Bài toán Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5 (Có đáp án) - Phan Duy Nghĩa

Một phong cách học toán
Phan duy nghĩa
Phó Hiệu Trưởng Trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh.
 Trong học toán, việc tạo được thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán sẽ giúp người học hiểu sâu sắc hơn kiến thức đã học, phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới.
 Tôi tin rằng đó là một phong cách học toán tốt, góp phần tìm kiếm cái mới trong toán học.
 Chúng ta sẽ bắt đầu từ bài toán sau:
 Bài toán: Từ 3 chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau rồi tính nhanh tổng các số vừa lập được.
 Biết rằng: a + b + c = 15.
 (Thi giải toán qua thư, TTT số 35)
 Bài giải: Từ ba chữ số khác nhau và khác 0 ta lập được tất cả 6 số mà mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau, đó là:
 Trong 6 số trên mỗi chữ số xuất hiện ở mỗi hàng số lần là: 6 : 3 = 2 (lần) (lấy số các số lập được chia cho số chữ số), mà a + b + c = 15 nên tổng của 6 số đó là:
+ (a + b + c) x 2 x 1 = (a + b + c) x (200 + 20 + 2) = 222 x (a + b + c)
 = 222 x 15 =3330.
 Nhận xét: Nếu bài toán cho biết tổng của 3 chữ số thì ta tính được tổng của 6 số lập được. Ngược lại nếu cho biết tổng 6 số vừa lập được ta sẽ tính được tổng của 3 chữ số a, b, c. Từ đó ta có bài toán ngược sau (dành cho các bạn tự giải).
 Bài toán 1. Từ 3 chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau rồi tính tổng ba chữ số đó, biết tổng của các số lập được là 3330.
 ở bài toán 1, nếu bổ sung thêm điều kiện cho a, b, c thì ta tính được giá trị của mỗi chữ số a, b, c. Đó chính là bài toán 2.
 Bài toán 2. Cho 3 chữ số a, b, c khác 0 và a > b > c.
 a) Với 3 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
 b) Biết tổng tất cả các số lập được ở trên là 3330, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong các số đó là 594. Hãy tìm 3 chữ số a, b, c.
 Bài giải: a) Có thể lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau.
 b) Trong 6 số trên mỗi chữ số xuất hiện ở mỗi hàng số lần là: 6 : 3 = 2(lần) nên tổng của 6 số lập được là:
(a + b + c) x 2 x 100 + (a + b + c) x 2 x 10 + (a + b + c) x 2 x 1 = (a + b + c) x 222.
 Theo bài ra ta có: (a + b + c) x 222 = 3330.
 Hay a + b + c = 3330 : 222 = 15 (1)
Mặt khác, do a > b > c suy ra số lớn nhất là số bé nhất là .
Theo bài ra ta có: - = 594. Từ đó ta tính được: (a - c) x 99 = 594 hay (a - c) = 6 (2). Từ (2) ta có: a = 6 + c. Vì a ≤ 9 nên c ≤ 3. 
 - Nếu c = 3 thì a = 9 suy ra b = 15 - (9 + 3) = 3 (loại vì b = c).
 - Nếu c = 2 thì a = 8 suy ra b = 15 - (8 + 2) = 5 (thích hợp).
 - Nếu c = 1 thì a = 7 suy ra b = 15 - (7 + 1) = 7 (loại vì a = b).
Vậy ta tìm được a = 8, b = 5, c = 2.
 Đặc biệt nếu ba chữ số a, b, c cách đều nhau thì ta có thêm một cách nữa tính tổng các số vừa lập được.
 Bài toán 3. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đó. Tính nhanh tổng các số vừa lập được. 
 Bài giải: Ta sẽ lập được tất cả là: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số).
Cách 1. Trong 24 số đó, mỗi chữ số 1; 2; 3; 4 đều xuất hiện ở các hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị) với số lần như nhau là: 24 : 4 = 6 (lần) nên tổng của 24 số đó là:
(1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 1000 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 100 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 10 + 
(1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 1 = 60 x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 = 66660.
Cách 2. Tập hợp 24 số trên luôn nhóm được thành 12 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng các chữ số cùng hàng là 5 và tổng của mỗi cặp số đó luôn bằng nhau là 5555. Từ đó ta tính được tổng của 24 số trên là: 12 x 5555 = 66660.
 Như vậy từ một bài toán chúng ta đã khai thác, phát triển ra các bài toán mới. Con đường mở rộng này là một phong cách học toán mà các bạn cần rèn luyện.
 Chúc các bạn thành công!
___________________________________________________________________
 k hi giải xong một bài toán nhiều bạn coi như là xong việc. Thật là đáng tiếc vì các bạn đã bỏ lỡ một cơ hội rèn luyện và khám phá cho mình. Bao giờ các bạn cũng nên tự đặt ra câu hỏi: Còn cách giải nào không? Khi đó các bạn sẽ thấy nhiều điều thú vị.
 Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài toán sau:
 Bài toán: Tính nhanh:
 + + + + + 
 (Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001)
 Bài giải: Cách 1.
 Ta có: = - ; = - ; = - ; = - ; = - ; 
 = - .
 Ta có: + + + + + = ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) = - + - + - + - + - + - = - = - = .
 Cách 2. Đặt: S = + + + + + (1)
 Khi đó ta có: S x 2 = ( + + + + + ) x 2 = + + + + + = + + + + + (2)
Lấy (2) trừ cho (1), ta được: S x 2 - S = ( + + + + + ) - ( + + + + + ).
 S = + + + + + - - - - - - .
 S = - = - = .
 Cách 3. Đặt: S = + + + + + (1)
 Khi đó ta có: S = x ( + + + + + ).
 Hay: S = x ( + S - ) = x (S + ). Suy ra: 2 x S = S + .
 Vậy S = 
 Cách 4. Đặt: S = + + + + + (1)
S x = ( + + + + + ) x = + + + + + (2)
Lấy (1) trừ cho (2) ta được: S - = ( + + + + + ) - ( + + + + + ).
 = + + + + + - - - - - - = - .
 = - = . Vậy: S = x 2 = .
 Cách 5. Ta có: + + + + + = + + + + + = = .
 Cách 6. Cộng thêm vào biểu thức đã cho, ta có:
 S + = + + + + + + .
 Nhận xét: + = ; = 1 - . Do đó: + = 1 - .
 + + = ; = 1 - . Do đó: + + = 1 - .
 + + + = ; = 1 - . Do đó: + + + = 1 - .
 Theo quy luật đó thì có: S + = + + + + + + = 1 - .
 Vậy S = - = = .
 Cách 7. Ta có: = 2 x ; = 2 x ; = 2 x ; = 2 x ; = 2 x ; = 1 x .Vậy S = 1 x + 2 x + 4 x + 8 x + 16 x + 32 x = (32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) x = 63 x = .
 Cách 8. Đặt: S = + + + + + 
 Khi đó ta có: S = + x ( + + + + ) = + x (S - )
Hay: S = + x (S - ). Suy ra: S - = - . Vậy S = x 2 = .
 Bây giờ các bạn hãy thử sức mình với bài toán sau nhé:
 Tính nhanh biểu thức sau:
 A = + + + + + .
 (Thi HSG lớp 5 tỉnh Quảng Ngãi, năm 2001)