Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: 
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới 
hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có 
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số 
hạng nào đó trở đi. Kí 
hiệu:
 lim 0 hay u 0 khi n + .nunn    
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn 
là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực 
( n ), nếu  lim 0. n
n
u a

  Kí hiệu: 
  nlim hay u khi n + .n
n
u a a

    
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 . 
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) 
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  
n
b)  lim 0 nq  với 1q  . 
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. 
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : 
*
n
v n
n n
u w    và 
     
n
lim lim lim u
n n
v w a a    . 
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: 
     lim lim lim
n n n n
u v u v a b     
 lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b  
 
 
 *n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
nn
n n
uu a
b
v v b
     
   lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u    
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công 
bội q ,với 1.q  
 1lim lim
1
n
u
S
q


5. Dãy số dần tới vô cực: 
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực 
 
n
u  khi n dần tới vơ cực 
 n nếu un lớn hơn một số dương bất 
kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: 
lim(un)= hay un  khi n . 
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi 
n nếu lim 
n
u   .Ký hiệu: 
lim(un)= hay un khi n . 
c) Định lý: 
o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 
1
lim
n
u
  
o Nếu :  lim 
n
u  thì 
1
lim 0
n
u
 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
1. Giới hạn của dãy số (un) với 
 
 n
P n
u
Q n
 
với P,Q là các đa thức: 
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P 
là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số 
và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : 
  0
0
lim
n
a
u
b
 . 
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và 
mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. 
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk 
để đi đến kết quả :lim(un)= . 
2. Giới hạn của dãy số dạng: 
 
 n
f n
u
g n
 , f 
và g là các biển thức chứa căn. 
o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. 
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Bài tập 
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
Tính các giới hạn sau : 
Tính 
2 1
lim
n
n

Ta có : 
1
2
2 1
lim lim 2
n
n n
n n
 
     
Tính 
3 1
lim
2 1
n
n


Giải 
Ta có: 
1
3
3 1 3
lim lim
12 1 2
2
n
n n
n
n
n
 
    
  
 
 
Tính 
 
 
2
2
3 2 5
lim
7 8
n n
n n
Giải 
Ta có 
2
2
2 2
22
22
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 87 87 8 7
7
n n
n n n n n
n nn n
n nn
 
 
 
 
  
 
Tính lim
3
3
21
523
n
nn


 Giải 
Ta có 
Ta có : lim
3
3
21
523
n
nn


=lim
)2
1
(
)
52
3(
3
3
32
3


n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32



n
nn 
Tính 
3
3 2
2 3 1
lim
n n
n n
  
 
 
Giải 
Ta có : 
3
3
3 3 33
3 2 3 2
3
3 3
2 3
2 1
3
2 3 1
lim lim
2 1
3
lim 3
1
1
n n
n
n n nn n
n n n n
n
n n
n n
n
 
  
     
     
 
 
  

Tính 
2
2
4 1
lim
3 2
n n
n
 

Giải 
Ta có 
2
2 2
2
2
2
1 1
4
4 1
lim lim 2
33 2
2
n
n n n n
n
n
n
 
      
  
 
 
Tính 
2
2
3 1
lim
1 2
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
2
2 2
2
2
1
3
3 1
lim lim
1 2 1 2
1 1 1
3
lim 0
1
2
n n
n n n
n n
n
n n n
n
 
 

 
 
  
  

Tính lim
n
nn
21
14 2


BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
giải 
Ta có : 
lim
n
nn
21
14 2


=lim
n
n
n
n
21
1
4
2


=lim
2
1
2
1
1
1
4
2



n
n 
Tính 
 

2
1 4
lim
3 2
n n
n
Giải 
 
 
 

 

 

2
2
2
1 4
1 4
lim lim
3 23 2
1
1 4
1 4 5
lim
2 3 3
3
n n
n n n
nn
n
n
n
Tính lim(n-
1
732


n
nn
) 
giải 
Ta có : 
2 2 23 7 ( ) ( 3 7)
lim
1 1
7
2
2 7
lim lim 2
11
1
n n n n n n
n
n n
n n
n
n
      
  
  
 
 
   
 
Tính 
2
2
lim
1
n n
n n 
Giải 
2
2
2
2
1
2
2 0
lim lim 0
1 11 1
1
n
n n n
n n
n
n n
  
   
  
 
Tính 
   
3 2
5
2 3 1
lim
1 4
n n
n
 

Giải 
   
3 2
5
3 2
5
5
5
2 1
3 1
2 3 1 27
lim lim
11 4 4
4
n
n n n n
n
n
n
   
          
  
 
 
Tính 
 
2
2
2 2
lim
2 1
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
 
2
2 2
2
2
2 2
1
2 2 1
lim lim
1 22 1 2 1
n
n n n n
n n
n
 
      
   
 
Tính 
2
4 2
2 4
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
2
2 2
4 2
2
2 4
1 4
2
2 4 2
lim lim 2
1 1 22 1
2
n
n n n n
n n
n
n n
 
       
 
 
Tính 
5 2
5 3
1
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
5
5 2 3 5
5 3
5
2 5
1 1
1
1
lim lim 1
2 12 1
1
n
n n n n
n n
n
n n
 
      
   
  
 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Tính 
2 3
lim
4
n
n
n
  
   
   
Giải 
Ta có : 
2 3 2 3
lim lim 0
4 4
n n nn
n 
                     
          
Tính 
3 4 1
lim
4 2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có 
3 1
4 1
4 43 4 1
lim lim 1
4 2 1 1 1
4 1
2 4
n n
n
n n
n n n n
n
    
              
      
          
Tính 
5.2 5
lim
2
n
n
cos n
Giải 
Ta có : 
5
2 5
5.2 5 2
lim lim 5
2 2
n
n n
n n
cos n
cos n
 
     
Tính 
7.2 4
lim
2.3 4
n n
n n


Giải 
Ta có : 
7
4 1
7.2 4 2
lim lim 1
2.3 4 3
4 2 1
4
n
n n n
n n n
n
 
    
   
  
   
Tính 
1 1
5.2 3
lim
2 3
n n
n n 


Giải 
Ta có : 
1 1
5.2 3 5.2 3
lim lim
2 3 2.2 3.3
2
3 5 1
3 1
lim
32
3 2 3
3
n n n n
n n n n
n
n
n
n
 
 

 
  
       
  
     
Tính 
2
cos
lim 3
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
cos cos
lim 3 lim 3 3
n n n
n n
   
      
   
Vì 
coscos 1 1 cos
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính 
2
3
cos5
lim 5
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
3
cos5 cos5
lim 5 lim 5 5
n n n
n n
   
      
  
Vì 
cos5cos5 1 1 cos5
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính lim( )1 22 nnn  
Giải 
Ta có : lim( )1 22 nnn  
=lim
nnn
nnnnnn


22
2222
1
)1)(1(
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
=lim
nnn
nnn


22
22
1
)()1(
=lim
nnn
n


22 1
1
=lim
2
1
1
1
1
1
1
1
2



nn
n 
Tính  2 2lim 1n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1
1 1
lim
1
n n n
n n n n n n
n n n
  
     

  
2 2
2
1
1
1 1
lim lim
21 11
1 1
n
n n
n n n
n
n n
 
     
   
   
 
Tính    2lim 2 3n n n 
Giải
 
  
  
     

  
  

  
2
2 2
2
2 2
2
lim 2 3
2 3 2 3
lim
2 3
2 3
lim
2 3
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
 
 
   
   
 
 
2
2
2 3 2 3
lim lim
2 3 2 3
1 1
n n
n n n
n
n n

  

  
2
3
2
2
lim 1
1 12 3
1 1
n
n n
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1 2
1 2 1 2
lim
1 2
n n n
n n n n n
n n
  
     

  
   2 2
2 2 2 2
2 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n n
n n n n
n
n
n n
      
     

  
 
   
 
Tính 
2 21 4 2
lim
3
n n n
n
   

Giải 
Ta có 
  
  
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 4 2
lim
3
1 4 2 1 4 2
lim
3 1 4 2
1 4 2
lim
3 1 4 2
n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n n
n n n n
   

       

    
   

    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
2
2 2
3 1
lim
3 1 4 2
n n
n n n n
  

    
2
2
2
2 2
1 1
3
lim 3
3 1 1 2
1 1 4
n
n n
n
n n n n
 
   
   
  
      
  
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
 
  
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2
lim 1 2 lim
1 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n
n n n
n n
n n n n
n n n n
n
n
n n
  
   
  
   
 
     

  
 
   
 
Tính   3 3lim 2n n 
Giải 
 
   
 
 
 
      
 
   
3 3
2
3 23 3 3 33
2
3 23 33
lim 2
2 2 2.
lim
2 2.
n n
n n n n n n
n n n n
   
 
 
 

   
 

   
3 3
3 3
2
3 23 33
2
3 23 33
2
lim
2 2.
2
lim
2 2.
n n
n n n n
n n
n n n n
 
2
233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 
sau đây có giới hạn 0 : 
sin
1
n
n
u
n n


Giải 
Ta có : 
sin sinsin 1
1 1
1 sin
lim 0 lim 0
1
n nn
n nn n n n
n
mà nên
n n n
  
 
 

 
2
1
2
nu
n



Giải 
Ta có : 
       
2 2
1 1 1 1
lim 0 lim 0
2 2
n n
mà nên
n n n n
   
  
 
1
!
nu
n
 
Giải 
Ta có 
1 1 1 1
0 lim 0
! !
mà lim nên
n n n n
   
21 cos
2 1
n
n
u
n



Giải 
Ta có : 
2 21 cos 2 1 cos 2 1
2 1 22 1 2
n n
vì nên
n n nn n
   
 
 
21 1 cos
lim 0 lim 0
2 1
n
mà nên
n n

 

5
3 1
n
n n
u 

Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
5 5 5
3 1 3 3
5 5
lim 0 lim 0
3 3 1
n
n n
n n
n
n
n
mà nên
 
   
  
 
  
 
2
sin 2
n
n n
u
n n



Giải 
 2
2
sin 2 1 1
1
1 sin 2
lim 0 lim 0
n n n
n n n n n
n n
mà nên
n n n
 
 
 

 

  2
3
1 sin cos
2 1
n
n
n n
u
n
 


Giải 
Ta có : 
 
 
12
3
3 3 3
1
2
3
3
1 sin cos 2 1 1
2 1 2
1 sin cos1
lim 0 lim 0
2 1
n
n
n n
nn n n
n n
mà nên
n n
   
    
  
  
  
 
 
1 1
1 1
2 3
n
n n n
u
 

  
Giải 
Ta có : 
 
 
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 2 2 2
11 1
lim 0 lim 0
2 2 3
n
n n n n n n n
nn
n n
mà nên
     
 

     
 
   
 
5
n
n cos n
u
n n n



Giải 
Ta có : 
 
5 1 1
1
1 5
lim 0 lim 0
n cos n n
n n n n n n
n cos n
mà nên
n n n n
 
 
 

 

 22 1nu n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
 
2 2
2
2
2 2
2 2 2
2 1 1
2 1
1
2 1 2 2
1 1
2 1
2
n n n n
n n
n n
n n
n n n n n n
n n
   
  
 
 
  
    
 
Mà  21lim 0 lim2 1 0nên n n
n
    
1nu n n   
Giải 
Ta có : 
  
1
2
1 1
1
1
1 1 1 1 1
21 2
n n n n
n n
n n
n n
nn n n n n
   
  
 
   
     
    
Mà  
1
21
lim 0 lim 1 0nên n n
n
 
    
 
Tìm giới hạn của dãy số  nu với 
3 3 3
1 1 1
... .
1 2
nu
n n n n
   
  
Giải 
Ta có số hạng tổng quát là : 
 
3 3 3
1 1
1,2,...,
1 1
k
n
u k n
n k n n
    
  
Nên 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
3
1
0
1
lim 0 lim 0
k
k
n
u
nn
mà nên u
n
  
 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
1
2
1
1
4
2
n
n n
u
u
u u n



   

CMR 
a)  
1
0 1
4
nu  
b) 1
3
4
n
n
u
u
  
Từ đó suy ra lim 0nu  
Giải 
Câu a) SD phương pháp quy nạp 
Với n = 1 ta có 1
1 1
0
4 4
u   (đúng) 
Giả sử (1) đúng với 1n k  
Nghĩa là 
1
0
4
ku  (đúng) 
Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng 
với n= k +1. 
Thật vậy, ta có : 
2
2
1
1 1 1 1
2 16 16 4 16
k
k k k
u
u u u
 
       
 
Vì 
1
0
4
ku  nên 1
3 1
0
16 4
ku    
Vậy (1) luôn đúng với mọi n. 
Câu b) 
Ta có : 
2
1 1 1 1 32
2 4 2 4
n
n
n
n
n n
u
u
u
u
u u


      (ĐPCM). 
Vậy 1
3
4
n nu u  
Từ đó suy ra 
2 1
2
3 2 1
1 1
1 1
3
4
3 3
4 4
............................
3 3 1 3
4 4 4 4
n n
n n
u u
u u u
u u u
 




  
   
 


    
     
   
Mà 
1
1 3
lim 0
4 4
lim 0
n
nu

 
 
 
 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
1
1
10
n n
u
u u



CMR 
a)  1 , 1nu n  
b) 1
1
1
2
n
n
u
u 

  
c) Tìm lim nu 
Giải 
Câu a) SD phương pháp quy nạp 
Với n =1 ta có : 1 10 1u   (đúng) 
Giả sử (1) đúng với .  n k k 1  Nghĩa là 
1ku  
Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng 
với n= k+1, hay 1 1ku   
Thật vậy ta có : 
1 11 1k k k ku u màu nên u    
Vậy (1) luôn đúng với mọi n. 
Câu b) theo bài ra ta có: 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
1
1
1 1
1 1
1
1 1
21
n n
n n
n n
n
n n
n
u u
u u
u u
u
u u
u



 
    

 
 

Câu c) 
Đặt 
1 1 11 10 1 9 1n n n nv u v và v u         
Theo câu b ta có : 
1
1
2
n nv v  
Vậy 
2 1
2
3 2 1
1 1
1 1
1
2
1 1
2 2
............................
1 1 1
9
2 2 2
n n
n n
v v
v v v
v v v
 




  
   
 


    
     
   
Mà 
 
1
1
lim9 0 lim 0 lim 1 0
2
lim 1
n
n n
n
nên v u
u

 
     
 
 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
1
1
5
2
6
3
n n
u
u u
 


 
Gọi  nv là dãy số xác định bởi 18n nv u  
a) CMR  nv là cấp số nhân lùi vô hạn. 
b) Tìm lim nu . 
Giải 
Câu a) theo bài ra ta có: 
1 1
1
2 2
6 18 12
3 3
2
12
3
n n n n
n n
u u u u
v u
 

     
  
Mặt khác 18n nu v  
Vậy  1
2 2
18 12
3 3
n n nv v v     
Vậy  nv là CSN lùi vô hạn với công bội 
2
3
q  . 
Câu b) 
Vì 1
2
3
n nv v  . Nên 
2 1
2
3 2 1
1 1
1 1
2
3
2 2
3 3
.............................
2 2 2
13
3 3 3
n n
n n
v v
v v v
v v v
 




  
   
 


    
     
   
Mà 
1
2
lim13 0 lim 0
3
lim 18
n
n
n
nên v
u

 
  
 
  
Cho dãy số xác định bởi 
 
1
1
2
1
1
2
n
n
u
u
u n


 
  
Tính lim nu . 
Giải 
Ta nhận xét 
1 2 3 4 5
3 5 9 17
2, , , ,
2 4 8 16
u u u u u     
Dự đoán  
1
1
2 1
1
2
n
n n
u



 
Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Kiểm tra với n=1, ta có 
1 2u  đúng với bài 
cho 
- Giả sử (1) đúng với  1n k k  . Nghĩa là 
1
1
2 1
2
k
k k
u



 
- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 
đúng với n = k+1.hay 1
2 1
2
k
k k
u 

 
- Thật vậy ta có: 
1
1
1
1 1
2 1
1
1 2.2 1 2 12
2 2 2.2 2
k
k k
k
k
k k k
u
u


 


  
    
Vậy 
1
1 1
1 1
1
2 1
2 1 2
lim lim lim 1
2 2
n
n n
n n n
u

 
 
 
      
Cho dãy số  nu xác định bởi 
 
1
1
1
2
1
1
2
n
n
u
u n
u




  

Tính lim nu 
Giải 
Nhận xét 1 2 3 4
1 2 3 4
, , , ...
2 3 4 5
u u u u    
Dự đoán  1
1
n
n
u
n


Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp 
- Với n=1, ta có : 1
1
2
u  (đúng) 
- Giả sử (1) đúng với  1n k k  . 
Nghĩa là 
1
k
k
u
k


- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 
đúng với n = k+1. Hay 1
1
2
k
k
u
k




- Thật vậy theo bài ra ta có: 
1
1 1 1
2 2
2
1
k
k
k
u
ku k
k


  
 

Suy ra 
1
n
n
u
n


 đúng với mọi 1n  
Vậy lim lim lim 1
11
1
n
n n
u
n
n
n
  
  
 
 
Tính tổng 
1 1
2 2 1 ...
22
S       
Giải 
Dãy số vô hạn 
1 1
2 2 1 ...
22
     là 
một CSN lùi vô hạn với công bội 
2 1
1
2 2
q      
Do đó 1
2 2 2
11 2 11
2
u
S
q
  
 
Tính tổng 
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n
S

 
    
 
Giải 
Dãy số vô hạn 
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n
 
   
 
Là 1 CSN lùi vô hạn với 
1
2
q   
Nên 1
1 2
11 3
1
2
u
S
q
  
 
Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn 
 nu . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  
Giải 
Theo bài ra ta có :  1 32 1
1
u
S
q
 

Mặt khác 2 1 1
8
8u u q u
q
    thế vào (1) 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
ta có 
2
1
8
1
32 4 4 1 0 16
1 2
q
q q q u
q
        

vậy số hạng tổng quát là 
1
1
16
2
n
nu

 
  
 
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 
Tính lim(2n
3
+3n-1) 
giải 
Ta có lim(2n
3
+3n-1)=lim n
3
(2+
32
13
nn
 )=+ 
Tính lim(-2n
2
+n n -n+4) 
Giải 
Ta có : lim(-2n
2
+n n -n+4) 
=limn
2
(-2+  )
411
2nnn
. 
Tính 33lim 5n n 
Giải 
Ta có : 
33
3
2
5
lim 5 lim 1n n n
n
 
     
 
Tính 2lim 1n n  
Giải 
Ta có 
2
2
1 1
lim 1 lim 1n n x
n n
       
Tính 3 2lim 2 1n n  
Giải 
Ta có : 
3 2
3
1 1
lim 2 1 lim 2n n n n
n n
       
Tính  2lim 1n n n   
Giải 
Ta có : 
   2 2 2
1 1
lim 1 lim 1n n n n
n n
 
         
 
Tính 
33
lim
2 15
n n
n


Giải 
Ta có : 
3
3 2
3
2 3
3
1
3
lim lim
2 152 15
n
n n n
n
n
n n
 
     
  
 
 
Vì 
2
2 3 2 3
3
lim 1 1
2 15 2 15
lim 0 0
n
và
n n n n
  
   
  

        
Tính 
2
2
11
lim
3 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
2
2 2
2
2
2 3
1 11
1
11
lim lim
3 13 1
1
n
n n n n
n n
n
n n
 
       
  
  
 
vì 
2
2 3 2 3
1 11
lim 1 1
3 1 3 1
lim 1 0 1 0
n n
và
n n n n
  
   
 

      

Tính lim( )1 22 nnn  
Giải 
Ta có :lim( )1 22 nnn  
=limn(  )
1
1
1
1
2 nn
Tính 
1
lim 2n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
1 1 1
lim 2 lim2 1
2
n n
nn n
   
       
   
Tính 
3
2
3 5 1
lim
4
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
3
3 2 3
2
3
3
1 1
3 5
3 5 1
lim lim
1 44
n
n n n n
n
n
n n
 
       
  
 
 
Vì 
2 3
3 3
1 1
lim 3 5 3 0
1 4 1 4
lim 0 0
n n
và
n n n n
  
    
  

        
Tính 
2 2lim
1
n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
3 2
2
3
3
3
2 3
2 2
lim lim
1 1
1 2
1
lim
1 1
n n
n
n n
n
n n
n
n n
  
  
  
 
  
   
 
 
 
Vì 
3
2 3 2 3
1 2
lim 1 1 0
1 1 1 1
lim 0 0
n n
và
n n n n
  
    
  

        
Tính 
 
 
3
2
2 1
lim
2 3
n n
n n
Giải 
3
3
3 2 3
22
2 33
2 1 2 1
1
2 1
lim lim lim
1 1 32 32 3
n n
n n n n n
n nn n
n n nn
 
 
 
   
  
 
Vì 
2 3
2 3 3 2
2 1
lim 1 1 0
1 1 3 1 3 1
lim 0 0
n n
và
n n n n n n
  
    
  

          
Tính 2
2
lim
1
n
n
 
 
 
Giải 
3 2
2
3
3
3
2 3
2 2
lim lim
1 1
1 2
1
lim
1 1
n n
n
n n
n
n n
n
n n
  
  
  
 
  
   
 
 
 
Vì 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
3
2 3 2 3
1 2
lim 1 1 0
1 1 1 1
lim 0 0
n n
và
n n n n
  
    
  

        
Tính 
  
3 23
2 1 1 3
lim
7 5
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
  
3 23
3
3 4 6
1 1
2 3
2 1 1 3
lim lim
1 7 57 5
n n n n
n n
n n n
  
         
 
 
vì 
3
3 4 6 3 4 6
1 1
lim 2 3 6 0
1 7 5 1 7 5
lim 0 0
n n
và
n n n n n n
   
      
  

      

Tính lim
14
3.25


n
nn
 Giải 
Ta có :lim
14
3.25


n
nn
=lim
)
5
1
)
5
4
((5
))
5
3
.(21(5
n
nn
nn


=lim 


n
n
n
5
1
)
5
4
(
)
5
3
.(21
(vìlim(1+2.( 1))
5
3
n >0,lim(( 0)
5
1
)
5
4

n
n 
và 0
5
1
)
5
4
( 
n
n ) 
Tính  2 2lim 1 2 1n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
lim 1 2 1
1 2 1 1 2 1
lim
1 2 1
1 2 1 2
lim lim
1 2 1 1 2 1
n n
n n n n
n n
n n n
n n n n
  
     

  
    
 
     
2
2
2
2 4 2 4
2
1
lim
1 1 2 1
n
n
n
n n n n
 
  
   
 
   
 
Vì 
2
2 4 2 4 2 4 2 4
2
lim 1 1 0
1 1 2 1 1 1 2 1
lim 0 0
n
và
n n n n n n n n
   
       
   


       
Tính 
1
lim
1n n 
Giải 
Ta có : 
  
1 1
lim lim
1 1 1
1 1
lim lim 1 1
1
n n
n n n n n n
n n
n
n n n
 

     
  
      
   
Tính  1lim 2 4 1n n  
Giải 
Ta có : 
 1
4
lim 2 4 1 lim 2 1
4
1 1 1
lim4
2 4 4
n
n n n
n n
n
       
 
    
        
     
Vì 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
lim4
1 1 1 1
lim 0
2 4 4 4
n
n n
  

     
        
     
Tính 
5 2
lim
1 2.2
n
n


Giải 
Ta có : 
2
5 1
5 2 5
lim lim
1 2.2 1 2
5 2.
5 5
n
n n
n n
n
n
 
     
   
     
Vì 
2
lim 1 1 0
5
1 2 1 2
lim 2. 0 2. 0
5 5 5 5
n
n n
n n
và
  
   
 
                   
Tính 
12 3.5 3
lim
3.2 7.4
n n
n n
  

Giải 
Ta có : 
1
2 1
5 2. 3 3.
5 52 3.5 3
lim lim
3.2 7.4 2 4
5 3. 7.
5 5
n
n
nn n
n n n n
n

  
          
     
         
Vì 
2 1
lim 2. 3 3. 3
5 5
2 4 2 4
lim 3. 7. 0 3. 7. 0
5 5 5 5
n
n
n n n n
và
   
          

         
                     
Tính lim nu 
Với 
1 1 1
1 ...
2 3
nu
n
     
Giải 
Ta có : 
Vì 
1
n
 là số nhỏ nhất trong n số 
Nên 
1 1 1 1 1
... .nu n n
n n n n n
       
Mà lim lim nn u   
Tính 
2 3
lim
2
n
n
n
n


Giải 
3 2. 1
2 3 3
lim lim
2 2
3
3 3
n
n n
n n
n
n
n
n
n n
 
     
   
     
Vì 
lim 0
3
lim 2. 1 1
3
2 2
lim 0 0
3 3 3 3
n
n
n n
n n
n
n
n n
và

 


  
    
 
                   
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
Tính các giới hạn sau : 
Tính  2
2
lim 5 1
x
x

  
Giải 
Ta có : 
   22
2
lim 5 1 2 5 1 2
x
x

       
Tính  2
2
lim 5 6
x
x

  
Giải 
 2 2
2
lim 5 6 2 5 6 3
x
x

       
Tính 
3
1
lim
2x
x
x


Giải 
3
1 3 1 2
lim
2 3 2 5x
x
x
 
 
 
Tính 
3
3
lim
1x
x
x


Giải 
Ta có :
3
3
lim 0
1x
x
x



Tính 
3
2
lim
2 1x
x
x


Giải 
3
2 2.3 2 8
lim
2 1 2.3 1 7x
x
x
 
 
 
Tính 
2
3
2 3
lim
2x
x x
x
 

Giải 
Ta có : 
2 2
3
2 3 3 2.3 3
lim 0
2 3 2x
x x
x
   
 
 
Tính 
 
2
4
2
lim
4x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
     
4
2 2
4
lim 2 6 0
lim 4 0 4 0 4
x
x
x
x và x x


  


     
Nên 
 
2
4
2
lim
4x
x
x

 

Tính 
 
2
2
2
lim
2x
x
x


Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
 
     
2
2 2
2
lim 2 4 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x


  


     
Nên 
 
2
2
2
lim
2x
x
x

