Bài tập toán học sinh giỏi lớp 10

Tìm GTNN ; GTLN của biểu thức 
Cho phương trình x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0 ( x là ẩn;m là tham số )
 a/ Giải ph/trình với m = -1
 b/ Xác định m để ph/trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại .
Tìm các số nguyên x;y;z thoả mãn bất đẳng thức 
 x2 + y2 +z2 < xy +3y +2z -3
 4) Giải hệ phương trình 
 5) Cho 2 đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B . Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) và (I) cắt (I) và (O) theo thứ tự tại C ;D . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của dây AC và AD . Ch/minh tứ giác APBQ nội tiếp .
Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж
 HƯÓNG DẪN GIẢI 
1) Min M = -1 khi x = -2 và Max M = 4 khi x = ½
2) m = 0 ; m = 3
3) x2 + y2 +z2 < xy +3y +2z -3
 Û x2 + y2 +z2 - xy -3y -2z +3 < 0
 x2 + y2 +z2 - xy -3y -2z +3 £ 1
 x2 –xy + y2/4 + 3 ( y2/4 – y +1 ) + z2 -2z +1 £ 0
(x – y/2 )2 + 3 ( y/2 – 1)2 + ( z -1)2 £ 0
 x=1 ; y =2 ;z = 1
Đặt m = 1/x ; n = 1/y và t = 1/z ta có hpt 
 Từ (1) rút t = 2 –m – n thay vào (2) ta được ( m-2)2 + (n – 2 )2 = 0 
 Þ m = n = 2 và t = -2