Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục và phép quay

1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 
1.1.Định nghĩa 	
Trong mặt phẳng cho đường thẳng. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc thành M, mỗi điểmM không thuộc thành M’ sao cho là trung trực của MM’ gọi là phép đối xứng qua đường thẳng (gọi tắt phép đối xứng trục). Kí hiệu là: Đ.
*Nhận xét 1:	Đ (M) = M’ Đ (M’) = M.
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Khi đó ĐAC biến: 
A thành A, C thành C, B thành D, D thành B vì AC BD tại trung điểm của mỗi đường.
1.2.Biểu thức véc tơ của phép đối xứng trục
*ĐỊNH LÍ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó Đ biến M(x;y) thành M(x’; y’) có biểu thức véc tơ xác định bởi:
 	(IIIa)
trong đó k = - , () =(M) = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai ý: cùng phương với (1), và trung điểm của MM’ nếu M (2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIIa) M’M.
- Nếu M . Từ (IIIa) suy ra (1). Từ k = - k= -() (3). Nhân vô hướng hai vế của (IIIa) với và so sánh với (3) ta có : . = -2() A(x’-x) +B(y’-y) =-2( Ax + By +C)A()+B()+C=0(2) đúng. 
1.3.Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục 
*HỆ QUẢ 1: Nếu Đ biến M(x;y) thành M(x’; y’) thì : (IIIb)
trong đó k = - , ()=(M) = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên)
*Nhận xét 2
-Nếu Ox có phương trình : y = 0 thì A = 0, B = 1 và k = - y nên từ 
(IIIb) x’ = x, y’ = - y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng ĐOx .
-Nếu Oy có phương trình : x = 0 thì A = 1, B = 0 và k = - x nên từ 
 (IIIb) x’ = - x, y’ = y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng Đ .
-Nếu là đường phân giác thứ nhất: x – y = 0 thì A = 1, B = - 1, 2k = y – x nên (IIIb) x’ = y, y’ = x. Ta có M(x; y) và M’(y; x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x quen thuộc.
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua .
Giải:	Tính giá trị k0 = - = - = - .
Đ biến M(1; 2) thành M(x’; y’) M’(- ; - ).
Ví dụ 3: Cho điểm M(1; 5) và d: x – 2y + 4 = 0. Hãy tìm ảnh của M qua Đd.
(Xem ví dụ 2 trang 12-SBT HH 11 NXBGD 2007)
Giải
Tính giá trị k0 = - = - = - 1.
Đd biến M(1; 5) thành M(x’; y’) M’(3; 1).
 *ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho =( A; B). Khi đó Đ biến véc tơ thành xác định bởi: = - 2	(IVa)
trong đó = .
Chứng minh
Chú ý rằng khái niệm hai véc tơ bằng nhau không phụ thuộc vị trí của chúng, nên ta chứng minh hai ý: ( + ) (1), và = (2). Thật vậy: 
-Cộng cả hai vế của (IVa) với rồi nhân vô hướng của biểu thức nhận được với (Để ý định nghĩa ) ta có ( + ). = 2 . - 22 = 2 . - 2 . = 0 suy ra (1) được chứng minh.
-Bình phương vô hướng (IVa) ta có: 
2 =2+422- 4. =2+422- 422 = 2(2) đúng (đpcm).
Từ cách chứng minh ý (2) của định lí 2 ta có hệ quả sau
*HỆ QUẢ 2
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(Phép đối xứng trục là một phép dời hình).
Từ nhận xét 1 và hệ quả 1 ta có nhận xét 3 sau đây
*Nhận xét 3
	Đ (M(x; y)) = M’(x’; y’) Đ (M’) = M (IIIc)
trong đó k’ = - , (’) = Ax’ + By’ +C.
Bởi vậy, giả sử M(x; y) 1 : A1x + B1y + C1 = 0 thì từ (IIIc) ta có:
0 = A1x + B1y + C1 =1(M’) + 2k’() = 1(M’)- 21.(M’).
*ĐỊNH LÍ 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : Ax + By +C = 0 và đường thẳng 1 : A1x + B1y + C1 = 0. Khi đó Đ biến 1 thành ’1 có phương trình : ’1 : 21() - (1) = 0 	(IVb)
trong đó 1 = , 1 =( A1; B1), =( A; B).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3x – y + 2 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ = Đ (d). (Xem BT2 SGK HH11 trang 11 NXBGD 2007)
Giải:Ta có phương trình Oy: x = 0, 1 =( 3;- 1) , =( 1; 0) 1 = = 3. Vậy theo định lí 3 phương trình d’ = Đ(d) là: 
2.3(x) – (3x – y + 2) = 0 d’: 3x + y – 2 = 0.
Ví dụ 5: Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 5x + y – 14 = 0, và d’2 đối xứng với d2: 5x + 3y + 10 = 0 qua đường thẳng có phương trình :
: 5x + 3y – 4 = 0.
Giải:Ta có: 1 =( 5; 1), 2 =(5; 3), =( 5; 3) suy ra 1 = = và 
2 = = 1. Do đó theo định lí 3 ta có các phương trình d’1 và d’2 là:
d’1: 2. .(5x + 3y – 4) – (5x + y – 14) = 0 d’1: 55x + 67y + 126 = 0.
d’2: 2.1.(5x + 3y – 4) – (5x + 3y + 10) = 0 d’2: 5x + 3y – 18 = 0.
(Có thể kiểm tra lại rằng song song và cách đều d2 và d’2 ; là một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d’1).
Ví dụ 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(2; - 1), đường cao và phân giác trong đi qua hai đỉnh A và C lần lượt có phương trình:
d1 : 3x - 4 y + 27 = 0 ; d2: x + 2y - 5 = 0.
(Đề 84- Bộ đề thi tuyển sinh)
Giải: Phương trình đường thẳng BC đi qua B và d1 là:
4(x - 2) +3(y + 1) = 04x + 3y - 5 =0.
d
A
B
C
Do CA đối xứng với CB qua d2 nên có phương trình:
2. ( x + 2y - 5) – (4x + 3y - 5) =0 CA: y – 3 = 0.
Do đó CA d1 = A(- 5; 3). Từ đó ta có phương trình AB: 4x +7y – 1 = 0.
1.4.Các hệ quả khác
*HỆ QUẢ 3
	Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.
	Phép đối xứng trục biến tia thành tia, góc, đa giác, đường tròn thành hình bằng nó. 	
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc chúng. Hãy xác định các điểm Cc và Dd sao cho ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy (không cần biện luận). 
Giải
Gọi a là trung trực của AB thì a cố định. ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy (Khi đó CD cũng là cạnh đáy) Đa(A) = B, Đa(D) = C. Bởi vậy: D d C d’ = Đa(d), kết hợp C c ta có C = d’ c. Vậy C được xác định, và do đó D = Đa(C).
1.5.Phương pháp giải toán
 Để vận dụng phép đối xứng trục trong giải toán ta phải xác định được trục của phép đối xứng (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra đường trung trực của đoạn thẳng). Giả sử được xác định và là trung trực của MM’. Khi đó: M thuộc (H) M’ thuộc (H’) =Đ (H).
1.6.Các bài tập
1.1. Cho I(1;-1) và : 3x + 4y +1 =0. Tìm tọa độ I’ = Đ (I).
1.2. Cho I(3;-2) và : 3x - 2y +1 =0. Tìm tọa độ I’ = Đ (I).
1.3. Cho đường tròn(C) có phương trình: x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0, 
và : 3x - 2y +1 =0 .Viết phương trình (C’) = Đ ((C)).
1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0) và : x - y +2 =0.
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ;
b. Tìm M để đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
	1.5. Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + 4 = 0, và d’2 đối xứng với d2: 3x + 4y - 1 = 0 qua đường thẳng có phương trình :
: 2x - y + 1 = 0.
	1.6.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(0; 4) và d2 đi qua B(5; 0) sao cho d1 và d2 tạo với nhau một góc nhận : 2x -2y + 1 = 0 làm đường phân giác. 
***************************
2.PHÉP QUAY
2.1.Định nghĩa	
M
M’
I
Trong mặt phẳng cho điểm I và góc lượng giác . Phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho IM’ = IM và (IM’, IM) = gọi là phép quay tâm I, góc quay . Kí hiệu là: Q(I,).
*Chú ý
Ta gọi I là tâm quay, là góc quay và IM là bán kính quay.
*Nhận xét 1:
	a.Các phép quay tâm I với các góc quay và + k2 cùng biến M thành M’. Bởi vậy ta chỉ cần xét - .Như vậy ta có: 
Q(I,)(M) = M’ Q(I, - ) (M’) = M.
b.Nếu đặt = , = thì = , . = 2cos.
C
A
B
Ví dụ 1: Cho tam đều ABC. Khi đó: Q(A, 60) biến:
 A thành A, B thành C. 
2.2.Biểu thức tọa độ của phép quay 
*ĐỊNH LÍ 4
Trong mặt phẳng Oxy cho Q(I,) .Khi đó Q(I,) biến véc tơ =(A; B) thành =(A’; B’) xác định bởi: 
 	(IVa)
Chứng minh
Ta chứng minh ba ý: Q(I,) biến I thành I (1), = (2) và
 . = 2cos (3). Thật vậy: với mỗi véc tơ =(A; B) cho trước, tồn tại M sao cho = =(A; B) và gọi = = (A’; B’).
-Với =(A; B) =(M I) thì từ (IVa) ta có == (M’ I) (1) đúng;
-Bình phương các vế của mỗi hệ thức trong (IVa) rồi cộng lại ta có
	A’2 + B’2 = (A2 + B2 )(cos2 + sin2) = A2 + B2 (2) đúng;
-Nhân lần lượt các vế của (IVa) với A và B rồi cộng lại ta có
	A’A + B’B = (A2 + B2) cos (3) đúng (đpcm).
Từ cách chứng minh này ta có hệ quả sau
*HỆ QUẢ 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(Phép quay là một phép dời hình).
 Từ (IVa) ta có nhận xét 2 sau đây
*Nhận xét 2: ảnh của một véc tơ qua phép quay không phụ thuộc tâm quay.
Đặc biệt: nếu = 45o và là ảnh của véc tơ pháp tuyến = (A; B) của đường thẳng thì có thể chọn = (A – B; A + B) hoặc =(A+B; -A+B).
Ví dụ 2
Viết phương trình d đi qua A(2; 1) và tạo với : 2x + 3y +4 = 0 một góc 45o. (Đề 71- Bộ đề thi tuyển sinh)
Giải
Theo nhận xét 2 với =(2; 3) và =45o, ta có = (-1; 5) hoặc = (5; 1). Vậy phương trình d đi qua A(2; 1) và tạo với góc 45o là:
d : - x + 5y – 3 = 0 hoặc d : 5x + y – 11 = 0.
*HỆ QUẢ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,) , với I(a; b). Khi đó Q(I,) biến điểm M (x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi: 
 	(IVb)
(Biểu thức IVb gọi là biểu thức tọa độ của phép quay).
Chứng minh
Chỉ cần đặt = =(x-a; y-b) và = = (x’-a; y’-b) thay vào (IVa) (IVb).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(3; 3), B(0; 5), C(1; 1) . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q(O, 90) .	 (Xem BT 1.16-SBT HH11 NXBGD 2007)
Giải:	
-Xác định A’ (x’; y’) từ công thức (IVb)
 A’(- 3; 3);
-Xác định B’(x’; y’) từ công thức (IVb)B’(- 5; 0);
-Xác định C’(x’; y’) từ công thức (IVb)C’(- 1; 1).
*Nhận xét 3
	Nếu = thì (IVb) x’ = 2a – x, y’ = 2b – y . Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a; b) biến M(x; y) thành M’(x’, y’).
	Nếu = và O(0; 0) là tâm quay thì (IVb) x’ = – y, y’ = x.
	Nếu = - và O(0; 0) là tâm quay thì (IVb) x’ = y, y’ = - x.
*Nhận xét 4
	Q(I,)(M(x; y)) = M’ (x’; y’) Q(I, -) (M’) = M 
 	(IVc)
Bởi vậy: nếu M(x; y) : Ax + By +C = 0 thì bằng cách nhân các vế của (IVc) lần lượt với A, B rồi cộng thêm C ta được
0 = aA +bB +C +(Acos - Bsin)(x’- a) + (Asin + Bcos )(y’-b). 
Đây chính là tập hợp M’(x’; y’) là ảnh của qua phép quay Q(I,). 
*ĐỊNH LÍ 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,) , với I(a; b). Khi đó Q(I,) biến đường thẳng : Ax + By +C = 0 thành ’ có phương trình:
’: (Acos - Bsin)(x -a) + (Asin + Bcos )(y-b) + 0= 0
trong đó 0 =(I) = Aa +Bb +C.
*HỆ QUẢ 3
	Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.
	Phép quay biến tia thành tia, góc, đa giác, đường tròn thành hình bằng nó. 
2.3.Một số hệ quả khác
*HỆ QUẢ 4
a.Nếu = (hoặc:- ) thì: Q(I,) biến đường thẳng : Ax +By +C= 0 thành ’ có phương trình ’: - B(x -a) +A(y-b) + 0= 0
	(hoặc ’ : B(x -a) - A(y-b) + 0= 0).
 Và ta có ’.
b.Nếu = thì Q(I,) biến đường thẳng : Ax + By +C = 0 thành ’ có phương trình: Ax + By +C- 20 = 0 	 (Phép đối xứng tâm).
c.Nếu I và cos thì Q(I,) biến đường thẳng : Ax + By +C = 0 thành ’ có phương trình: (A - Btan)(x -a) + (Atan + B )(y-b) = 0.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho và đường thẳng d: 5x - 3y + 15 = 0. Hãy tìm ảnh của d qua Q(O, 90). (Xem BT 1.16-SBT HH11 NXBGD 2007)
Giải
Tính giá trị d0 = 5.0 -3.0 + 15 = 15. Theo hệ quả (4a) ta có phương trình 
d’ = Q(O, 90) (d) là:
A
C
B
d’: - ( - 3)(x - 0) + 5(y - 0) +15 = 0 d’: 3x + 5y + 15 = 0.
Ví dụ 5
	Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC,
 biết A(1; 2), B(3; 4) và cosA = 2/, cosB = 3/.
Giải
 Ta tính được tanA = /cosA = 1/2, tanB = /cosB = 1/3.
 Ta có = (2; 2) nên AB có véc tơ pháp tuyến =(1; - 1).
-Phương trình AB: x – y + 1 = 0.
+Với phép quay tâm A, góc quay A biến AB thành AC; Với phép quay tâm B, góc quay (- B) biến BA thành BC nên theo hệ quả (4c) phương trình AC và BC là:
AC: (1 + 1/2)(x - 1) + (1/2 - 1)(y - 2) = 0 3x – y – 1 = 0;
BC: (1 - 1/3)(x - 3) + (- 1/3 - 1)(y - 4) = 0 x –2y + 5 = 0.
+Với phép quay tâm A, góc quay (- A ) biến AB thành AC; Với phép quay tâm B, góc quay B biến BA thành BC nên phương trình AC và BC là:
AC: (1 - 1/2)(x - 1) + (-1/2 - 1)(y - 2) = 0 x – 3y + 5 = 0;
BC: (1 +1/3)(x - 3) + (1/3 - 1)(y - 4) = 0 2x –y - 2 = 0.
-Vậy ta có hai nghiệm là:
AB: x – y + 1 = 0; AC: 3x – y – 1 = 0; BC: x –2y + 5 = 0.
AB: x – y + 1 = 0; AC: x – 3y + 5 = 0; BC: 2x –y - 2 = 0.
2.4.Phương pháp giải toán
 Để vận dụng phép quay trong giải toán ta phải xác định được tâm quay, góc quay, bán kính quay (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra điểm cố định, một góc không đổi). Giả sử phép quay Q(I,) được xác định và Q(I,) (M) = M’. Khi đó: M thuộc (H) M’ thuộc (H’) = Q(I,) (H).
2.5.Các bài tập
2.1. Cho I(1;-1) và d: 3x + 4y +1 =0.Viết phương trình d’ = Q(I ,90) (d).
2.2. Cho I(3;-2) và d : 3x - 2y +1 =0. Viết phương trình d’ = Q(I , - 90 ) (d).
2.3 Cho đường tròn(C) có phương trình: x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0.Viết phương trình (C’) = Q(I ,90 ) ((C)).
2.4 Viết phương trình d đi qua A(2; 0) và tạo với đường thẳng một góc 45o, với : x + 3y - 3 = 0.
2.6. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABDE và BCGH. Chứng minh rằng đường cao BI, AG, CE đồng qui.
********************************