Bài tập về tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp

BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Câu 1 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC . 
	Chứng minh :
Tứ giác CBMD nội tiếp .
 b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì không đổi 
c) DB . DC = DN . AC 
Cõu2 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD , còn M là trung điểm của cạnh CD . Nối MI kéo dài cắt cạnh AB ở N . Từ B kẻ đường thẳng song song với MN , đường thẳng đó cắt các đường thẳng AC ở E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD , đường thẳng này cắt đường thẳng BD ở F .
Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp .
Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BF và AI . IE = IB2 .
Chứng minh 
Câu 3: Cho đường tròn tâm O . A là một điểm ở ngoài đường tròn , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn , cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C ) . Gọi I là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng 5 điểm A , M , I , O , N nằm trên một đường tròn .
Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F . Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của EF .
Câu 4 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K .
Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân .
Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K .
Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn .
Câu 5 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đường thẳng EC , DF cắt nhau tại P .
Chứng minh rằng : BE = BF .
Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF .
Tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn khi AB = R.
Câu 6 Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB .Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N .
Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB .
Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi .
Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất .
Câu 7
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh 
AB.CD + BC.AD = AC.BD 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E .
Chứng minh : DE//BC .
Câu 8 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD .
Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông .
Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đường tròn 
E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E.
Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .
Câu 9 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB , AC lần lượt tại E và F .
Chứng minh B , C , D thẳng hàng .
Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn .
Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất .
Câu 10 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .
Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
Câu 11	
 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : 
	a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . 
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . 
	c) AC song song với FG . 
	d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . 
Câu 12
	Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 
	1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 
	2) Chứng minh 
	3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . 
Câu 13 
 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N 
	Chứng minh : 
	a) CEFD là tứ giác nội tiếp . 
	b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 
	c) BE . DN = EN . BD 
Bài 14.
Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp 
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành
Bài 15.
Cho đường tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO ; OM tại P và Q.
Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
Chứng minh SA2 = SD. SC. 
Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA.
Cõu16
Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho
 AI = . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.
Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp.
Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE . AC
Chứng minh : AE .AC – AI .IB = AI2.
Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.