm, BC = 9cm, CD = 4cm và . Tính AE. 
Cho DABC, B’ Ỵ AB và C’ Ỵ AC. Cho biết: . C/minh: ; 
Cho DABC có AC = 8,5cm. Lấy M, N lần lược thuộc AB và AC sao cho AM = 4cm và AN = 5cm. Biết MN // BC. Tính độ dài đoạn thẳng BM. 
Cho DDEF có DF = 24cm. Lấy P, Q lần lược thuộc DE và DF sao cho EP = 10,5cm và DQ = 9cm. Biết PQ // EF. Tính độ dài đoạn thẳng DP. 
Cho DABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết AM = 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng AN. 
Cho DPQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR lần lượt tại E và F. Biết PF = 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. 
Trên một đường thẳng, đặt 4 đoạn thẳng liên tiếp: AB = BC = 2CD = 4DE. Tính các tỉ số: ; ; ; .
Cho đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng d. Trên d lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB và điểm D nằm ngoài AB sao cho .
a. Tính ; 	b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA.
Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự trên một đường thẳng và .
a. Nếu BD = 1cm. Tính CB, DA.	b. Chứng minh: 
c. Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh: OB2 = OA . OC.
Cho DABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm. Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Tính DE. 
Cho DOPQ, có PQ = 5,2cm. Trên tia đối của tia OP lấy điểm N so cho ON = 2cm. Từ N vẽ đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ tại M. Tính độ dài đoạn thẳng OP khi MN = 3cm. 
Cho DABC, có AB = 11cm, AC = 20cm và BC = 28cm. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm P, N, M sao cho AP = 3cm, BN = , 3AM = MC. C/m: BNMP là h.b.hành.
Cho DOAB vuông tại A, có OA = 6cm. Trên tia đối của tia OA lấy điểm A’ sao cho . Từ A’ vẽ đường thẳng vuông góc với AA’ tại A’, đường thẳng này cắt OB kéo dài tại B’. Tính OB và AB, biết A’B’ = 4,2cm. 
Cho góc xÔy. Trên tia Ox lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia Oy lấy điểm C với OC = 3cm. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D.
a. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
b. Nếu OA = m, AB = n, OC = p. Tính CD theo m, n, p.
Gọi G là trọng tâm của DABC. Từ G kẻ các đường thẳng song song với 2 cạnh AB và AC, cắt BC lần lượt tại D và E. 
a. So sánh các tỉ số và .	b. So sánh 3 đoạn thẳng BD, DE, EC.
Cho DABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’ và H’.
Chứng minh: 
Cho AH’ = AH và diện tích DABC là 67,5cm2. Tính diện tích DAB’C’.
Cho DABC có AB = 7,5cm. Trên AB lấy điểm D với: .
a. Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB.
b. Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến cạnh AC. Tính .
c. Cho biết AK = 4,5cm. Tính HK.
Cho DABC có BC = a. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC.
Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF theo a.
Tính SMNFE, biết a = 15cm và SDABC = 270cm2.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Dùng định lý Talét để chứng minh: 
a. 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau.
b. AG và AF chia BD thành 2 đoạn bằng nhau.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với 2 đáy, cắt cạnh bên AD ở M và cắt cạnh BC ở N. Biết . Chứng minh: 
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lứn CD = 5,6cm.
Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD theo thứ tự là N và M. Chứng minh:
MN // AB	b. 
Cho DABC. Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.
a. Chứng minh: .
b. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC. Chứng minh: .
Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở K.
a. So sánh và 	b. Chứng minh: IA2 = IJ . IK	c. Chứng minh: 
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O.
Chứng minh: OA . OD = OB . OC
Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N. Biết . Tính . Áp dụng để chứng minh định lý: “ Trong một hình thang, đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của một đáy thì đi qua trung điểm của đáy kia”
Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. 
Chứng minh: O là trung điểm của đường thẳng PQ.
Cho tứ giác ABCD. Qua E Ỵ AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB ở H. Chứng minh:
a. HE // BD	b. AE . BH = AH . DE
Cho DABC. Điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB cắt AB, AC lần lượt tại E và F. 
a. Chứng minh: 	b. Xác định điểm D trên BC để EF // BC.
c. Nếu , chứng minh: EF song song với trung tuyến BM.
Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho: AE = 2EB, BF = FC, CG = 2CD, DH = HA. Chứng minh: EFGH là hình bình hành.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a. Chứng minh: IK // AB.
b. Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: EI = IK = KF. 
Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K. 
Chứng minh: IA2 = IJ . IK và KD . BJ không đổi. 
Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M, AB ở N. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở P. Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui.
Cho DABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE và BC. Chứng minh: tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E. 
Cho DABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và E. Chứng minh: DE = BK. 
Cho DABC cân tại A có BC = 8cm, tia phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K. Biết . Tính độ dài AB.
Cho DABC vuông tại A, CÂ = 300, kẻ phân giác BD. Tính .
Cho DABC cân tại A, phân giác BD. Biết BC = 10cm, AB = 15cm.
Tính AD, DC.
Phân giác ngoài của BÂ cắt AC ở E. Tính EC.
Cho DABC cân, có BA = BC = a, AC = b. Đườmg phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N.
Chứng minh: MN // AC.	b. Tính MN theo a, b.
Cho DABC, đường phân giác của góc  cắt BC tại D. Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm, BD = 3,5cm. Tính CD. 
Cho DMNP, đường phân giác của góc PÂ cắt MN tại Q. Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm, MN = 12,5cm. Tính QN. 
Cho DABC, p/giác góc  cắt BC tại E. Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tính EB, EC. 
Cho DABC có các đường phân giác AD, BE và CF. Chứng minh: .
Cho DABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của AMÂB cắt AB ở D, đường phân giác của AMÂC cắt AC ở E.
Chứng minh: DE // BC.
Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: DI = IE.
Cho DABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E Ỵ AC).
Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
Cho biết diện tích DABC là S, tính diện tích DABD, DADE và DDCE. 
Cho DABC vuông tại A có AB = 21cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E Ỵ AC).
Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
Tính diện tích DABD và DACD. 
Cho DABC cân tại A, phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
Tính AD, DC.
Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC. 
Cho DABC có Â = 900, AB = 12cm, AC = 16cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
Tính BC, BD, CD.
Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Cho DABC vuông tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc BC).
Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.
Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm và b = 7m,25cm. 
Cho DABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh: .
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh:
a. 	b. 	c. 
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC ở G. Chứng minh: 
a. Cho DABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích DADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của DABC là S.
b. Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích DADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích DABC.
Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, DÂ = 600. Phân giác của DÂ cắt AC tại I, chia AC theo tỉ số và cắt AB tại M. Biết MA – MB = 6cm. Tính AB, CD. 
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh: OE = OF.
Cho DABC, I là trung điểm của BC. Đường phân giác của góc AIÂB cắt AB ở M và phân giác của góc AIÂC cắt cạnh AC ở N.
Chứng minh: MN // BC.
DABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ?
Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuông ? 
Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho: . Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt MN ở K. Chứng minh: K là trung điểm của MN.
Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên một đường thẳng. 
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một điểm N sao cho DN = BM. Chứng minh: MN, DB, AC đồng qui.
Cho DABC, lấy MỴ AB, N Ỵ AC sao cho: và .
Hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ?
Cho biết chu vi và diện tích DABC lần lượt P và S. Tính chu vi và diện tích DAMN. 
Tỉ số các cạnh bé nhất của hai tam giác đồng dạng là . Tính chu vi của hai tam giác đó, biết hiệu hai chu vi của chúng bằng 42dm.
Cho DABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: . Kẻ DE // AC, DF // AB (EỴAB,FỴAC)
Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hãy viết các góc bằng nhau và các tỉ số tương ứng.
Tính chu vi DBED, biết rằng hiệu chu vi của hai DDFC và DBED là 30cm.
Cho DABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm. Tính độ dài các cạnh của DA’B’C’, biết rằng DA’B’C’ đồng dạng với DABC và:
A’B’ lớn hơn AB là 10,8cm.
A’B’ bé hơn AB là 5,4cm. 
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh rằng 3 tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau.
Cho DABC và DA’B’C’. Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ = 8cm, C’A’= 6cm.
DABC và DA’B’C’ có đồng dạng với nhau không ?
Tính tỉ số chu vi của hai D. 
Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ?
4cm, 5cm, 6cm và 8cm, 10cm, 12cm.
3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm.
1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm.
Cho DABC (Â = 900) có AB = 6cm, AC = 8cm và DA’B’C’ (Â’ = 900) có A’B’ = 9cm, B’C’ =15cm. Hỏi hai tam giác vuông đó có đồng dạng hay không ? Vì sao ? 
Cho DABC có G là trọng tâm. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của GA, GB, GC. Chứng minh: DPQR và DABC đồng dạng. 
Cho DABC có H là trực tâm. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh: DKMN và DABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng k = .
Cho DABC, điểm O nằm trong D. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC. 
Chứng minh: DDEF và DABC đồng dạng.
Tính chu vi của DDEF, biết rằng chu vi của DABC bằng 543cm.
Cho DABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm. DA’B’C’đồng dạng với DABC và có chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài các cạnh của DA’B’C’ (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai). 
Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là 12,5cm. Tính hai cạnh đó. 
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.
Tìm D đồng dạng với DADC và tìm tỉ số đồng dạng.
Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ?
Cho DABC. Dựng D đồng dạng với D đó, biết tỉ số đồng dạng k = . Có thể dựng được bao nhiêu D như thế ?
Cho DABC có AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Cho DABC có AC = 12cm, BC = 16cm. Điểm D Ỵ BC sao cho: ADÂC = BÂC. Tính DC. 
Hình thang ABCD có AB // CD, Â = CBÂD. Chứng minh: BD2 = AB . CD.
Cho DABC có 3 đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm. Chứng minh: 
a. DAHE đồng dạng với DBHD.	b. HA . HD = HB . HE = HC . HF. 
Cho DABC có Â = 2BÂ. Tính AB, biết AC = 9cm, BC = 12cm.
Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm. Chứng minh:
a. Â = DBÂC.	b. BC = 2AD.
Cho DABC có AB = 10cm, AC = 20cm. Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm. 
Chứng minh: ABÂD = ACÂB.
Trên một cạnh của xÔy (xÔy ¹ 1800), lấy các điểm A và B sao cho OA = 5cm, AB = 11cm. Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D sao cho OC = 8cm và OD = 10cm.
Chứng minh: DOCB và DOAD đồng dạng.
Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh: DIAB và DICD có các góc bằng nhau từng đôi một. 
Chứng minh rằng nếu DABC đồng dạng với DA’B’C’ theo tỉ số k thì: 
Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k. 
Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
Tỉ số của hai đường cao tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DÂB = DBÂC. Tính độ dài BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DÂB = DBÂC. 
Chứng minh: DADB và DBCD đồng dạng.
Tính độ dài các cạnh BC, CD.
Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác bằng thướt và compa.
Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B sao cho AB = 15cm. Từ A và C vẽ hai tia Ax và Cy cùng vuông góc với AB và nằm cùng phía với nhau. Lấy E Ỵ Ax, D Ỵ Cy sao cho AE = 10cm, ABÂE = BDÂC.
Chứng minh: DBDE vuông.
Tính CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
So sánh diện tích DBDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD. 
Cho DABC có AB = 3cm, AC = 2cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 3,5cm. Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài tại E. Tính BC, CE biết DE = 6cm. 
Cho DABC có AB = 8cm, AC = 16cm, D Ỵ AB, E Ỵ AC sao cho: BD = 2cm, CE = 13cm. Chứng minh:	a. DAED đồng dạng với DABC.	b. AB . CD = AC . BE
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
Chứng minh: OA . OD = OB . OC
Đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. C/m: . 
DABC có AB = BC, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM. C/m: AD = AC.
Cho DABC vuông tại A, đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại F. C/minh: . 
Cho DABC có AB = 24cm, Ac = 28cm. Tia phân giác của  cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD.
Tính tỉ số: .	b. Chứng minh: .
Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.
Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau và chứng minh. 
Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm.
Cho tứ giác ABCD, có Â = CÂ = 900, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, BÂO = BDÂO.
Chứng minh: DABO và DDCO đồng dạng.
Chứng minh: DBCO và DADO đồng dạng.
Cho DABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AC tại D, BC tại M. Tính CD.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
Chứng minh: DAHB và DBCD đồng dạng.
Tính AH và SDAHB. 	 
Cho DABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx ^ BC (Cx và A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm. Chứng minh: BD // AC.
Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, M là trung điểm của BC, gọi N là hình chiếu của M trên AC. 
Hãy tìm và chứng minh các cặp D đồng dạng với nhau.
Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích DAMH. 
DABC và DDEF có Â = DÂ, BÂ = Ê, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. 
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
Chứng minh: DADE và DCBF đồng dạng. 
Cho DABC (Â = 900), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm. Gọi D là hình chiếu của H trên AC
Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu D đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức giữa các cạnh tương ứng của chúng.
Gọi E là hình chiếu của H trên AB. Tính diện tích DADE.
Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Tính chu vi và diện tích DABC nếu biết HB = 25cm và HC = 36cm.
Cho một tam giác vuông trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a. AH2 = HB . HC	b. AB2 = BH . BC
c. AC2 = CH . CB	d. AH . BC = AB . AC
e. BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go)	 
Cho DABC có các đường cao BD và CE.
Chứng minh: DABD đồng dạng với DACE.
Chứng minh: DADE đồng dạng với DABC.
Tính AÊD biết ACÂB = 480.
Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm. Chứng minh: 	a. DABD và DBDC đồng dạng	b. ABCD là hình thang. 
Cho DABC cân tại A, O là trung điểm của BC. D Ỵ AB, E Ỵ AC sao cho OB2 = BD . CE
Chứng minh: DOBD và DECO đồng dạng, góc DÔE có số đo không đổi.
Chứng minh: 3 tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng.
Chứng minh: DO là tia phân giác của BDÂE, EO lài tia phân giác của CÊD.
Chứng minh: khi D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD . CE) thì khoảng cách từ O đến DE không đổi và chu vi DADE < 2AB. 
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua I và song song với 2 đáy cắt BC ở J, AD ở K.
Chứng minh: . Suy ra I là trung điểm của KJ.
Cho AB = m, CD = n. tính tỉ số theo m và n.
Bây giờ cho ABCD là hình thang cân. Chứng minh: AC2 = AB . CD + AD2.
Cho DABC, M và N lần lượt trung điểm của BC, CA. Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm, O là giao điểm của các đường trungtrực của các cạnh BC, AC. Chứng minh:
DABH và DMNO đồng dạng, DAHG và DMOG đồng dạng.
H, G, O thẳng hàng. 
Cho hình bình hành ABCD có BÂ tù. Từ C kẻ các đường CE, CF vuông góc với AB, AD. Chứng minh: AB . AE + AD . AF = AC2.
(Đề thi vô địch Toán Hungari – 1918)
Trên các cạnh BC, CA, AB của DABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng qui là có hệ thức . (Đ.lý Ceva) 
Hãy áp dụng định lý Ceva để Chứng minh trong một tam giác:
Ba đường cao đồng qui.
Ba đường phân giác đồng qui.
Ba đường trung tuyến đồng qui.
Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của DABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R (không trùng với các đỉnh và ít nhất một điểm nằm ngoài tam giác). C/m rằng: điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q và R thẳng hàng là có hệ thức . (Đ.lý Menelaus) 
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 2MD, điểm N trên CD sao cho DN = 3NC. Hai đường thẳng BM và AN cắt nhau tại S. Tính tỉ số .
Cho hình thang vuông ABCD (Â = DÂ = 900), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm, E Ỵ AD sao cho AE = 8cm. Chứng minh: BEEC = 900. 
Cho 2 DA’B’C’ và DABC có 3 góc nhọn. Kẻ 2 đường cao A’H’ và AH. Biết và . Chứng minh: DABC và DA’B’C’ đồng dạng.
 Cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu của A trên CD là H, trên BC là K. 
Chứng minh: DAHD và DAKB đồng dạng.
Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để các DAHC và DAKC đồng dạng ? 
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABÂD = ACÂD. Gọi E là giao điểm của của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh:
DAOB và DDOC đồng dạng.
DAOD và DBOC đồng dạng.
EA . ED = EB . EC. 
Cho DABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E Ỵ BC, F Ỵ AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh: FM = MN = NE. 
Cho h/vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C, cắt tia AB ở E và cắt AD ở F.
Chứng minh: BE . DF = a2.	b. Chứng minh: 
Cho DABC cân tại A, vẽ các đường cao BH và CK.
a. Chứng minh: BK = CH	b. Chứng minh: KH // BC
c. Cho BC = a, AB = AC = b. Tính HK. 
Cho DABC, Â = 900, CÂ= 300 và đường phân giác BD (D Ỵ AC).
Tính tỉ số: .
Biết AB = 12,5cm, tính chu vi và diện tích DABC. 
Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm.
Nêu cách vẽ tứ giác ABCD.
Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
Chứng minh: AB // CD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, các đường chéo cắt nhau tại I. Tính diện tích các DOAB và DOCD.
Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. 
Cho DABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Biết chu vi DABH = 3dm, chu vi DACH = 4dm. Tính chu vi DABC. 
Cho DABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của DAMC.
Chứng minh: DABM và DAMH đồng dạng. 
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh: AB . AF = AM . AE.
Chứng minh: BH ^ A