Bài toán đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quả

Bài toán đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quả
Trên Web diendantoanhoc, tác giả Đào Thanh Oai có bài “CM 1 bài toán hình và các hệ quả”.
NST thấy đây là bài toán hay xin giới thiệu đến các bạn như một chuyên đề hình học lí thú.
Bài toán: CMR
Hai đường thẳng a và b cắt hai đường tròn tại tám điểm A1,A2,A3,A4  và B1,B2,B3,B4  như hình vẽ. 
Các đường thằng A1,B1 giao với A2,B2 tại M1; A3,B3 giao với A4,B4  tại M2 khi đó ta có:
РA1M1A2ˆ= ÐA3M2A4ˆ
Chứng minh bài toán
CóРM1B2B1ˆ=ÐM2A3A4ˆ Do tứ giác  A2A3B3B2 nội tiếp.
Và ÐM1B1B2ˆ=1/2ÐA1B4˜=1/2.(360−ÐA1B1B4˜)=180*1/2ÐA1B1B4˜
 =180 −ÐA1A4B4ˆ=ÐM2A4A3ˆ
Nên ta có:
ÐB1M1B2ˆ=180o−ÐM1B1B2ˆ−ÐM1B2B1ˆ=180o−ÐM2A3A4ˆ−ÐM2A4A3ˆ=A3M2A4ˆ 
 Mà ÐB1M1B2 = РA1M1A2 ÞРA1M1A2ˆ= ÐA3M2A4
II.-Các hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1:
Bốn điểm A,B,C,D nằm trên đường tròn tâm O2, đường tròn tâm O1 tiếp xúc với hai đường thẳng AD và BC lần lượt tại M và N. AB cắt CD tại I khi đó phân giác РAID  song song với MN (Hình 2)
Chứng minh:
Đường thẳng AD là đường thẳng a, đường thẳng BC là đường thẳng b. Điểm A1≡A, điểm A4≡D; Điểm B1≡B, điểm B4≡C; điểm A2≡A3≡M và B2≡B3≡N Theo bài toán trên ta có góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng AB bằng góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng DC do vậy phân giác góc ÐAIDˆsong song với MN.’
Hệ quả 2:
Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp DABC cắt BC tại I, tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với AB,AC tại M và N. Khi đó ta có MN song song với phân giác ÐAIBˆ
(Hình 3)
Chứng minh:
Đường thẳng AC là đường thẳng a, đường thẳng AB là đường thẳng b. Điểm A1≡B1≡A, điểm A4≡C; Điểm B4≡B, điểm A2≡A3≡M và B2≡B3≡N Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng MN và đường thẳng AI bằng góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng CB do vậy phân giác РAIDˆ song song với MN.
Hệ quả 3: 
Đường tròn tâm O và tâm O1 cắt nhau tại C và B điểm A trên đường tròn tâm O, AC và AB giao với đường tròn tâm O tại M và N. Khi đó tiếp tuyến tại A sẽ song song với MN
Chứng minh:
Đường thẳng AB là đường thẳng a, đường thẳng NC là đường thẳng b. Điểm A1≡M, điểm B1≡N; Điểm A4≡B4≡A, điểm A2≡A3≡B và B2≡B3≡C. 
Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng MN và đường thẳng CB sẽ bằng góc tạo bởi tiếp tuyến tại A và đường thẳng BC do vậy đường thằng MN sẽ song song với tiếp tuyến tại A.
Hệ quả 4 Định lý Reim
	(Phần này tác giả không CM)
Hệ quả 5:
 Đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại đỉnh A cắt hai cạnh AB,AC của tam giác tại M và N thì MN song song BC.
Chứng minh:
Đường thẳng AB là đường thẳng a, đường thẳng AC là đường thẳng b. Điểm A1≡A2≡B1≡B2≡A; Điểm A3≡M, điểm B3≡N và A4≡B và B4≡C .
Theo bài toán trên ta có góc tạo bởi hai đường thẳng A1B1 và A2B2 bằng 0 nên góc tạo bởi MN và BC cũng bằng 0 nghĩa là đường thẳng MN song song với BC
Hệ quả 6:
Một đường thẳng cắt hai đường tròn tại A,B,C,D như hình vẽ (Hình 7) thì góc hợp bởi đường thẳng tiếp tuyến tại A và B bằng góc hợp bởi hai đường thẳng tiếp tuyến tại C và D
Hệ quả 7: 
Hai đường thẳng tiếp xúc nhau tại A, một đường thẳng đi qua điểm A cắt hai đường tròn tại A1 và A2 thì tiếp tuyến tại của hai đường tròn tại A1 và A2 song song với nhau (Hình 8)
PHH sưu tầm, chỉnh lí hình và kí hiệu toán học để dễ dùng trong Word
 Nguồn Web diendantoanhoc