Bài tập tự luyện học sinh giỏi

Bài tập tự luyện HSG
Bài 1: Chứng minh rằng:
Tổng của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp thì chia hết cho 4
Tổng của 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
Bài 2: Tìm các chữ số a, b, c sao cho 
a) abc + cc = aab ;	
b) abc + acb = ccc ; 
 c) ( aa + bb ) . ab = 1980.
Bài 3: a) Chứng minh 1030 < 2100
	b)So sánh 540 và 62010
	c) so sánh 333444 và 444333
	d) Số 2100 có bao nhiêu chữ số 
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để ;
n + 4 chia hết cho n +1
n2 + n chia hết cho n2 + 1
Bài 5: a) Số 49! có tận cùng bao nhiêu chữ số 0 ?
bTìm chữ số tận cùng của mỗi số sau :
 	22n + 1 ; 32n+1
Tìm hai chữ số tận cùng của 7
Bài 6 : a) Chứng minh rằng 122003 – 21000 chia hết cho 10.
 b)Chứng minh A = 2 + 22 + 23 + … + 260 chia hết cho 3 ; 7 và 15.
Bài 7: Hai số 22003 và 52003 viết liền nhau tạo thành một số . Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?
Bài 8: Tìm x thuộc Z , biết :
| x + 2| - x = 2
| x -3 | + x -3 = 0
| x + 1| + | x + 2| = 1
| x – 5 | + x – 8 = 6
Bài 9 : Tìm các cặp số nguyên x, y biết:
( 2x – 1)(2y + 1) = -35
(x- 1)( y + 2) = 5
Bài 10: Cho bảy số nguyên a1 , a2, … , a7 mỗi số bằng +1 hoặc -1 . Hỏi tổng 
 S = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 + a5a6 + a6a7 + a7a1 có thể bằng không được không ?
Bài 11: Cho n số nguyên bất kì ; a1 , a2, … , an .
 Chứng tỏ rằng tổng 
 S = | a1 – a2| + | a2 – a3| + … +| an – 1 – an| + | an - a1| là một số chẵn 
Bài 12: Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số le . Hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần /
Bài 13 : a) Biết p và 8p – 1 là các số nguyên tố . Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số ?
 b)Tìm số nguyên tố p để p , p +2 , p + 6 , p +8 là các số nguyên tố ?
 Tìm số nguyên tố p để 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên?
 Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố ?
Bài 14: a) Tính M = 22001 – ( 22000 + 21999 + … + 21 + 2) .
 b)Tìm số tự nhiên lớn nhất để tích các số tự nhiên từ 1 đến 1000 chia hết cho 5n ?
Bài 15: Chứng minh rằng :
( 3 + 33 + 35 + … + 32n – 1 ) chia hết chi 30 với n nguyên dương
( 271958 – 108878 + 101528) chia hết cho 26460.