Bài tập về Giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số
 *Các giới hạn thường gặp:
 limC = C ; lim= 0 a > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
 lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; 
 limvnlim = 
*Các định lý về giới hạn: 
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
	 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
 Nếu "n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ¥ 
 Nếu limun = ¥ thì lim = 0 
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = 
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
 a) lim b) lim c) lim 
 2.Tính các giới hạn sau:
 a) lim b) lim c) lim
 d) lim e) lim 
 f)lim() g) lim
 3.Tính các giới hạn sau:
 a) lim b) lim() c) lim)
 d) lim) e) lim
 f) lim g) lim
 h) lim i) lim()
 j) lim n() k) lim()
l) lim m) lim(1 + n2 – )
n) lim 
4.Tính các giới hạn 
a) lim b) lim c) lim 
d) lim e) lim f) lim
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = 
 a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
 b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
 5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = 
 a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
 b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
 6.Tìm các số hữu tỉ sau : 
 a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )(1 – )
8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 
Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 
 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 "n Î N
a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n "n ≥ 3
b) Tính limxn 
10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= 
a) Chứng minh rằng: un < 1 "n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên 
c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= 
a) Chứng minh rằng un < 3 " n
 b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
Giới hạn hàm số
 *Các phép toán về giới hạn hàm số 
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thì 
Định lý 3: Nếu 
 Nếu 
Định lý 4: 
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.¥ ; ¥ – ¥ 
1.Tính các giới hạn sau:
 a) b) 
 c) d)
 e) f)
 g) h)
 i) k) m,nÎN 
2.Tính các giới hạn sau:
 a) b) c) 
 d) e) f) 
 g) h)
 i) j) k)
 l) m) n)
 o)
3.Tính các giới hạn sau:
 a) b) 
 c) d) e)
 f) g) 
 h) i) 
g) h) 
4.Tính các giới hạn sau:
 a) b) c) d) 
 e) f) g) 
 h) i) j) 
 k) l) m)
n) o) p) q) r)
 4.Tính các giới hạn sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) 
l) m) 
 5.Tính các giới hạn sau:
 a) b) 
 b) 
 c) d) 
 e) f) 
 g) h)
 i) i) 
 j) h) 
 j) k) 
 6.Tính giới hạn các hàm số sau 
 a) b)
 c) d) 
 e) f) ) 
 g) h) 
 i) j) 
 7.Tìm 2 số a,b để 
 a)
 b) = 0
 8. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo Û 
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
 xo Î (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] 
 và 
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục 
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 a) f(x) = tại xo = 1
 b) f(x) = tại xo = 2
 c) f(x) = tại xo = 1
 d) f(x) = tại xo = 1
 e) f(x) = tại xo = 2
 f) f(x) = tại xo = 0
g) f(x) = tại xo = 0
h) f(x) = tại xo = 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) = tại x0 = 1
b) f(x) = tại x0 = 1
 c) f(x) = tại xo = 0
 d) f(x) = tại xo = 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 a) f(x) = 
 b) f(x) = 
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
 a) f(x) = 
 b) f(x) = 
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
 a) f(x) = b) f(x) = 
6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7. Chứng minh rằng phương trình 
 a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
 b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
 c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình 
 (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ¹ 0
b)Cho a > 0 , c 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Î [a;b] " x Î [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x Î [a;b]
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo >