Bảng công thức lượng giác và các phương trình lượng giác cơ bản

Cụng thức lượng giỏc - LTĐH Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi 1
A/ CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. Hệ thức cơ bản 
2 2sin cos 1x x+ = tan .cot 1x x = 
sintan
cos
xx
x
= 2
2
11 tan
cos
x
x
+ = 
coscot
sin
xx
x
= 2
2
11 cot
sin
x
x
+ = 
2. Cỏc cung liờn kết: 
sin( ) sinx x- = - tan( ) tanx x- = - 
os( ) cosc x x- = cot( ) cotx x- = - 
sin( ) sinx xp - = tan( ) tanx xp - = - 
os( ) cosc x xp - = - cot( ) cotx xp - = - 
sin cos
2
x xp
ổ ử
- =ỗ ữ
ố ứ
 tan cot
2
x xp
ổ ử
- =ỗ ữ
ố ứ
cos sin
2
x xp
ổ ử
- =ỗ ữ
ố ứ
 cot tan
2
x xp
ổ ử
- =ỗ ữ
ố ứ
sin( ) sinx xp+ = - tan( ) tanx xp+ = 
os( ) cosc x xp+ = - cot( ) cotx xp+ = 
sin cos
2
x xp
ổ ử
+ =ỗ ữ
ố ứ
 tan cot
2
x xp
ổ ử
+ = -ỗ ữ
ố ứ
cos sin
2
x xp
ổ ử
+ = -ỗ ữ
ố ứ
 cot tan
2
x xp
ổ ử
+ = -ỗ ữ
ố ứ
3. Cụng thức cộng: 
sin( ) sin cos cos sinx y x y x y± = ± 
cos( ) cos cos sin sinx y x y x y± = m 
tan tantan( )
1 tan tan
x yx y
x y
±
± = m 
4. Cụng thức nhõn đụi, hạ bậc 
sin2 2sin cosx x x= 
2
2 tantan2
1 tan
xx
x
=
-
2 1 cos2sin
2
xx -= 
2 2
2
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
x x x
x
x
= -
= -
= -
2 1 cos2cos
2
xx += 
5. Cụng thức nhõn ba, hạ bậc: 
3sin3 3sin 4cosx x x= - 3
3sin sin3sin
4
x xx -= 
3cos3 4cos 3cosx x x= - 3
3cos cos3cos
4
x xx += 
6. Cụng thức biểu diễn sin , cos , tanx x x theo tan
2
x
t = : 
2
2sin
1
tx
t
=
+
2
2
1cos
1
tx
t
-
=
+
2
2tan
1
tx
t
=
-
7. Cụng thức biến đổi: 
a. Tổng thành tớch: 
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
sin( ) sin( )* tan tan * cot cot
cos cos sin sin
sin( )* tan tan * cot -
cos cos
x y x yx y
x y x yx y
x y x yx y
x y x yx y
x y x yx y x y
x y x y
x yx y x
x y
+ -
+ =
+ -
- = -
+ -
+ =
+ -
- =
+ +
+ = + =
-
- =
sin( )cot
sin sin
y xy
x y
-
=
Đặc biệt: 
2
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
1 sin2 (sin cos )
x x x x
x x x x
x x x
p p
p p
ổ ử ổ ử
+ = + = -ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử
- = - = +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
± = ±
b. Tớch thành tổng: 
1cos cos cos( ) cos( )
2
1sin sin cos( ) cos( )
2
1sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
ộ ự= + + -ở ỷ
ộ ự= - + - -ở ỷ
ộ ự= + + -ở ỷ
9. Một số cụng thức đặc biệt: 
4 4 21sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = - 
6 6 23sin cos 1 sin 2
4
x x x+ = - 
1 tan tan
1 tan 4
x x
x
pổ ử+
= +ỗ ữ- ố ứ
4 4sin cos cos2x x x- = 
6 6 1sin cos 1 sin2
2
x x x- = - 
1 tan tan
1 tan 4
x x
x
pổ ử-
= -ỗ ữ+ ố ứ
Cụng thức lượng giỏc - LTĐH Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi 2
B/ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC 
1. Phương trỡnh cơ bản: 
* 
2
sin sin ( )
2
x k
x k
x k
a p
a
p a p
ộ = +
= Û ẻờ = - +ở
 
Đặc biệt: 
 sin 1 2
2
x x kp p= Û = + sin 1 2
2
x x kp p= - Û = - + 
 sin 0x x kp= Û = 
* 
2
cos cos ( )
2
x k
x k
x k
a p
a
a p
ộ = +
= Û ẻờ = - +ở
 
Đặc biệt: 
 cos 1 2x x k p= Û = cos 1 2x x kp p= - Û = + 
 cos 0
2
x x kp p= Û = + 
* tan tan ( )x x k ka a p= Û = + ẻÂ 
* cot cot ( )x x k ka a p= Û = + ẻÂ 
2. Phương trỡnh bậc n theo một hàm số lượng giỏc: 
Dạng: 11 1 0sin sin ... sin 0n nn na x a x a x a--+ + + + = , trong đú 
sin x cú thể là cos x , tan x hoặc cot x . 
Cỏch giải: 
Đặt sint x= , khi đú phương trỡnh đó cho trở thành: 
1
1 1 0... 0
n n
n na t a t a t a
-
-+ + + + = 
Chỳ ý: 
Nếu sint x= hoặc cost x= thỡ ta cú điều kiện 1;1t ộ ựẻ -ở ỷ 
3. Phương trỡnh bậc nhất theo sin x và cos x : 
Dạng: sin cosa x b x c+ = , với điều kiện 0ab ạ 
Điều kiện của pt cú nghiệm là: 2 2 2a b c+ ³ 
Cỏch giải: 
Chia cả hai vế của phương trỡnh cho 2 2a b+ và sau đú đưa 
về phương trỡnh lượng giỏc cơ bản. 
4. Phương trỡnh đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x : 
Dạng: 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = 
Cỏch giải: 
- Kiểm tra xem cos 0x = cú thỏa món pt hay khụng? 
- Nếu khụng thỏa món, ta chia cả hai vế của pt cho 2cos x ta 
được pt: 2 2tan tan (1 tan )a x b x c d x+ + = + 
 2( ) tan tan ( ) 0a d x b x c dÛ - + + - = 
Đặt tant x= , khi đú pt trở thành: 2( ) 0a d t bt c d- + + - = 
Chỳ ý: Khi cos 0x = thỡ ta cú: 2sin 1x = 
5. Phương trỡnh đối xứng: 
Dạng: (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c± + + = 
Cỏch giải: 
- Đặt sin cost x x= ± , với 2; 2t ộ ựẻ -ở ỷ . Khi đú ta cú: 
2 211 2sin cos sin cos ( 1)
2
t x x x x t= ± ị = ± - 
- Thay vào pt đó cho ta được pt bậc hai đối với ẩn t