Bộ 5 đề ôn kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 9 - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

ĐỀ ÔN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I (ĐỀ1)
NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN: TOÁN 9
Bài 1(2 điểm) Thực hiện phép tínha) 	b) 
c) 
Bài 2(1,5 điểm).Giải các phương trình sau:a) b) 
Bài 3(2,5 điểm) Cho hai biểu thức và với 
1) Tính giá trị biểu thức khi . 2) Rút gọn biểu thức . 3) Tìm các giá trị của để .
4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 4(3,5 điểm) 1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ đến (như hình vẽ) với vận tốc trong phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sông một góc . Hãy tính chiều rộng của khúc sông ? (Kết quả tính theo đơn vị ,làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Cho tam giác nhọn có đường cao . Gọi là hình chiếu của trên .
a. Biết ; . Tính và góc (Số đo góc làm tròn đến độ)
b. Kẻ vuông góc với tại Chứng minh 
c. Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại ; cắt tại 
Chứng minh rằng 
Bài 5(0,5 điểm) Giải phương trình .
HƯỚNG DẪN ĐỀ 1
Câu 1. 	(2 điểm) Thực hiện phép tính
a) 	
b) 
c) 
Lời giải
. 
Câu 2. 	(1,5 điểm).
Giải các phương trình sau:
a) 	.
b) 
Lời giải
a)(ĐKXĐ: )
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Kết luận: 
b)(ĐKXĐ: )
Kết luận: 
Câu 3. (2,5 điểm) 
Cho hai biểu thức và với 
1) Tính giá trị biểu thức khi . 
2) Rút gọn biểu thức .
3) Tìm các giá trị của để .
4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
1) Khi thỏa mãn điều kiện.Thay vào biểu thức ta được: .Vậy khi thì 
2) Với ta có: 
Vậy với 
3) Với để
mà nên 
Kết hợp với điều kiện ta được thì 
d) Ta có: 
 do . Áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương ta được:
 hay 
Dấu "=: xảy ra ( thỏa mãn đk)
Vậy Max 
Câu 4. 	(3,5 điểm) 
1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ đến (như hình vẽ) với vận tốc trong phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sông một góc . Hãy tính chiều rộng của khúc sông ? (Kết quả tính theo đơn vị ,làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Cho tam giác nhọn có đường cao . Gọi là hình chiếu của trên .
a. Biết ; . Tính và góc (Số đo góc làm tròn đến độ)
b. Kẻ vuông góc với tại Chứng minh 
c. Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại ; cắt tại 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Đổi: 12 phút = giờ
Gọi chiều rộng của khúc sông là . Đường đi của con thuyền là suy ra 
Quãng đường BC dài là: 
Xét vuông tại H có: 
Vậy chiều rộng khúc sông khoảng 0,29 (km).
2) 
a. Biết ; . Tính và góc (Số đo làm tròn đến độ)
Ta có: 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có 
Ta có: 
Và: ; 
b. Chứng minh Xét có : 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: 
 (2) Từ (1) và (2) (dpcm).
 Chứng minh:
Gọi I là giao điểm của và 
Ta có: 
Dễ dàng chứng minh được 
(1)
Mà (2)
Từ 
 (đpcm)
Câu 5. (0,5 điểm) Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện . Đặt .
.
 Mà .
 (thỏa mãn điều kiện). Vậy .
ĐỀ 2
Bài 1(2,5 điểm) Cho hai biểu thức và với ; .
a) Tính giá trị của biểu thức với . b) Rút gọn biểu thức .
c) Cho . Chứng minh rằng với mọi giá trị thỏa mãn điều kiện.
Bài 2(2,0 điểm)Tìm , biết a) b) 
Bài 3(1,5 điểm) Một chiếc thang dài m. Cần đặt chân thang cách tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc an toàn . (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) 
Bài 4(3,5 điểm) Cho đường tròn , đường kính . Kẻ tiếp tuyến , lấy điểm trên . Từ kẻ tiếp tuyến tại với là tiếp điểm .
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh .
c) Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia tại . Chứng minh là hình bình hành.
d) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và ; là giao điểm của và . Chứng minh , , thẳng hàng.
Bài 5(0,5 điểm) Cho , , là các số thực không âm thỏa mãn. Tính giá trị biểu thức 
ĐỀ 3
Bài 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) .	 b) . c) .
Bài 2 (2 điểm) Giải phương trình:
a) 	b) c) .
Bài 3(2 điểm) Cho hai biểu thức: và với .
a) Tính giá trị biểu thức của A khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Biết . Tìm nguyên để .
Bài 4(1,5 điểm) Hải đăng Đa Lát là một trong những ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam, được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây Quần đảo, thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994, cao 42 mét, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp tàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa định hướng và xác định được vị trí của mình. Một người đi trên tàu đánh cá muốn đến ngọn hải đăng Đá Lát, người đó đứng trên mũi tàu cá và dùng giác kế đo được góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu là .
a) Tính khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).
b) Biết cứ đi 10m thì tàu đó hao tốn hết 0,02 lít dầu. Hỏi tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu bao nhiêu lít dầu?
Bài 5(2 điểm) Cho tam giác vuông tại , đường cao .
a) Cho và Tính , , .
b) Kẻ tại , tại . Chứng minh 
c) Gọi là trung điểm , cắt tại . Chứng minh: .
Bài 6(0,5 điểm) Cho .Tìm giá trị biểu thức: .
HƯỚNG DẪN ĐỀ 3
2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) .	b) . c) .
Lời giải
a) .
b) .
c) 
.
(2 điểm) Giải phương trình:
a) 	b) c) .
Lời giải
a) 
 Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) Điều kiện xác định: : 
 (thoả mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm .
c) Điều kiện: 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm .
(2 điểm) Cho hai biểu thức: và với .
a) Tính giá trị biểu thức của A khi . b) Rút gọn biểu thức .
c) Biết . Tìm nguyên để .
Lời giải
a) Thay (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 
Vậy tại thì . b) Điều kiện xác định: 
.
c) Ta có: 
Để 
Với mọi thỏa mãn điều kiện:
Kết hợp với điều kiện xác định 
Mà Vậy với thì .
(1,5 điểm) Hải đăng Đa Lát là một trong những ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam, được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây Quần đảo, thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994, cao 42 mét, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp tàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa định hướng và xác định được vị trí của mình. Một người đi trên tàu đánh cá muốn đến ngọn hải đăng Đá Lát, người đó đứng trên mũi tàu cá và dùng giác kế đo được góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu là .
a) Tính khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).
b) Biết cứ đi 10m thì tàu đó hao tốn hết 0,02 lít dầu. Hỏi tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu bao nhiêu lít dầu?
Lời giải
a) Gọi chân ngọn hải đăng là , đỉnh ngọn hải đăng là , mũi tàu là ta có vuông tại , .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
 Vậy khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng xấp xỉ 238,2 m.
b) Tàu đó đi 1m cần số lít dầu là: 0,02 : 10 = 0,002 l
Tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu số lít dầu là: 0,002.238,2 = 0,4764 lít
(2 điểm) Cho tam giác vuông tại , đường cao .
a) Cho và Tính , , .
b) Kẻ tại , tại . Chứng minh 
c) Gọi là trung điểm , cắt tại . Chứng minh: .
Lời giải
a) Tam giác vuông tại 
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông có: 
 vuông tại , đường cao ta có: 
b) vuông tại , đường cao ta có: 
 vuông tại ,
 đường cao ta có: 
c) Tam giác vuông tại , 
 là đường trung tuyến 
 cân tại 	 
Xét hai tam giác và có chung góc ;
Suy ra (c – g – c) 	
Mà tam giác vuông tại 	 
Từ , , suy ra tại 
Xét vuông tại , đường cao .
(0,5 điểm) Cho . Tìm giá trị biểu thức: .
Lời giải
Ta có: 
Khi đó 
 Vậy .
ĐỀ 4
Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức và với .
a) Tính giá trị của biểu thức khi 
b) Tìm để .
c) Chứng minh rằng : .
d) Tìm để .
Bài 2 (3,0 điểm)
Cho các đường thẳng .
a) Vẽ đồ thị hàm số đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm để ba đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của .
Bài 3(3,5 điểm) Cho cân tại , đường cao .
a) Chứng minh: Bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn.
b) Kẻ dây tại . Biết . Tính độ dài .
c) Chứng minh cân.
d) cắt tại . Chứng minh .
Bài 4(0,5 điểm)Giải phương trình
----------------------Hết------------------------
Chúc các em làm bài tốt
HƯỚNG DẪN
(3,0 điểm) Cho biểu thức và với .
a) Tính giá trị của biểu thức khi . b) Tìm để .
c) Chứng minh rằng : . d) Tìm để .
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức khi 
Với thay vào ta được Vậy 
b) Tìm để . 
Để khi Ư(7) Ta có Ư(7) Vậy .
c) Chứng minh rằng : 
Vậy .
d) Tìm để .
Ta có: 
Vì .
Kết hợp điều kiện ta được : thì .
 (3,0 điểm) Cho các đường thẳng .
a) Vẽ đồ thị hàm số đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm để ba đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của .
Lời giải
a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục tọa độ.
Ta có: cắt tại điểm và cắt trục 
tại điểm , đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 
hai điểm và . 
Ta có: cắt tại điểm và cắt trục 
 tại điểm , đồ thị hàm số là đường thẳng
 đi qua hai điểm và .
b) Ta có nên và là hai đường thẳng cắt nhau. 
Điều kiện để đường thẳng cắt : .
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , tọa độ thỏa mãn hệ:
Để ba đường thẳng đồng quy thì đi qua giao điểm củavà .
Thay tọa độ của vào ta được: (tmđk).
Vậy thì ba đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm với mọi giá trị của .
Gọi là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi giá trị của . Khi đó
 , , .
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của .
 (3,5 điểm) Cho cân tại , đường cao .
a) Chứng minh: Bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn.
b) Kẻ dây tại . Biết . Tính độ dài .
c) Chứng minh cân. d) cắt tại . Chứng minh .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm .
Xét tam giác vuông tại , có là trung tuyến nên .
Xét tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên .
Suy ra nên bốn điểm cùng nằm trên 
đường tròn tâm , đường kính .
b) Vì tam giác cân tại .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ta có: 
.
c) Trong đường tròn , có là đường kính, dây cung vuông góc nên là trung điểm là trung trực đoạn nên cân tại .
d) Tam giác nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính nên .
Xét tứ giác có nên 
Mà ( hai góc kề bù) nên .
(0,5 điểm)Giải phương trình: .
Lời giải
; Điều kiện: 
Giải (1): điều kiện: nên: 
Do đó (1) vô nghiệm. Vậy 
ĐỀ 5
Bài 1(2 điểm). Thực hiện phép tính
a) . 	b) . 
c) . 	 d) . 
Bài 2(2 điểm). Tìm biết a) . 	 b) . 
c) .	d) .
Bài 3(2,0 điểm). Cho hai biểu thức 
 và 
a) Tính giá trị của Q tại . b) Rút gọn .
c) Tính các giá trị của để . d) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Bài 4(3,5 điểm) 
1) Cho tam giác vuông tại có . Vẽ vuông góc tại .
a) Tính .
b) Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn và .
c) Gọi là trung điểm . Chứng minh .
2) Một tòa nhà có chiều cao . Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài . Tính chiều cao của tòa nhà. ( Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 
Bài 5(0,5 điểm) Với các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
-------------------------------Hết---------------------------------
HƯỚNG DẪN ĐỀ 5
(2 điểm). Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
(2 điểm). Tìm x biết a) 	 b) 
c) 	 d) 
Lời giải
a) Điều kiện: 
 Vậy là nghiệm của phương trình.
b) 
 Vậy là nghiệm của phương trình.
c) Điều kiện: 
Vậy là nghiệm của phương trình.
d) Điều kiện: 
Vậy là nghiệm của phương trình.
(2,0 điểm). Cho hai biểu thức và 
a) Tính giá trị của tại b) Rút gọn 
c) Tính các giá trị của x để d) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
a) Thay (thỏa mãn) vào ta được .
b) Rút gọn , với 
.
c) Tính các giá trị của để 
Theo ĐK ta có 
. Vậy với thì 
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của . Ta có: 
Vì: 	.
Vậy khi .
(3,5 điểm) 1) Cho tam giác vuông tại có . Vẽ vuông góc tại .
a) Tính .
b) Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn và .
c) Gọi là trung điểm . Chứng minh .
2) Một tòa nhà có chiều cao . Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài . Tính chiều cao của tòa nhà. ( Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 
Lời giải
1) 
a) Tính .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ta có: 
.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ta có: 
+ .
+ 
Suy ra .
b) Chứng minh cùng thuộc đường tròn: 
Xét tứ giác có ( giả thiết) 
Suy ra tứ giác là hình chữ nhật nên suy ra 4 điểm cùng nằm trên đường tròn tâm đường kính .
+ Chứng minh : Vì .
Mà ( vì là hình chữ nhật) và ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên .
c) Kẻ tại , tại .
Suy ra là hình thang vuông.d Vì là trung điểm mà ( cùng )
Suy ra là đường trung bình của hình thang .
Suy ra 
Mà: 
Vậy: .
2) Gọi chiều cao của tòa nhà là , bóng của tòa nhà lên mặt đất là , góc tạo bởi tia nắng với mặt đất là ( như hình vẽ) 
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn cho tam giác vuông ta có: 
Vậy tòa nhà cao .
(0,5 điểm) Với các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Với các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Với là hai số thực không âm nên ta có: 
Thật vậy luôn đúng
Ta có : .
Ta có : .
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của là . Dấu bằng xảy ra khi .
ĐỀ 6
Bài 1:Rút gọn các biểu thức sau:
a) b) c) 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) b) c) 
Bài 3:Với và cho hai biểu thức:
 và a) tính giá trị của biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức . c) Tìm để .
Bài 4:Cho tam giác vuông tại có 
a) Biết cm. Giải tam giác vuông 
b) Trên tia lấy điểm sao cho.Chứng minh rằng tam giác đồng dạng với . Từ đó chứng minh rằng . 
c) Lấy là trung điểm của . Chứng minh 
Bài 5:Một người đứng trên một đỉnh tháp cao 300 m nhìn xuống hai đầu cầu A và B với góc tạo với phương ngang lần lượt là và . Hãy tính: 
a) Khoảng cách từ chân cầu A đến chân tháp ?
b) Chiều dài cây cầu AB? ( Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai )
Bài 6:Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
HƯỚNG DẪN ĐỀ 6
Rút gọn các biểu thức sau:
a) b) c) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
 Giải các phương trình sau:
a) b) c) 
Lời giải
a) 
 (nhận)Vậy 
b) Vậy 
c) 
(nhận) hoặc (loại). Vậy 
Với và cho hai biểu thức: và 
a) tính giá trị của biểu thức khi . b) Rút gọn biểu thức . c) Tìm để .
Lời giải
a) Với , ta được: .
b) Với và , ta được: 
.
c) Vì nên 
Kết hợp điều kiện và , ta có .
Cho tam giác vuông tại có 
a) Biết cm. Giải tam giác vuông 
b) Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng tam giác đồng dạng với . Từ đó chứng minh rằng . 
c) Lấy là trung điểm của . Chứng minh 
Lời giải
a) Tam giác vuông tại có :
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc ta có : 
 (cm)
 (cm)
Vậy tam giác có  ;  ;  ; cm ; cm ; cm 
b) Xét và có : 
Do đó ( c – g – c ) Suy ra 
Xét vuông tại có là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có 
c) Xét vuông tại có là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có 
Mặt khác vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 
Từ và ta có hay 
Một người đứng trên một đỉnh tháp cao 300 m nhìn xuống hai đầu cầu A và B với góc tạo với phương ngang lần lượt là và . Hãy tính: 
a) Khoảng cách từ chân cầu A đến chân tháp ?
b) Chiều dài cây cầu AB? ( Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai )
Lời giải
a) Ta có : 
Xét vuông tại : m
Vậy, khoảng cách từ chân cầu A đến chân tháp xấp xỉ m
b) Xét vuông tại : 
 m m
Vậy, chiều dài cây cầu AB xấp xỉ m
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải.
Với ta có:
Mà Nên 
 Dấu “=” xảy ra khi : (nhận)
 Khi đó . Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 12 khi 
ĐỀ 7
Bài 1:(2điểm) Tính giá trị của biểu thức: a) b) 
Bài 2:(1,5 điểm) Giải các phương trình a) b) 
Bài 3:(2 điểm) Cho các biểu thức ; với , .
a) Tìm giá trị của biết . 
 b) Chứng minh rằng: .
c) Đặt . Tìm giá trị của để .
Bài 4:(1 điểm) Một cây tre bị gẫy ngang thân, ngọn tre 
vừa chạm đất và tạo với mặt đất một góc biết khoảng
 cách từ vị trí ngọn tre chạm đất tới gốc cây là . 
Tính chiều cao ban đầu của cây tre (làm tròn đến cm).
Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác vuông tại . Đường cao . Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và .
a) Gỉa sử , . Tính độ dài , và góc , góc .
b) Chứng minh: và .
c) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại . Chứng minh rằng: là trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 6:(0,5 điểm) Giải phương trình sau : 
----------------Hết---------------
Giám thị không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN ĐỀ 7
(2điểm) Tính giá trị của biểu thức: a) b) 
Lời giải
a) .
b) 
(1,5 điểm) Giải các phương trình a) b) 
Lời giải
a) Điều kiện: .
 (thoả mãn) Vậy .
b) 
 Vậy 
(2 điểm) Cho các biểu thức ; với , .
a) Tìm giá trị của biết . b) Chứng minh rằng: .
c) Đặt . Tìm giá trị của để .
Lời giải
a) Khi (thoả mãn điều kiện) ta có .
b) Với , ta có: 
.
Vậy .
c) Ta có .
Vì , ; , nên , 
.
 (vì , ) (thỏa mãn).
Vậy thì .
(1 điểm) Một cây tre bị gẫy ngang thân, ngọn tre vừa chạm đất và tạo với mặt đất một góc biết khoảng cách từ vị trí ngọn tre chạm đất tới gốc cây là . Tính chiều cao ban đầu của cây tre (làm tròn đến cm).
Lời giải
Gọi các điểm như trên hình vẽ, khi đó ta có chiều cao ban đầu của cây tre là .
Trong tam giác vuông có: .
.
Vậy chiều cao ban đầu của cây tre là .
(3 điểm) Cho tam giác vuông tại . Đường cao . Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và .
a) Gỉa sử , . Tính độ dài , và góc , góc .
b) Chứng minh: và .
c) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại . Chứng minh rằng: là trung điểm của đoạn .
Lời giải
a) Xét tam giác vuông tại có: AH là đường cao
 (cm).
 (cm)
.
.
b) Xét tam giác vuông tại , là đường cao 
Xét tam giác vuông tại , là đường cao 
Từ và suy ra 
Xét tứ giác có: là hình chữ nhật.
Xét tam giác vuông tại , là đường cao ta có: 
Xét tam giác vuông tại , là đường cao ta có: 
Xét tam giác vuông tại có: 
Từ và suy ra .
c) Theo câu a) ta có .
Xét tam giác và tam giác có:
Mà (cùng phụ với góc )
 cân tại .
Chứng minh tương tự ta có cân tại .
Từ và suy ra .
Bài 6:. (0,5 điểm) Giải các phương trình 
Lời giải
Cách 1: Điều kiện: 
Mà . Thử lại ĐKXĐ 
Vậy 
Cách 2: 
Đặt , Ta có: 
Do đó 
, 
Vậy phương trình có nghiệm .
ĐỀ 8: Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
1) . 2) . 3) .
Câu 2.(1,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1) . 2) . 3) .
Câu 3.(2,5 điểm) Cho hai biểu thức: và với .
1) Tính giá trị của tại . 2) Chứng minh rằng: .
3) Tìm là số nguyên để là số nguyên. 4) Cho . Tìm GTNN của .
Câu 4.(1,0 điểm) Tháp Pisa ở Ý là một trong những địa điểm du lịch rất nổi tiếng. Năm 2019 tòa tháp trong 864 tuổi và người 
ta đo được độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là . Khi thả một quả cầu bằng đá rơi theo 
phương thẳng đứng từ đỉnh tháp (bỏ qua lực cản không khí, gió), người ta đo được điểm rơi cách chân tháp 
3,92 m. Tính khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 
Câu 5.(3 điểm) Cho tam giác vuông tại , đường cao. Biết 
1) Tính độ dài .
2) Gọi là trung điểm của .Kẻ tại . cắt tại , cắt tại .Chứng minh .
3) Chứng minh : và là trung điểm của . 
Câu 6.(0,5 điểm) Giải phương trình: .
Hướng dẫn
Câu 1.	 (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
1) . 2) . 3) .
Lời giải
1) .
2) .
3) 
.
Câu 2.	 (1,5 điểm) Giải các PT sau:
1) . 2) . 3) .
Lời giải
1) (Điều kiện : )
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm 
2) 
Điều kiện: .
Ta có: 
 (thỏa mãn) . Vậy phương trình có tập nghiệm 
3) . Điều kiện: .
PT tương đương:
( Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm .
Câu 3.	 (2,5 điểm) Cho hai biểu thức: và với .
1) Tính giá trị của tại . 2) Chứng minh rằng: .
3) Tìm là số nguyên để là số nguyên. 4) Cho . Tìm GTNN của .
Lời giải
1) Thay (TMĐK) vào biểu thức , ta có: . Vậy tại .
2) với 
.
3) Ta có: 
Với mọi thỏa mãn ĐKXĐ: 
Ta có: mà nguyên nên (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thì M nhận giá trị nguyên.
4) 
Do với mọi nên Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
Dấu “=” xảy ra .
Câu 4.Tháp Pisa ở Ý là một trong những địa điểm du lịch rất nổi tiếng. Năm 2019 tòa tháp trong 864 tuổi và người ta đo được độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là . Khi thả một quả cầu bằng đá rơi theo phương thẳng đứng từ đỉnh tháp (bỏ qua lực cản không khí, gió), người ta đo được điểm rơi cách chân tháp 3,92 m. Tính khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 
Lời giải
Ta có mô tả như hình vẽ bên.
Xét vuông tại C có:
 Hay 
Suy ra: m
Vậy khoảng cách từ đỉnh tháp tới mặt đất là 56, 53 m.
Câu 5.	 (3 điểm) Cho tam giác vuông tại , đường cao. Biết .
1) Tính độ dài .
2) Gọi là trung điểm của .Kẻ tại . cắt tại , cắt tại .Chứng minh .
3) Chứng minh : và là trung điểm của . 
Lời giải
1) Xét vuông tại A: Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông ta có: .
Xét vuông tại ; đường cao 
Áp dụng HTL trong tam giác vuông ta có:.
.
2) Gọi là trung điểm của .Kẻ tại . cắt tại , cắt tại Chứng minh .
 Xét tam giác vuông , đường cao ta có: 
Xét tam giác vuông , đường cao ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra : .
3) Chứng minh : và là trung điểm của . 
Xét tam giác vuông , đường cao ta có: 
Xét tam giác vuông , đường cao ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra : .
Xét tam giác vuông tại , có đường trung tuyến 
 cân tại 
Ta lại có: (cùng phụ ) (4)
(cùng phụ ) (5). Từ (3), (4) và (5) suy ra: hay 
Suy ra: cân tại 
Ta lại có: ( cùng phụ 2 góc bằng nhau )
Suy ra: cân tại Từ (6) và (7) suy ra: .
Suy ra : là trung điểm của . (đpcm)
Câu 6.	 (0,5 điểm) Giải phương trình: .
Lời giải
Đkxđ: .
Vậy phương trình có nghiệm : .