Bài toán liên quan đến hàm số

Bài toán liên quan đến hàm số 
 Editted by: Tạ Văn Trai. 0975.055.369 
 
1
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 
Bài 1. Cho hàm số ( )3 23 3 1y x x x= − − + 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 . 
b) Từ đố hãy tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình: ( )2sin 3 cost t m− = có ít 
nhất một nghiệm. 
Bài 2. Cho hàm số 3 23 6 1y x mx mx= − + + ( )1 ; m là tham số, đồ thị là ( )mC 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số với 1m = . 
b. Với giá trị nào của hàm số thì hàm số ( )1 luôn đồng biến? và với giá trị nào của m thì 
hàm số nghịch biến trong khoảng ( )1;0− 
c. Chứng minh rằng ( )mC luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 
Bài 3. Cho hàm số: ( ) ( )
2 3 3 1
2 1
x xy
x
− + −= − . Tìm m để y m= cắt đồ thị hàm số ( )1 tại hai điểm 
phân biệt ,A B sao cho 1AB = . 
Bài 4. Cho hàm sô: ( )2 1
1
mx x my
x
+ += − . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm 
phân biệt và có hoành độ dương. 
Bài 5. Cho hàm số: 
2
1
xy
x
= − . Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ 
thị hàm số và tiếp xúc với đường thẳng 1
2
y = − . 
Bài 6. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 2 1 cosy m x m x= − − + luôn nghịch biến trên R . 
Bài 7. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 3
3
xy m x m x= − + − + + tăng trên khoảng ( )0;3 . 
Bài 8. Tìm m để hàm số ( )22 1x m x my
x m
+ − += − + nghịch biến trong khoảng ( )2;+∞ . 
Bài 9. Cho hàm số 
2 1
1
x xy
x
+ −= − 
a. Tìm m để y x m= − + cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt. Khi đó, chứng minh rằng hai 
điểm đều thuộc một nhánh của đồ thị. 
b. Tìm các điểm trên đồ thị mà tọa độ của chúng đều là số nguyên. 
Bài toán liên quan đến hàm số 
 Editted by: Tạ Văn Trai. 0975.055.369 
 
2
Bài 10. Cho hàm số ( ) ( )3 21 2 1 2. 1
3
y x mx m x m= − + + + − + 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với 1m = − ( )C . 
b. Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
5.y x+ = 
Bài 11. Cho hàm số ( )3 23 3 1 . 1y x x mx m= − + + − 
a. Với giá trị nào của m thì hàm số ( )1 có cực trị. 
b. Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; , ;M x y M x y tương ứng là các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Chứng 
minh rằng: ( )( )1 21 2 1 2 21
y y
x x x x
− =− − . 
Bài 12. Cho hàm số ( )3 23 3 3 4. my x x mx m C= − + + + − 
a. Viết phương trình tiếp tuyến với ( )mC tại giao điểm của ( )mC và trục tung. 
b. Tìm giá trị của m để ( )mC nhận ( )1;2I làm điểm uốn. 
c. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = . 
Bài 13. Cho hàm số ( ) ( ) ( )2 21 1 , .y x x C= + − 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( )22 1 2 1 0x m− − + = 
c. Tìm b để Parabol 22y x b= + tiếp xúc với ( )C . Lập phương trình tiếp tuyến chung của 
chúng tại tiếp điểm. 
Bài 14. Cho hàm số ( ) 4 22 2 1y f x x mx m= = − + − + , ( ).mC 
a. Biện luận theo m số cực trị của hàm số ( )f x . 
b. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số với 5.m = 
c. Xác định m sao cho ( )mC cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tạo thành 
cấp số cộng. 
Bài 15. Cho hàm số: ( )3 23 2,y x x C= − + . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C . 
b. Qua điểm ( )1;0A có thể kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ( )C . Hãy viêt phương trình 
các tiếp tuyến ấy. 
c. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị ( )C song song với tiếp tuyến 
đi qua ( )1;0A của đồ thị ( )C ở câu trên. 
Bài toán liên quan đến hàm số 
 Editted by: Tạ Văn Trai. 0975.055.369 
 
3
Bài 16. Cho hàm số ( ) ( )1 , .mm x my Cx m
+ += + 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hảm số với 1.m = 
b. Tìm những điểm trên đồ thị ( )C có tổng khoảng cách tới hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
c. Lập phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
2008y x= + . 
Bài 17. Cho hàm số ( )13 ,
1
y x C
x
= − − − 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b. Chứng minh rằng ( )C nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
c. Tìm m để đường thẳng ( ) : 1d y mx= + cắt ( )C tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. 
d. Tìm trên ( )C những điểm có tọa độ nguyên. 
Bài 18. Cho hàm số 
2 2 2x mx my
x m
− + += − 
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến với 1x > . 
b. Khảo sát và vẽ đồ thị với 1m = . 
c. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 
2 2 3
1
x x
a
x
− + =− . 
Bài 19. Cho hàm số ( ) ( )2 4 ,
1 m
x x my f x C
x
− += = − 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 4m = . 
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 2x = . 
c. Tìm m để hàm số ( )f x luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 
Bài 20. Cho hàm số 
22 3
1
x x my
x
− += − 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị khi 2.m = 
b. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho là tăng trên khoảng ( )3;+∞ . 
Bài 21. Cho hàm số ( ) ( )2 3 3 ,
1
x xy f x C
x
− += = − 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C 
b. Biện luận theo m vị trí tương đối của ( )C và đường thẳng ( ) : 3 0d x y m− + = . 
c. Trong trường hợp ( )d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,M N . Tìm tập hợp trung điểm 
đoạn MN .