Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r

Bất đẳng thức Schur và phương phỏp đổi
biến p,q,r
Vừ Thành Văn
Lớp 11 Toỏn-Khối chuyờn THPT-ĐHKH Huế
Nhữ cĂc bÔn  biát, bĐt ¯ng thực Schur l  mởt bĐt ¯ng thực mÔnh v  cõ nhiãu ựng dửng, tuy nhiản nõ văn
cỏn khĂ xa lÔ vợi nhiãu bÔn hồc sinh THCS cụng nhữ THPT. Qua b i viát n y, tổi muốn cụng cĐp thảm cho
cĂc bÔn mởt kắ thuêt º sỷ dửng tốt BDT Schur, õ l  kát hủp vợi phữỡng phĂp ời bián p; q; r.
Trữợc hát, tổi xin nhưc lÔi vã bĐt ¯ng thực Schur v  phữỡng phĂp ời bián p; q; r.
1 Bất đẳng thức Schur
ành lỵ 1 (BĐt ¯ng thực Schur) Vợi mồi số thỹc khổng Ơm a; b; c; k; ta luổn cõ
ak(a b)(a c) + bk(b c)(b a) + ck(c a)(c b)  0:
Hai trữớng hủp quen thuởc ữủc sỷ dửng nhiãu l  k = 1 v  k = 2
a(a b)(a c) + b(b c)(b a) + c(c a)(c b)  0 (i)
a2(a b)(a c) + b2(b c)(b a) + c2(c a)(c b)  0 (ii)
2 Phương phỏp đổi biến p; q; r
ối vợi mởt số b i bĐt ¯ng thực thuƯn nhĐt ối xựng cõ cĂc bián khổng Ơm thẳ ta cõ thº ời bián lÔi nhữ sau
°t p = a+ b+ c; q = ab+ bc+ ca; r = abc: V  ta thu ữủc mởt số ¯ng thực sau
ab(a+ b) + bc(b+ c) + ca(c+ a) = pq  3r
(a+ b)(b+ c)(c+ a) = pq  r
ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) = p2q  2q2  pr
(a+ b)(a+ c) + (b+ c)(b+ a) + (c+ a)(c+ b) = p2 + q
a2 + b2 + c2 = p2  2q
a3 + b3 + c3 = p3  3pq + 3r
a4 + b4 + c4 = p4  4p2q + 2q2 + 4pr
a2b2 + b2c2 + c2a2 = q2  2pr
a3b3 + b3c3 + c3a3 = q3  3pqr + 3r2
a4b4 + b4c4 + c4a4 = q4  4pq2r + 2p2r2 + 4qr2
°t L = p2q2 + 18pqr  27r2  4q3  4p3r; khi õ
a2b+ b2c+ c2a =
pq  3r pL
2
(a b)(b c)(c a) = 
p
L
1
3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cõ thº thĐy ngay lủi ẵch cừa phữỡng phĂp n y l  mối r ng buởc giỳa cĂc bián p; q; r m  cĂc bián a; b; c ban
Ưu khổng cõ nhữ
p2  3q
p3  27r
q2  3pr
pq  9r
2p3 + 9r  7pq
p2q + 3pr  4q2
p4 + 4q2 + 6pr  5p2q
Nhỳng kát quÊ trản Ơy chưc chưn l  chữa ừ, cĂc bÔn cõ thº phĂt triºn thảm nhiãu ¯ng thực, bĐt ¯ng thực
liản hằ giỳa 3 bián p; q; r. V  iãu quan trồng m  tổi muốn nõi án l  tứ bĐt ¯ng thực (i) v  (ii), ta cõ
r  p(4q  p
2)
9
(tứ (i))
r  (4q  p
2)(p2  q)
6p
(tứ (ii))
Tuy nhiản trong mởt số trữớng hủp thẳ cõ thº cĂc Ôi lữủng 4q  p2cõ thº nhên giĂ trà Ơm lăn giĂ trà dữỡng
nản ta thữớng sỷ dửng
r  max

0;
p(4q  p2)
4

r  max

0;
(4q  p2)(p2  q)
6p

Cõ l³ án Ơy cĂc bÔn  hiºu ữủc phƯn n o vã bĐt ¯ng thực Schur v  phữỡng phĂp ời bián p; q; r. Sau Ơy
l  mởt số vẵ dử minh hồa, những trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ rỗi xem Ăp Ăn sau
3 Cỏc vớ dụ minh họa
3.1 Bất đẳng thức Schur
Vẵ dử 1 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơngs
(a+ b)3
8ab(4a+ 4b+ c)
+
s
(b+ c)3
8bc(4b+ 4c+ a)
+
s
(c+ a)3
8ca(4c+ 4a+ b)
 1:
(Vó Th nh Vôn)
LÍI GIƒI. °t
P =
s
(a+ b)3
8ab(4a+ 4b+ c)
+
s
(b+ c)3
8bc(4b+ 4c+ a)
+
s
(c+ a)3
8ca(4c+ 4a+ b)
Q = 8ab(4a+ 4b+ c) + 8bc(4b+ 4c+ a) + 8ca(4c+ 4a+ b)
= 32(a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) 72abc
p dửng bĐt ¯ng thực Holder, ta cõ
P 2 
Q  8(a+ b+ c)3
c
Vừ Thành Văn
2
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ta cƯn chựng minh
8(a+ b+ c)3  Q
, 8(a+ b+ c)3  32(a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) 72abc
, (a+ b+ c)3  4(a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) 9abc (úng theo bĐt ¯ng thực Schur).
Vêy ta cõ pcm. 
Vẵ dử 2 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  9(ab+ bc+ ca):
(APMO 2004)
LÍI GIƒI. Khai triºn bĐt ¯ng thực trản, ta cƯn chựng minh
a2b2c2 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 4(a2 + b2 + c2) + 8  9(ab+ bc+ ca)
Ta cõ
a2 + b2 + c2  ab+ bc+ ca
(a2b2 + 1) + (b2c2 + 1) + (c2a2 + 1)  2(ab+ bc+ ca)
a2b2c2 + 1 + 1  3 3
p
a2b2c2  9abc
a+ b+ c
 4(ab+ bc+ ca) (a+ b+ c)2 (theo bĐt ¯ng thực Schur)
p dửng cĂc bĐt ¯ng thực trản, ta cõ
(a2b2c2 + 2) + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 3) + 4(a2 + b2 + c2)
 2(ab+ bc+ ca) + 4(ab+ bc+ ca) + 3(a2 + b2 + c2)
 9(ab+ bc+ ca):
BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1: 
Vẵ dử 3 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
2(a2 + b2 + c2) + abc+ 8  5(a+ b+ c):
(TrƯn Nam Dụng)
LÍI GIƒI. Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM, ta cõ
6V T = 12(a2 + b2 + c2) + 3(2abc+ 1) + 45 5 
 2 
 3(a+ b+ c)
 12(a2 + b2 + c2) + 9 3
p
a2b2c2 + 45 5 (a+ b+ c)2 + 9
= 7(a2 + b2 + c2) +
9abc
3
p
abc
 10(ab+ bc+ ca)
 7(a2 + b2 + c2) + 27abc
a+ b+ c
 10(ab+ bc+ ca)
M°t khĂc, sỷ dửng bĐt ¯ng thực Schur,
9
a+ b+ c
 4(ab+ bc+ ca) (a+ b+ c)2 = 2(ab+ bc+ ca) (a2 + b2 + c2)
c
Vừ Thành Văn
3
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Do õ
7(a2 + b2 + c2) +
27
a+ b+ c
 10(ab+ bc+ ca)
 7(a2 + b2 + c2) + 6(ab+ bc+ ca) 3(a2 + b2 + c2) 10(ab+ bc+ ca)
= 4(a2 + b2 + c2  ab bc ca)  0:
BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1: 
Vẵ dử 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
b3 + c3
+
b
a3 + c3
+
c
a3 + b3
 18
5(a2 + b2 + c2) ab bc ca :
(Michael Rozenberg)
LÍI GIƒI. BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợiX
cyc
a(a+ b+ c)
b3 + c3
 18(a+ b+ c)
5(a2 + b2 + c2) ab bc ca
,
X
cyc
a2
b3 + c3
+
X
cyc
a
b2 + c2  bc 
18(a+ b+ c)
5(a2 + b2 + c2) ab bc ca
p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõX
cyc
a2
b3 + c3
 (a
2 + b2 + c2)2P
cyc
a2(b3 + c3)
X
cyc
a
b2 + c2  bc 
(a+ b+ c)2P
cyc
a(b2 + c2  bc)
Ta cƯn chựng minh
(a2 + b2 + c2)2P
cyc
a2(b3 + c3)
+
(a+ b+ c)2P
cyc
a(b2 + c2  bc) 
18(a+ b+ c)
5(a2 + b2 + c2) ab bc ca
GiÊ sỷ a+ b+ c = 1 v  °t ab+ bc+ ca = q; abc = r ) r  max
n
0; (4q1)(1q)6
o
. Ta cƯn chựng minh
(1 2q)2
q2  (q + 2)r +
1
q  6r 
18
5 11q
BĐt ¯ng thực cuối dạ d ng chựng minh bơng cĂch x²t 2 trữớng hủp 1  4q v  4q  1.
¯ng thực xÊy ra khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 ho°c cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
Vẵ dử 5 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a4 + b4 + c4 = 3. Chựng minh rơng
1
4 ab +
1
4 bc +
1
4 ca  1:
(Moldova TST 2005)
c
Vừ Thành Văn
4
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
LÍI GIƒI. Quy ỗng mău số rỗi khai triºn, ta cƯn chựng minh
49 8(ab+ bc+ ca) + (a+ b+ c)abc  64 16(ab+ bc+ ca) + 4(a+ b+ c)abc a2b2c2
, 16 + 3(a+ b+ c)abc  a2b2c2 + 8(ab+ bc+ ca)
p dửng bĐt ¯ng thực Schur v  giÊ thiát a4 + b4 + c4 = 3, ta cõ
(a3 + b3 + c3 + 3abc)(a+ b+ c)  [ab(a+ b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)] (a+ b+ c)
, 3 + 3abc(a+ b+ c)  (ab+ bc)2 + (bc+ ca)2 + (ca+ ab)2
p dửng bĐt ¯ng thực AM-GM, ta cõ
(ab+ bc)2 + (bc+ ca)2 + (ca+ ab)2 + 12  8(ab+ bc+ ca)
) 15 + 3abc(a+ b+ c)  8(ab+ bc+ ca)
M°t khĂc ta lÔi cõ
1  a2b2c2:
Vêy ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1: 
Vẵ dử 6 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab+ bc+ ca = 3: Chựng minh rơng
a3 + b3 + c3 + 7abc  10:
(Vasile Cirtoaje)
p dửng bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
r  max

0;
p(4q  p2)
9

= max

0;
p(12 p2)
9

Ta cƯn chựng minh
p3  9p+ 10r  10
Náu p  2p3 thẳ ta cõ
p3  9p+ 10r  10  p3  9p 10  12p 9p 10 = 3p 10 > 0
Náu p  2p3 < 4 thẳ
p3  9p+ 10r  10  p3  9p+ 10
9
p(12 p2) 10 = 1
9
(p 3)[(16 p2) + 3(4 p) + 2]  0:
Vêy ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1.
Vẵ dử 7 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 3: Chựng minh rơng
3 +
12
abc
 5

1
a
+
1
b
+
1
c

:
(Vó Th nh Vôn)
c
Vừ Thành Văn
5
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
LÍI GIƒI. ời bián theo p; q; r, bƠt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau
3r + 12  5q
M°t khĂc,theo bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
3r  3p(4q  p
2)
9
= 4q  9
Ta cƯn chựng minh
4q  9 + 12  5q
, q  3 (úng).
Vêy ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1: 
Vẵ dử 8 Cho a; b; c l  cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn a2 + b2 + c2 = 3. Chựng minh rơng
1
2 a +
1
2 b +
1
2 c  3:
(PhÔm Kim Hũng)
Quy ỗng, rút gồn v  ời bián theo p; q; r, bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
8p+ 3r  12 + 5q
p dửng bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
3r  p(4q  p
2)
3
=
p(2q  3)
3
Tứ giÊ thiát
p2  2q = 3
) q = p
2  3
2
Thay 2 iãu trản v o bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh, ta cõ
8p+
p(p2  6)
3
 12 + 5(p
2  3)
2
, (2p 3)(p 3)2  0
BĐt ¯ng thực cuối úng nản ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1:
Vẵ dử 9 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 3: Chựng minh rơng
1
9 ab +
1
9 bc +
1
9 ca 
3
8
:
(Crux mathematicorum)
LÍI GIƒI. B i n y  ữủc anh Hũng sỷ dửng cho phƯn bĐt ¯ng thực Chebyshev trong cuốn "SĂng tÔo bĐt
¯ng thực". BƠy giớ cĂc bÔn s³ ữủc thĐy mởt lới giÊi khĂc vợi bĐt ¯ng thực Schur v  phữỡng phĂp ời bián
p; q; r rĐt tỹ nhiản.
Bián ời bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh v  chuyºn vã dÔng p; q; r, ta cõ
8(243 18p+ 3r)  3(729 81q + 27r  r2)
c
Vừ Thành Văn
6
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
, 243 99q + 57r  3r2  0
Theo bĐt ¯ng thực AM-GM thẳ
3 = 3

a+ b+ c
3
6
 3(abc)2 = r2
Theo bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
r  p(4q  p
2)
3
=
4q  9
3
) 57r  19(4q  9)
Nản ta cƯn chựng minh
72 23q  3r2  0
, 3(1 r2) + 23(3 q)  0 (úng).
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thực xÊy ra khi v  chi khi a = b = c = 1: 
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r
Vẵ dử 10 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 3: Chựng minh rơng
a2b
4 bc +
b2c
4 ca +
c2a
4 ab  1:
(PhÔm Kim Hũng)
LÍI GIƒI. Quy ỗng mău số rỗi khai triºn, ta cƯn chựng minh
4
X
cyc
a2b 
X
cyc
a2b2c
4 bc
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực quen thuởc 4P
cyc
a2b  abc, ta cƯn chựng minh
abc 
X
cyc
a2b2c
4 bc
, 1 
X
cyc
ab
4 bc
, 64 32
X
cyc
ab+ 8
X
cyc
a2bc+ 4
X
cyc
a2b2  abc
 X
cyc
a2b+ abc
!
Tiáp tửc sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản,ta cƯn chựng minh
64 32
X
cyc
ab+ 8
X
cyc
a2bc+ 4
X
cyc
a2b2  4abc
, 16 8q + q2  r  0
vợi q = ab+ bc+ ca; r = abc.
p dửng bĐt ¯ng thực AM-GM, ta cõ q2  9r nản cƯn chựng minh
16 8q + q2  q
2
9
 0
, (q  3)(q  6)  0:
BĐt ¯ng thực cuối hiºn nhiản úng nản ta cõ pcm.
¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 2; b = 1; c = 0 ho°c cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
c
Vừ Thành Văn
7
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẵ dử 11 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
1
a
+
1
b
+
1
c
 3a
a2 + 2bc
+
3b
b2 + 2ca
+
3c
c2 + 2ab
:
(Dữỡng ực LƠm)
°t a := 1a ; b :=
1
b ; c :=
1
c ; bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợiX
cyc
a  3abc
X
cyc
1
2a2 + bc
,
X
cyc
a(a2  bc)
2a2 + bc
 0
, 3
X
cyc
a3
2a2 + bc

X
cyc
a
p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ
X
cyc
a3
2a2 + bc

 P
cyc
a2
!2
2
P
cyc
a3 + 3abc
án Ơy, ta cƯn chựng minh
3
 X
cyc
a2
!2

 X
cyc
a
! 
2
X
cyc
a3 + 3abc
!
GiÊ sỷ a+ b+ c = 1; chuyºn vã dÔng p; q; r, bĐt ¯ng thực trð th nh
3(1 2q)2  2 6q + 9r
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực q2  3r; ta cƯn chựng minh
3(1 2q)2  2 6q + 3q2
, 3 12q + 12q2  2 6q + 3q2
, (1 3q)2  0 (úng):
Vêy ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c:
Vẵ dử 12 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng
a4(b+ c) + b4(c+ a) + c4(a+ b)  1
12
(a+ b+ c)5:
(Vasile Cirtoaje)
LÍI GIƒI. Chuân hõa cho p = 1, bĐt ¯ng thực trð th nh
(1 3q)q + (5q  1)r  1
12
án Ơy ta sỷ dửng mởt thừ thuêt khi dũng bĐt ¯ng thực Schur, õ l  chia trữớng hủp º giÊi quyát
c
Vừ Thành Văn
8
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Náu q  15 thẳ ta cõ
(1 3q)q + (5q  1)r  (1 3q)q = 1
3
(1 3q) 
 3q  1
3

1 3q + 3q
2
2
=
1
12
Náu q > 15 ; ta cõ
(1 3q)q + (5q  1)r  (1 3q)q + (5q  1) 
 q
9
=
1
36
(88q2 + 32q  3) + 1
12
<
1
12
:
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
¯ng thực xÊy ra khi a = 0; b = 3+
p
3
6 ; c =
3p3
6 v  cĂc hoĂn và 
Vợi kắ thuêt x²t trữớng hủp º giÊi, chúng ta cõ thº dạ d ng giÊi quyát cĂc b i toĂn sau
B i toĂn 1 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 1: Chựng minh rơng
(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2)  1
32
:
HìẻNG DˆN. NhƠn v o rỗi rút gồn, chuyºn bĐt ¯ng thực vã dÔng p; q; r, ta cƯn chựng minh
q2  2q3  r(2 + r  4q)  1
32
án Ơy chúng ta x²t 2 trữớng hủp q  14 v  q > 14 : 
B i toĂn 2 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
a
a2 + 3
+
b
b2 + 3
+
c
c2 + 3
 3
4
:
(Dữỡng ực LƠm)
HìẻNG DˆN. ữa bĐt ¯ng thực vã mởt h m theo p
f(p) = 27p2  (54 + 12q)p+ 9q2  58q + 120  0
án Ơy chúng ta chia th nh 2 trữớng hủp 18q  58 + 12p v  18q  58 + 12p 
Vẵ dử 13 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a2 + b2 + c2 = 8. Chựng minh rơng
4(a+ b+ c 4)  abc:
(Nguyạn Phi Hũng)
LÍI GIƒI. Theo giÊ thiát, ta cõ p2  2q = 8: M°t khĂc, theo bĐt ¯ng thực Schur bêc 4, ta cõ
r  (4q  p
2)(p2  q)
6p
=
(p2  16)(p2 + 8)
12p
Vẳ vêy, ta cƯn chựng minh
(p2  16)(p2 + 8)
12p
 4(p 4)
, (p 4)
2(p2 + p 8)
12p
 0 (úng):
¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = 2; c = 0 ho°c cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
c
Vừ Thành Văn
9
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẵ dử 14 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 1: Chựng minh rơng
p
a2 + abc
b+ ca
+
p
b2 + abc
c+ ab
+
p
c2 + abc
a+ bc
 1
2
p
abc
:
LÍI GIƒI. ời bián th nh p; q; r, ta cõ bờ ã
r  q
2(1 q)
2(2 3q)
p dửng BDT Cauchy-Schwarz, ta cõ"X
cyc
p
a2 + abc
(b+ c)(b+ a)
#2

"X
cyc
a
(a+ b)(b+ c)
# X
cyc
a+ c
b+ c
!
=
P
cyc
a2 +
P
cyc
ab
(a+ b)(b+ c)(c+ a)
 X
cyc
a+ c
b+ c
!
Ta cõ X
cyc
a+ c
b+ c
=
X
cyc
1
b+ c

X
cyc
b
b+ c

X
cyc
1
b+ c
 (a+ b+ c)
2P
cyc
a2 +
P
cyc
ab
Nản ta cƯn chựng minh P
cyc
a2 +
P
cyc
ab
(a+ b)(b+ c)(c+ a)
264X
cyc
1
b+ c
 1P
cyc
a2 +
P
cyc
ab
375  1
4abc
, 1 q
q  r

1 + q
q  r 
1
1 q

 1
4r
, 4(1 q
2)
q  r  4 
q  r
r
, 4(1 q
2)
q  r 
q
r
 3
Sỷ dửng bờ ã, ta cõ
V T  4(1 q
2)
q  q2(1q)2(23q)
 q
q2(1q)
2(23q)
= 3 q(1 3q)(5 7q)
(1 q)(4 7q + q2)  3:
Vêy ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 13 :
Nhên x²t 1 Vợi b i toĂn n y, chúng tổi cõ 2 cƠu họi thú và xin d nh cho cĂc bÔn
1. Chựng minh bờ ã m  chúng tổi  nảu ð trản.
2. HÂy ch¿ ra con ữớng º tẳm bờ ã n y.

c
Vừ Thành Văn
10
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẵ dử 15 Cho cĂc số thỹc dữỡng a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 1. Chựng minh rơng
4
81(ab+ bc+ ca)
+ abc  5
27
:
(Vó Th nh Vôn)
LÍI GIƒI. p dửng bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
r  p(4q  p
2)
9
=
4q  1
9
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
4
81q
+ r  5
27
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Schur, ta cƯn chựng minh
4
81q
+
4q  1
9
 5
27
, 4
81q
+
4q
9
 8
27
BĐt ¯ng thực trản hiºn nhiản úng theo bĐt ¯ng thực AM-GM nản ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿
khi a = b = c = 13 : 
Vẵ dử 16 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab+ bc+ ca = 1: Chựng minh rơng
ab+ 1
a+ b
+
bc+ 1
b+ c
+
ca+ 1
c+ a
 3:
(Nguyạn MÔnh Dụng)
LÍI GIƒI. Ta cõ
ab+ 1
a+ b
+
bc+ 1
b+ c
+
ca+ 1
c+ a
 3
,
X
cyc
(ab+ 1)(c+ a)(c+ b)  3(a+ b)(b+ c)(c+ a)
,
X
cyc
(ab+ 1)(c2 + 1)  3[(a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) abc]
, (a2 + b2 + c2) + ab+ bc+ ca+ abc(a+ b+ c) + 3 + 3abc  3(a+ b+ c)
, (a+ b+ c)2 + abc(a+ b+ c+ 3) + 2  3(a+ b+ c)
°t p = a+ b+ c; q = ab+ bc+ ca = 1; r = abc: BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh trð th nh
p2 + r(p+ 3) 3p+ 2  0
, (p 1)(p 2) + r(p+ 3)  0
Náu p  2 thẳ bĐt ¯ng thực hiºn nhiản úng.
Náu 2  p  p3; Ăp dửng bĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
p3 + 9r  4pq
c
Vừ Thành Văn
11
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
, r  4p p
3
9
Ta cƯn chựng minh
p2  3p+ 2 + (p+ 3) 
 4p p
3
9
 0
, p4 + 3p3  13p2 + 15p 18  0
, (p 2)(p3 + 5p2  3p+ 9)  0
BĐt ¯ng thực cuối hiºn nhiản úng vẳ p  2 v 
p3 + 5p2  3p+ 9 = p3 + 4p2 +

p 3
2
2
+
27
4
> 0
Ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = 1; c = 0 ho°c cĂc hoĂn và 
Vẵ dử 17 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
+ 3  2(a+ b+ c):
(Vietnam MO 2006, B)
LÍI GIƒI. °t x = 1a ; y =
1
b ; z =
1
c , ta cõ xyz = 1, ỗng thới ời bián th nh p; q; r, ta cõ bĐt ¯ng thực trð
th nh 
p2  2q + 3  2q
, 4q  p2  3
M  bĐt ¯ng thực trản úng theo bĐt ¯ng thực Schur nản ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi
a = b = c = 1:
Vẵ dử 18 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi mồi k  1;
ta luổn cõ
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
+ k
(a+ b+ c)(ab+ bc+ ca)
a3 + b3 + c3
 2
p
k + 1:
(PhÔm Sinh TƠn)
LÍI GIƒI. ời bián bĐt ¯ng thực theo p; q; r v  chuân hõa cho p = 1. Ta cƯn chựng minh bĐt ¯ng thực
1 2q + 3r
q  r + k
q
1 3q + 3r  2
p
k + 1
Ta cõ
1 2q + 3r
q  r + k
q
1 3q + 3r =
1 3q + 3r
q  r + k
q
1 3q + 3r + 1
 1 3q + 3r
q
+ k
q
1 3q + 3r + 1  2
p
k + 1:
¯ng thực xÊy ra khi (a; b; c) =
p
k+2
p
k3+pk+1
2 x; x; 0

ho°c cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
Mởt số b i têp tữỡng tỹ
c
Vừ Thành Văn
12
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
B i toĂn 3 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng vợi mồi k  1; ta luổn cõ
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
+ k
(a+ b)(b+ c)(c+ a)
a3 + b3 + c3
 2
p
k + 1:
(PhÔm Sinh TƠn)
B i toĂn 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
+
9(ab+ bc+ ca)
a2 + b2 + c2
 6:
(PhÔm Sinh TƠn)
Vẵ dử 19 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
b+ c
2
+

b
c+ a
2
+

c
a+ b
2
+
10abc
(a+ b)(b+ c)(c+ a)
 2:
(Dữỡng ực LƠm)
LÍI GIƒI. °t x = 2ab+c ; y =
2b
c+a ; z =
2c
a+b , ta cõ
xy + yz + zx+ xyz = 4
BĐt ¯ng thực trð th nh
x2 + y2 + z2 + 5xyz  8
ữa bĐt ¯ng thực vã dÔng p; q; r, tứ giÊ thiát, ta cõ q + r = 4 v  bĐt ¯ng thực trð th nh
p2  2q + 5r  8
, p2  7q + 12  0
Náu 4  p, sỷ dửngbĐt ¯ng thực Schur, ta cõ
r  p(4q  p
2)
9
) 4  q + p(4q  p
2)
9
, q  p
3 + 36
4p+ 9
) p2  7q + 12  p2  7(p
3 + 36)
4p+ 9
+ 12
Nản ta ch¿ cƯn chựng minh ữủc
p2  7(p
3 + 36)
4p+ 9
+ 12  0
, (p 3)(p2  16)  0
iãu n y úng vẳ 4  p  p3q  3:
Náu p  4, ta cõ p2  16  4q nản
p2  2q + 5r  p2  2q  p
2
2
 8
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thực xÊy ra khi x = y = z = 1 ho°c x = y = 2; z = 0 ho°c cĂc
hoĂn và tữỡng ựng. 
c
Vừ Thành Văn
13
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẵ dử 20 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 3: Chựng minh rơng
1
6 ab +
1
6 bc +
1
6 ca 
3
5
:
(Vasile Cirtoaje)
LÍI GIƒI. Chuyºn ời bĐt ¯ng thực vã nhữ sau
108 48q + 13pr  3r2  0
, 4(9 4q + 3r) + r(1 r)  0
Ta thĐy bĐt ¯ng thực trản úng do
r = abc 

a+ b+ c
3
3
= 1
v  theo bĐt ¯ng thực Schur thẳ
3r  3p(4q  p
2)
9
= 4q  9
) 3r + 9 4q  0:
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 0; b = c = 32 ho°c cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
Vẵ dử 21 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a2(b+ c)
b2 + c2
+
b2(c+ a)
c2 + a2
+
c2(a+ b)
a2 + b2
 a+ b+ c:
(Darij Grinberg)
LÍI GIƒI. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cƯn chựng minh"X
cyc
a2(b+ c)2
#2

 X
cyc
a
!"X
cyc
a2(b+ c)(b2 + c2)
#
ời bián theo p; q; r, khi õ bĐt ¯ng thực viát th nh
r(2p3 + 9r  7pq)  0
p dửng BDT Schur, ta cõ p3 + 9r  4pq v  bĐt ¯ng thực quen thuởc p2  3q  0, ta cõ pcm. ¯ng thực
xÊy ra khi v  ch¿ khi a = b = c ho°c a = b; c = 0: 
Vẵ dử 22 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 1: Chựng minh rơng
5(a2 + b2 + c2)  6(a3 + b3 + c3) + 1:
LÍI GIƒI. ời bián vã p; q; r; ta cƯn chựng minh
5 10q  6(1 3q + 3r) + 1
, 18r  8q + 2  0
Môc khĂc, bĐt ¯ng thực trản úng theo bĐt ¯ng thực Schur nản ta cõ pcm. 
V  mởt vẵ dử iºn hẳnh cho phữỡng phĂp n y l  bĐt ¯ng thực Iran 1996
c
Vừ Thành Văn
14
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẵ dử 23 Cho cĂc số khổng Ơm x; y; z; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0. Chựng minh rơng
(xy + yz + zx)

1
(x+ y)2
+
1
(y + z)2
+
1
(z + x)2

 9
4
:
(Iran MO 1996, Ji Chen)
LÍI GIƒI. Sỷ dửng phữỡng phĂp ời bián p; q; r, ta chuyºn bĐt ¯ng thực vã dÔng nhữ sau
q

(p2 + q)2  4p(pq  r)
(pq  r)2

 9
4
Bián ời tữỡng ữỡng, rút gồn, ta cƯn chựng minh
4p4q  17p2q2 + 4q3 + 34pqr  9r2  0
, pq(p3  4pqr + 9r) + q(p4  5p2q + 4q2 + 6pr) + r(pq  9r)  0
BĐt ¯ng thực cuối úng nản ta cõ pcm. ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi x = y = z ho°c x = y; z = 0 ho°c
cĂc hoĂn và tữỡng ựng. 
Qua cĂc vẵ dử trản, cõ l³ cĂc bÔn cụng  ữủc hẳnh dung ẵt nhiãu vã bĐt ¯ng thực Schur v  nhỳng ựng dửng
cừa nõ trong phữỡng phĂp ời bián p; q; r: º kát thúc b i viát n y, mới cĂc bÔn cũng giÊi mởt số b i têp sau
B i toĂn 5 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a3 + b3 + c3 = 3. Chựng minh rơng
a4b4 + b4c4 + c4a4  3:
(Vasile Cirtoaje)
B i toĂn 6 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng
a2 + b2 + c2 + 2abc+ 1  2(ab+ bc+ ca):
(Darij Grinberg)
B i toĂn 7 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a2 + b2 + c2 = 3. Chựng minh rơng
12 + 9abc  7(ab+ bc+ ca):
(Vasile Cirtoaje)
B i toĂn 8 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1
a2  a+ 1 +
1
b2  b+ 1 +
1
c2  c+ 1  3:
(Vụ ẳnh Quỵ)
B i toĂn 9 Cho cĂc số thỹc a; b; c thọa mÂn a2 + b2 + c2 = 9. Chựng minh rơng
2(a+ b+ c) abc  10:
(Vietnam MO 2002, TrƯn Nam Dụng)
B i toĂn 10 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1 +
3
a+ b+ c
 6
ab+ bc+ ca
:
(Vasile Cirtoaje)
c
Vừ Thành Văn
15
3.2 Phương phỏp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
B i toĂn 11 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
2(a2 + b2 + c2) + 12  3(a+ b+ c) + 3(ab+ bc+ ca)
(Balkan MO)
B i toĂn 12 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi mồi
k  3; ta
1
a+ b
+
1
b+ c
+
1
c+ a
+
k
a+ b+ c
 2
p
k + 1p
ab+ bc+ ca
:
(PhÔm Kim Hũng)
B i toĂn 13 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab+ bc+ ca+ 6abc = 9. Chựng minh rơng
a+ b+ c+ 3abc  6:
(Lả Trung Kiản, Vó Quốc BĂ Cân)
B i toĂn 14 Cho cĂc số khổng Ơm x; y; z; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Tẳm hơng số a nhọ nhĐt º
bĐt ¯ng thực sau úng
x+ y + z
3
a
xy + yz + zx
3
 3a
2
 (x+ y)(y + z)(z + x)
8
:
(Ivan Borsenco, Irurie Boreico)
B i toĂn 15 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
a+ b+ c
3
 10
r
a3 + b3 + c3
3
:
B i toĂn 16 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 1: Chựng minh rơng
1
a+ b
+
1
b+ c
+
1
c+ a
+ 2abc  247
54
:
B i toĂn 17 Cho a; b; c 2 [1; 2]: Chựng minh rơng
a2(b+ c) + b2(c+ a) + c2(a+ b)  7abc:
B i toĂn 18 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a+ b+ c = 3: Chựng minh rơng
5 ab
1 + c
+
5 bc
1 + a
+
5 ca
1 + b
 ab+ bc+ ca:
(Vasile Cirtoaje)
CHểC CC B„N TH€NH CặNG!!!
c
Vừ Thành Văn
16
 Author: Vừ Thành Văn 
Edited and corrected by Vừ Quốc Bỏ Cẩn