Bài tập về khoảng cách

BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH 
PHƯƠNG PHÁP: 
 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng 
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt 
phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau : 
 Cách 1 : 
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) . 
 Xác định    m P Q  . 
 Dựng    MH m P Q   ,  MH P  suy ra MH là đoạn cần tìm . 
 Cách 2: Dựng    / /MH d  
o Chú ý : 
 Nếu        / / , ,MA d M d A    
 Nếu  MA I    
  
,
,
d M IM
d A IA


  
 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: 
 Khi 
 
 
  , 0
a P
d a P
a P

 

 . 
 Khi  / /a P      , ,d a P d A P  với  A P . 
 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : 
 Khi    
   
    , 0
P Q
d P Q
P Q

 

 . 
 Khi    / /P Q        , ,d P Q d M Q  với  A P . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 Khi 
   
   
    
'
, ' 0
'
d
  
   
  
 . 
 Khi               / / ' , ' , ' ,d d M d N         với    , 'M N    . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 
 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau   và  ' là đường thẳng  a cắt   ở M và cắt 
 ' ở N đồng thời vuông góc với cả   và  ' . 
 Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau   và  ' . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó . 
Phương pháp : 
 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) . 
 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là 
khoảng cách cần tìm . 
 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . 
 Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : 
 Cách 1: Khi a b 
(a)
' 
M
N
 Dựng một    ,mp P b P a  tại H . 
 Trong (P) dựng HK b tại K . 
 Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b . 
 Cách 2: 
 Dựng    , / /P b P a . 
 Dựng 
 ' Pa hch a
, bằng cách lấy M a dựng đoạn  MN  , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song 
song a . 
 Gọi 'H a b  , dựng / /HK MN HK là đoạn vuông góc chung cần tìm . 
BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH 
1. ho hình chóp . có đáy là ABC cân tại , đường cao là đường cao của tam giác và a, góc 
 120BAC , vuông góc với mặt phẳng đáy,  3SA a . Goi K là hình chiếu vuông góc của l n . 
a. hứng minh rằng:  AK SBC . b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: và . 
c. Tính khoảng cách giữa và . 
2. ho hình chóp . D có đáy D là hình thoi cạnh a, góc  60BAD , 
3
2
a
SA . ình chiếu của l n mặt 
phẳng D trùng với trọng t m của ABD 
a. hứng minh rằng:  BD SAC . Tính , . b. Gọi  là góc của D và D . Tính tan 
c. Tính khoảng cách giữa D và . 
3.Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) .Tam giác vuông tại . 
 a hứng minh các mặt b n của hình chóp là các tam giác vuông 
 b Từ kẻ  tại , K  tại K. hứng minh rằng (AHK) và tam giác AHK là tam giác vuông. 
4. ho tứ diện có đáy là tam giác vuông tại , AB = 2a , SA  (ABC) ,SA = 2a.Gọi I là trung điểm của 
a hứng minh rằng các mặt b n của hình chóp là các tam giác vuông 
b Tính góc giữa hai mặt phẳng và c Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
5. ho hình chóp đều . có cạnh b n và cạnh đáy bằng a 
a Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng b Tính góc giữa cạnh b n và đáy 
c Tính góc giữa mặt b n và đáy. 
 D: a ạ  tại là trọng t m của tam giác 
a có khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng bằng 2 2 2 22 3 6( . )
3 2 3
a a
SH SA AH a     
b Góc giữa cạnh b n và đáy bằng góc . 
 Tam giác vuông SHA có SH = 
6
3
a
 và AH = 
2 3 3
.
3 2 3
a a
 tan 2 arctan 2
SH
SAH SAH
AH
     
c Gọi I là trung điểm của ta có góc giữa mặt b n và mặt đáy bằng góc I 
Tam giác vuông SHI có SH = 
6
3
a
 và IH = 
1 3 3
.
3 2 6
a a
 tan 2 2 arctan2 2
SH
SIH SIH
IH
     
6. Cho hình chữ nhật ABCDcó 6, 3 3AD AB  . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho 2MB MB và N là trung điểm 
của AD . Tr n đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho 2 6SM  . 
a) Chứng minh      ;AD SAB SBC SAB  ; b) Chứng minh    SBN SMC ; 
c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC : 
d Xác định vị trí điểm P SM sao cho      0, 60PNC SMC  . 
Bài 1. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông t m O, cạnh a,  đáy và a. Gọi I, J là trung điểm của SC và 
AB. 
A. hứng minh IO (ABCD). B. Tính khoảng cách từ I đến 
Bài 2. ho hình chóp . D có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính D 2a,  đáy và 
6a . 
A. Tính khoảng cách từ , đến D . B. Tính khoảng cách từ D đến . 
Bài 3. ho hình hộp thoi D. ’ ’ ’D’ có các cạnh đều bằng a và 0' ' 60BAD BAA DAA    . Tính khoảng cách giữa 
hai mp đáy D và ’ ’ ’D’ . 
Bài 5. ho hình chóp . có đáy là tam giác vuông tại với 2a, 
060ABC  . Gọi M là trung điểm . iết 
= SB = SC = 5a . 
A. Tính chiều cao của hình chóp. B. Tính khoảng cách từ đến . 
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông t m O, 2a, 4a. Tính: 
A. Khoảng cách từ O đến . B. Khoảng cách từ đến D . 
Bài 7. ho hình lăng trụ đứng . ’ ’ ’ có ’ a, đáy là tam giác vuông tại có 2a, 3a . 
A. Tính khoảng cách từ ’ đến mp ’ ’ . B. Tính khoảng cách từ đến ’ . 
C. hứng minh  ’ ’ và tính khoảng cách từ ’ đến ’ . 
D. Gọi M, N, P là trung điểm của ’, ’, ’. Tính khoảng cách giữa hai mp MN và ’ ’P . 
Bài 8. ho tứ diện D , là tam giác vuông c n tại , 2a, D là tam giác đều và D  . Gọi O là 
trung điểm của . Tính các khoảng cách : 
A. Từ D đến . B. Từ O đến D . 
Bài 9. ho tam giác với 7cm, 5cm, 8cm. Tr n đường thẳng vuông góc với mp tại lấy điểm 
sao cho 4cm. Tính khoảng cách từ O đến . 
Bài 10. ho góc vuông xOy và điểm M nằm ngoài mp chứa góc vuông. iết OM 23cm và khoảng cách từ M tới hai cạnh 
góc vuông Ox, Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mp chứa góc vuông. 
Bài 11. ho tam giác vuông tại , cạnh a và nằm trong mp P , cạnh 2a và tạo với P góc 060 . 
A. Tính khoảng cách từ tới P . B. Tính góc tạo bởi và P . 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy, 2a, tam giác vuông tại với 2a, 030BAC  . Gọi M là 
điểm di động tr n , là hình chiếu của tr n M. 
A. hứng minh BM. 
B. Đặt M x, 0 3x  . Tính khoảng cách từ đến M theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 13. ho tam giác c n đỉnh có 0120 , 3BAC BC a   . Lấy điểm nằm ngoài mp chứa tam giác sao cho 
a. Tính khoảng cách từ tới . 
Bài 14. ho tứ diện D có là tam giác vuông tại , a, 2a. ác mặt D và D cùn hợp với 
góc  , mp(DBC) (ABC). 
A. Tính khoảng cách từ D đến mp theo a và  . 
B. Tìm số đo  khi biết d 2
3
a . Khi đó hãy tính khoảng cách từ đến D . 
Bài 15. Cho hình chóp đều . có đáy là tam giác đều t m O, a, mặt b n hợp với mặt đáy góc 
045 . Tính các 
khoảng cách: 
A. Từ O đến . B. Từ đến . 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có 0 0 090 , 60 , 120ASB BSC ASC      và a. Gọi I là trung điểm của 
AC. 
A. hứng minh I (ABC). B. Tính khoảng cách từ đến mp . 
Bài 17. ho hình chóp . có đáy là tam giác c n tại , a, BAC   , SA = SB = SC = 2
2
a . Tính chiều cao 
của hình chóp. 
Bài 18. ho hình chóp . có đáy là tam giác vuông c n tại , 2a, a và vuông góc với đáy. 
A. hứng minh  (SBC). B. Tính chiều cao của hình chóp. 
C. Gọi O là trung điểm của . Tính khoảng cách từ O đến . 
Bài 19. Trong mp P cho tam giác vuông tại có 2a, 
060ACB  . Dựng hai đoạn ’ a, ’ 2a cùng 
vuông góc với mp P và ở cùng một b n với P . Tính khoảng cách từ: 
A. đến mp ’ . B. Trung điểm ’ đến mp ’ . C. ’ đến mp ’ . 
D. Trung điểm đến mp ’ ’ . 
Bài 20. ho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt b n vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của 
AB, SA, AC. 
A. hứng minh (MNP)//(SBC). B. Tính khoảng cách giữa hai mp MNP và . 
Bài 21. ho hình chóp . D có đáy là hình thang vuông đường cao a, 2a, a và vuông góc với đáy. Ngoài 
ra, còn có SCBD. 
A. hứng minh tam giác SBC vuông. B. Tính độ dài D. 
C. Gọi M là điểm tr n sao cho M x, 0 x a  . Tính khoảng cách từ D đến M theo a và x. Tìm x để khoảng cách 
này lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 22. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông t m O, cạnh a,  đáy và 3a . 
A. Tính khoảng cách từ tới mp . B. Tính khoảng cách từ O đến mp . 
C. Tính khoảng cách từ trọng t m của tam giác đến mp . 
Bài 23. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông cạnh a, a và  đáy. 
A. Gọi I là trung điểm của D. hứng minh I (SCD). 
B. Tính khoảng cách từ trọng t m của tam giác đến mp D . 
Bài 24. ho hình chóp . D có đáy là hình chữ nhật với a, D 2a, a và  đáy. Gọi I, M là trung điểm 
của , D. 
A. Tính khoảng cách từ đến D . B. Tính khoảng cách từ I đến D . 
C. Tính khoảng cách từ đến M . 
Bài 25. ho hình thoi D t m O, cạnh a và a. Từ trung điểm của dựng  D với a. 
A. Tính khoảng cách từ đến D . B. Tính khoảng cách từ O đến D . 
C. Tính khoảng cách từ đến . 
Bài 26. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông cạnh a, a và vuông góc với đáy. 
A. Tìm tr n mp D điểm I cách đều ba điểm , , . Tính I và khoảng cách từ I đến . 
B. Tìm tr n mp điểm J cách đều ba điểm , , M với M là trung điểm của D. Tính J . 
Bài 27. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông cạnh a, 2a và  đáy. 
A. Tính khoảng cách từ đến , từ đến D . 
B. Gọi M, N là trung điểm của , D. Tính khoảng cách từ MN đến D . 
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và  đáy, đáy là hình thang vuông tại và , a, D 2a. 
A. Tính khoảng cách từ , đến D . B. Tính khoảng cách từ D đến . 
Bài 29. ho hình chóp . D có đáy là hình vuông cạnh a. mặt b n là tam giác c n tại và mặt đáy, cạnh 
b n tạo với mặt đáy góc 
060 . Tính: 
A. hiều cao của hình chóp . D. B. Khoảng cách từ ch n đường cao hình chóp đến mp D . 
C. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp trung trực của đoạn . 
Bài 30. ho hình chóp . D có đáy là hình thoi với 
0120A  , BD = a, SA đáy, góc giữa mp và mp đáy là 
060 . Tính: A. Đường cao của hình chóp. B. Khoảng cách từ đến . 
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy, đáy là hình thoi t m O, 2a, 060ABC  . Tính: 
A. Khoảng cách từ O đến . B. Khoảng cách từ D đến . 
Bài 32. ho hình hộp chữ nhật D. ’ ’ ’D’ có a, b, ’ c. 
A. Tính khoảng cách từ ’ đến mp DD’ ’ . 
B. Gọi M, N là trung điểm của ’, ’. Tính khoảng cách từ MN đến ’D’ . 
C. hứng minh ’D’ // ’ D . Tính khoảng cách giữa hai mp này. 
Bài 33. ho hình hộp chữ nhật D. ’ ’ ’D’ có a, D b, ’ c. 
A. Tính khoảng cách từ điểm đến mp ’ ’ . 
B. Tính khoảng cách giữa hai mp ’ và ’ ’D , trong trường hợp a b c. 
Bài 34. ho hình lăng trụ . ’ ’ ’ có tất cả các cạnh b n và cạnh đáy đều bằng a. ạnh b n của lăng trụ tạo với mặt đáy 
góc 
060 và hình chiếu vuông góc của tr n mp ’ ’ ’ trùng với trung điểm của ’ ’. 
A. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. B. hứng minh mặt b n ’ ’ là hình vuông. 
Bài 35. ho hình lăng trụ . ’ ’ ’ có đáy là tam giác đều t m O, cạnh a, hình chiếu của ’ tr n mp trùng với 
t m của đáy. ạnh b n ’ hợp với mặt đáy góc 
060 . Gọi I là trung điểm của . TÍnh các khoảng cách: 
 . Từ O đến ’ B. Từ đến I ’. C. Từ đến ’ ’. 
Bài 36. ho hình lăng trụ . ’ ’ ’, đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của ’ tr n trùng với t m O của 
đáy. ạnh ’ hợp với mặt đáy góc 
060 . Tính khoảng cách từ đến mp ’ ’ . 
Bài 37: ho hình chóp . D có đáy là hình vuông t m O cạnh a, vuông góc với đáy và a. 
 . Tính khoảng cách từ đến mp . . Tính khoảng cách giữa và D 
 Lời giải: 
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). 
- Trong SAB vuông tại , kẽ đường cao . SBAH  ) (1) 
Ta có: ABBC  ai cạnh kề của hình vuông D 
 SABC  ( Vì )(ABCDSA ) AHBCSABAHmàSABBC  )()( (2) 
Từ 1 và 2 )(SBCAH  n n là khoảng cách từ đến mp 
 - SAB vuông c n tại có a 
2
2
2
2
aSB
AHaSB  
V y khoảng cách từ đến mp là 
2
2a
AH  
b) Tính khoang cách giữa SC và BD 
 - Trong SAC kẽ SCOK  
 Ta có: ACBD  ai đường chéo hình vuông D 
 SABD  ( Vì )(ABCDSA ) OKBDSACOKmàSACBD  )()( . Vậy OK d , D 
- Trong SAC kẽ đường cao I, ta có AI // OK AIOK
2
1
 OK là đường trung bình của AIC ). 
SAC vuông tại có: 
222222 2
3
)2(
11111
aaaACASAI
 
3
6
3
2 22 aAI
a
AI  
Vây d(SC, BD) = OK = 
6
6a
Bài 38: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ có ’ và ’ a. Đáy là một tam giác vuông tại có 2a và 
AB = 3a . 
 . Tính khoảng cách giữa hai đáy. . Tính khoảng cách từ ’ đến mp ’ ’ . 
Lời giải: 
a) Tính khoảng cách giữa hai đáy. 
Ta có: . ’ ’ ’ có cạnh b n vuông góc với đáy n n nó là lăng trụ đứng 
Vậy ’ là khoảng cách giữa hai đáy và ’ a 
b) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’) 
- Vì ’ // ’ n n ’ // ’ ’  khoảng cách từ ’ đến ’ ’ bằng khoảng cách từ đến ’ ’ . 
Gọi là hình chiếu của l n . 
Ta có: BCAH  , 'CCAH  ( Vì )(' ABCCC  , . ’ ’ ’là lăng trụ đứng )''( BBCCAH  tại . 
 d[ ’, ’ ’ ] d[ , ’ ’ ] 
- ABC vuông tại n n aaaABBCAC  2222 34 
ABC vuông tại có là đường cao n n: 
222222 3
4
3
11111
aaaABACAH
 
2
3
4
3 22 aAH
a
AH  Vậy d[ ’, ’ ’ ] 
2
3a
. 
 BÀI TẬP 
Bài 1. ho tứ diện có là tam giác vuông c n đỉnh và 2a,  (ABC) và SA = a. 
 a Tính khoảng cách từ đến mp b Tính khoảng cách từ đến mp 
 c Gọi O là trung điểm của . Tính khoảng cách từ O đến mp 
 d Tính khoảng cách từ đến mp 
Bài 2. ho hình chóp . D có D là hình vuông t m O cạnh a và 
SA  D , a. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng: 
a) SB và CD B) SA và BD C) BD và SC D) AB và SC 
Bài 3. ho hình chóp . D có D là hình vuông t m O cạnh a và 
SO  (ABCD), SO = 2a. 
a) Tính khoảng cách giữa O và D Tính khoảng cách từ O đến mp D 
 Tính khoảng cách giữa và mp D D Tính khoảng cách giữa và D. 
Bài 4.Cho hình laêng truï ABC.ABC coù AA  (ABC) vaø AA = a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = 
a 3 . 
a) Tính khoaûng caùch töø AA ñeán maët phaúng (BCCB). b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (ABC). 
c) Chöùng minh raèng AB  (ACCA) vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (ABC). 
Bài 5.Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = 2a. 
a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). 
a 3
2a
C'
B'
A'
H
a
C
B
A
b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi (SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán 
(SBD). 
Bài 6.Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø 
0
60BAD  . Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. 
Ñöôøng thaúng SO  (ABCD) vaø SO = 
3
4
a
. Goïi E laø trung ñieåm cuûa BC, F laø trung ñieåm cuûa BE. 
a) Chöùng minh (SOF)  (SBC). b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC) 
* NÂNG CAO: 
Bài 7: Trong P cho D là hình vuông cạnh a. Lấy M,N  và D. Đặt 
CM = x, CN = y. Trên At  D lấy . Tìm x,y để: 
a. ((SAM),(SAN)) = 
4

 b. ((SAM),(SMN)) = 
2

Bài 8: Cho  đều và hình vuông D cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của D 
a. Tìm d ,M 
b. Gọi P là mặt phẳng qua và một điểm P bất kì tr n D. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của góc nhị diện giữa P và 
 D , biết thiết diện giữa P và hình chóp là hình thang 
Bài 9: ho hình chóp . đáy là tam giác vuông tại C, SA = SB = SC = BC= a. ASB =1200. K là trung điểm của . 
a. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . B. Tính góc giữa 2 mặt phẳng và . 
c. hứng minh K là đoạn vuông góc chung của và . 
Bài 10: ho hình chóp D, biết D là hình vuông cạnh a,  (ABCD), SA = 3a . 
a. hứng minh SBC,  D là những tam giác vuông. 
b. Điểm M tr n cạnh , đặt M x 0<x<a . Mặt phẳng ) qua M và vuông góc với . Xác định thiết diện của hình chóp 
cắt bởi mặt phẳng . Tính diện tích thiết diện theo a và x. 
c. Tính khoảng cách từ D tới và khoảng cách từ tới D. 
Bài 11: ho hình chóp đều . D cạnh đáy bằng a và t m của đáy là O. Gọi M là trung điểm của . Góc nhọn hợp với 
mặt b n và mặt đáy của hình chóp là . 
a hứng minh mặt phẳng mp OM  (SBC). 
b Tính khoảng cách giữa đuờng thẳng D và mặt phẳng theo a và  
c Gọi là hình chiếu của điểm tr n J với J là điểm bất kì tr n cạnh . Tìm tập hợp điểm khi J di động tr n cạnh . 
Bài 12: Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB  (BCD) vµ AB = a. TÝnh k/c: 
a. Tõ D ®Õn (ABC) ( 3
2
a ) b. Tõ B ®Õn (ACD) ( 21
7
a ) 
Bài 13: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = SB = b. TÝnh kho¶ng 
c¸ch: 
a. Tõ S ®Õn (ABCD)(
2 21 4
2
b a ) b. Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm AB (
5
5
a
)