Bộ đề ôn học sinh giỏi toán 8

ĐỀ I
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: M = 
a) Rỳt gọn 
b) Tỡm giỏ trị bộ nhất của M .
Bài 2: (2 điểm) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn A = 
Bài 3: (2 điểm) Giải phương trỡnh :
x2 - 2005x - 2006 = 0
 + + = 9
Bài 4: (3 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E là 1 điểm trờn cạnh BC. Qua E kẻ tia Ax vuụng gúc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giỏc AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh :
AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi .
AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
Khi E thay đổi trờn BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giỏc EKC khụng đổi .
Bài 5: (1 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ³ x.‏‎y + x + y ‏‎( với mọi x ;y)
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 
ĐỀ II
Bài 1: Cho biểu thức: A=
a) Tỡm giỏ trị của biểu thức A xỏc định.
b) Tỡm giỏ trị của biểu thức A cú giỏ trị bằng 0.
c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn.
Bài 2: a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A= với x > 0.
	b) Giải phương trỡnh:ữ x+1ữ +ữ 2x-1ữ + 2x =3
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD cú diện tớch S. Gọi K, L, M, N lần lượt là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh AB, BC, CD, AD sao cho AK/ AB = BL / BC = CM/CD = DN/DA= x.
a) Xỏc định vị trớ cỏc điểm K,L,M,N sao cho tứ giỏc MNKL cú diện tớch mhỏ nhất.
b) Tứ giỏc MNKL ở cõu a là hỡnh gỡ? cần thờm điều kiện gỡ thỡ tứ giỏc MNKL là hỡnh chữ nhật.
Bài 4: a) Tỡm dư của phộp chia đa thức x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
	b) Cho 3 số x,y,z Thoó món x.y.z = 1. Tớnh biểu thức M = 
ĐỀ III
Bài 1: (3đ). 
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
A = x3 +8x2 + 19x +12 . 	 B = x3 +6x2 +11x +6 .
Rỳt gọn phõn thức: 	 .
Bài 2: (3đ).
1) Cho phương trỡnh ẩn x:	
Giải phương trỡnh với a = 4.
Tỡm cỏc giỏ trị của a sao cho phương trỡnh nhận x = -1 làm nghiệm.
2) Giải bất phương trỡnh sau: 	2x2 + 10x +19 > 0.
Bài 3: (3đ). Trong hỡnh thoi ABCD người ta lấy cỏc điểm P và Q theo thứ tự trờn AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD, K là giao điểm của DP và BI, O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh AD = AI, cho biết nhận xột về tam giỏc BID và vị trớ của K trờn IB.
Cho Bvà D cố định tỡm quỹ tớch của A và I.
Bài 4: (1đ).
Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh sau: yx2 +yx +y =1.
 b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: B = với x # 0 
 ĐỀ IV
Bài 1: Cho biểu thức: A = 
Tỡm điều kiện của x để biểu thức xỏc định.
Rỳt gọn biểu thức A.
Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 2: 
a) Giải phương trỡnh: 
b) Tỡm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
Bài 3:
Cho hỡnh thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trờn đỏy lớn AB. Từ M kẻ cỏc đường thẳng song song với hai đường chộo AC và BD. Cỏc đường thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thỡ H cũng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hóy chỉ ra vị trớ của M trờn AB sao cho EJ = JI = IF.
Bài 4: Cho a ³ 4; ab ³ 12. Chứng minh rằng C = a + b ³ 7 
ĐỀ V
Bài 1:
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:
a) x2 – x – 6
b) x3 – x2 – 14x + 24
Bài 2: Cho đa thức : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a) Phõn tớch P(x) thành nhõn tử.
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z.
Bài 3:
Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 với m, n Z.
Bài 4: 	Cho a > b > 0 so sỏnh 2 số x , y với: x = ; y =
Bài 5: 	Giải phương trỡnh: + + = 14
Bài 6: 	Trờn cạnh AB ở phớa trong hỡnh vuụng ABCD dựng tam giỏc AFB cõn , đỉnh F cú gúc đỏy là 150 . Chứng minh tam giỏc CFD là tam giỏc đều.
ĐỀ VI
Bài 1:
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: A = ( x2 - 2x)(x2 - 2x - 1) - 6
b) Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Bài 2: Cho x,y,z 0 thoả món x + y + z = xyz và + + =
Tớnh giỏ trị của biểu thức P =
Bài 3: Tỡm x biết
a) < 5x -4
b) + =
Bài 4:
a) Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b) Cho x, y, z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.
1.	Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo .
2.	Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM
3.	Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 6: Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đú p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú.
ĐỀ VII
Bài 1:	a. Cho: 3y-x=6 Tớnh giỏ trị biểu thức: A=
b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh :
Bài 2:	a. Tỡm x,y,x biết :
b.Giải phương trỡnh : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Bài 3:	a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 khụng là số chớnh phương với mọi x Z+
Bài 4:	Cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AA’ ;BB’;CC’ Cú trực tõm H
a) Tớnh tổng :
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC IM; IN thứ tự là phõn giỏc của cỏc gúc AIC; AIB(M AC;N AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
c) Tam Giỏc ABC thỏa món Điều kiện gỡ thỡ biểu thức :
đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 5:	 Chứng minh rằng nếu a,b,c là cỏc số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thỡ
(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bỡnh phương của số hữu tỉ.
ĐỀ VIII
Bài 1: Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn
Bài 2: Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3:	a) Giải phương trỡnh:
b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Bài 4:
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Bài 5:
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6+3x2+1=y3
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM I
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
M = x4+1-x2) = 
b
Biến đổi : M = 1 - . M bộ nhất khi lớn nhất x2+1 bộ nhất x2 = 0 x = 0 M bộ nhất = -2 
2
Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 + A Z ẻ Z x-3 là ước của 4 
 x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7
3
a
Phõn tớch vế trỏi bằng (x-2006)(x+1) = 0(x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1; x2 = 2006
b
Xột pt với 4 khoảng sau :x< 2; 2 x < 3; 3 x < 4; x 4 
Rồi suy ra nghiệm của phương trỡnh là : x = 1; x = 5,5
4
a
 ABE = ADF (c.g.c) AE = AF
 AEF vuụng cõn tại tại A nờn AI ^ EF .
 IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .
Tứ giỏc EGFK cú 2 đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuụng gúc nờn hỡnh EGFK là hỡnh thoi .
b
Ta cú: = ACF = 450 , gúc F chung
 AKI ~ CAF (g.g) 
c
Tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE 
Chu vi tam giỏc EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Khụng đổi) .
5
a
x2+y2+1 ³ x.‏‎ ‏‎y+x+y Û x2+y2+1 - x.‏‎ ‏‎y-x-y ³ 0 Û 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y³ 0 Û ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) ³ 0Û (x-‏‎y)2 + (x-1)2+ (‏‎‎ y- 1)2³ 0
Bất đẳng thức luụn luụn đỳng.
b
Ta cú A = 
Vậy Amax Û [ ( x+ min Û x+ = 0 → x = - 
Amax là khi x = -1/2
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM II
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
Ta cú A=. Vậy biểu thức A xỏc định khi xạ3,xạ1/3
b
Ta cú A= do đú A=0 3x +4=0 x=-4/3 thoó món đk 
Vậy với x=-4/3 thỡ biểu thức A cú giỏ trị bằng 0 
c
Ta cú A= = 1+ 
Để A cú giỏ trị nguyờn thỡ phải nguyờn 3x-1 là ước của 5 3x-1ạ±1,±5
 =>x=-4/3;0;2/3;2
Vậy với giỏ trị nguyờn của xlà 0 và 2 thỡ A cú giỏ trị nguyờn 
2
a
Ta cú 
A==x+ +25 
Cỏc số dương x và Cú tớch khụng đổi nờn tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 
x=12 
Vậy Min A =49 x=12
b
TH1: nếu xx=-3<-1(là nghiệm )
TH2: Nếu -1Êx<1/2 thỡ ta cú 
x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(loại )
TH3: Nếu x³1/2ta cú 
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (loại)
Vậy phương trỡnh đó cho x=-3
3
a
Gọi S1,,S2, S3, S4 lần lượt là diện tớch tam giỏc AKN,CLM,DMN và BKL.
Kẻ BB1^AD; KK1^AD ta cú KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB
SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD
Tương tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S 
Tương tự S3+S4= x(1-x)S
S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S 
SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S³1/2S
Vậy SMNKL đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 1/2S khi x=1/2 khi đú M,N,K,L lần lượt là trung điểm cỏc cạnh CD,DA,AB,BC 
b
Tứ giỏc MNKL ở cõu a là hỡnh bỡnh hành 
Tứ giỏc MNKL ở cõu a là hỡnh chữ nhật khi BD^AC 
4
a
Gọi Q(x) là thương của phộp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 ta cú x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*) trong đú ax+b là dư của phộp chia trờn
Với x=1 thỡ(*)=> 11=a+b 
Với x=-1 thỡ(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7
Vậy dư của phộp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7
b
Vỡ xyz = 1 nờn x 0, y0, z0 
M = 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM III
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
A = (x+1) ( x+3) (x +4) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) 
b
2
1
Phương trỡnh (1)
Điều kiện: x -2 và x a.
(1)x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a
 – a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x
 - (a - 2)2 = 2(a - 2)x (*)
Với a =4 thay vào (*) ta cú :
 4 =4x x=1 
Thay x= -1 vào (*) ta được.
 (a – 2 )2 + (a - 2)= 0 (a - 2) (a – 2 + 2) = 0 a = 0 h a = 2 
2
Giải bất phương trỡnh :
 2x2 + 10x + 19 > 0 (1)
Biến dổi vế trỏi ta được.
 2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7
 = 2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7
 = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7
 = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 luụn lớn hơn 0 với mọi x 
Nờn bất phương trỡnh (1) Nghiệm đỳng với x . 
3
a
Xột tam giỏc IDQ cú: AP = DQ Và AP // DQ 
Theo định lý Ta Lột trong tam giỏc ta cú: 
Tam giỏc BID là tam giỏc vuụng tại B vỡ AO DB và AO là đường trung bỡnh của BID 
Điểm K là trung điểm của IB. (Do DK là đường trung tuyến của BID ) . 
b
Với B và D cố định nờn đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định.
Mặt khỏc AC BD , BI DB và vai trũ của A và C là như nhau . Nờn quỹ tớch của A là đường thẳng đi qua O và vuụng gúc với BD trừ điểm O.Quỹ tớch của điểm I là đường thẳng đi qua B và vuụng gúc với BD trừ điểm B. 
Đảo: Với A và I chạy trờn cỏc đường đú và AD = AI .Thỡ AP = AB và CQ = CD.
Thật vậy : Do AP // DQ suy ra mà AB = CD ĐPCM. 
4
a
y x2 + y x + y = 1 . (1)
Nếu phương trỡnh cú nghiệm thỡ x ,y > 0.
y(x2 + x +1) = 1 y = 1 h x2 + x +1 =1 y = 1 , x= 0
Vậy nghiệm của phương trỡnh trờn là (x,y) = (0 ,1). 
b
B = với x # 0 Theo BĐT Cụsi ta giải và tỡm được B max = 1/2 thỡ x = 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM IV
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
Điều kiện: 
b
A = = 
c
Ta cú: A nguyờn (x + 2006) 
Do x = khụng thoó món đk. Vậy A nguyờn khi x = 
2
a
Ta cú: 
 (2006 - x) = 0 x = 2006
b
Thiện phộp chia đa thức, rồi từ đú ta tỡm được: 
3
a
Ta cú: (1) (2) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra hay FI.FJ = EI.EJ (4)
Nếu H là trung điểm của IJ thỡ từ (4) ta cú: 
b
Nếu AB = 2CD thỡ nờn theo (1) ta cú 
suy ra: EF = FI + IE = 3FI. Tương tự từ (2) và (3) ta cú EF = 3EJ.
Do đú: FI = EJ = IJ = khụng liờn quan gỡ đến vị trớ của M. Vậy M tuỳ ý trờn AB
4
Ta cú: C = a + b = ( (ĐPCM)
ĐỀ V
Bài 1: 
	Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:
	a) x2 – x – 6 
	b) x3 – x2 – 14x + 24	
Bài 2: Cho đa thức : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a) Phõn tớch P(x) thành nhõn tử.
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z.
Bài 3:
	Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 với m, n Z.
Bài 4: 	Cho a > b > 0 so sỏnh 2 số x , y với: x = ; y = 
Bài 5: 	Giải phương trỡnh: + + = 14
Bài 6: 	Trờn cạnh AB ở phớa trong hỡnh vuụng ABCD dựng tam giỏc AFB cõn , đỉnh F cú gúc đỏy là 150 . Chứng minh tam giỏc CFD là tam giỏc đều. 
ĐỀ VI
Bài 1:
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: A = ( x2 - 2x)(x2 - 2x - 1) - 6 
b) Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 
Bài 2: Cho x,y,z 0 thoả món x + y + z = xyz và + + = 
Tớnh giỏ trị của biểu thức P = 
Bài 3: Tỡm x biết
a) < 5x -4
b) + = 
Bài 4:
a) Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b) Cho x, y, z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 6: Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đú p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú.
ĐỀ VII
Bài 1:	a. Cho: 3y-x=6 Tớnh giỏ trị biểu thức: A= 
b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. Chứng minh : 
Bài 2:	a. Tỡm x,y,x biết : 
 	b.Giải phương trỡnh : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Bài 3:	a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 khụng là số chớnh phương với mọi xZ+
Bài 4:	Cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AA’ ;BB’;CC’ Cú trực tõm H
a) Tớnh tổng : 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC IM; IN thứ tự là phõn giỏc của cỏc gúc AIC; AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
c) Tam Giỏc ABC thỏa món Điều kiện gỡ thỡ biểu thức : 
đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 5:	 Chứng minh rằng nếu a,b,c là cỏc số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thỡ 
 (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bỡnh phương của số hữu tỉ. 
ĐỀ VIII
Bài 1: Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn
Bài 2: Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3:	a) Giải phương trỡnh: 
 	b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Bài 4:
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của Dk và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Bài 5:
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6+3x2+1=y3
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM V
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
Ta có: x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)
	( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tương đương )
b
Ta có: x = 2 là nghiệm của f(x) = x3 – x2 – 14x + 24
Do đó f(x) x – 2, ta có: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12
Vậy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)
Ta lại có: x = 3 là nghiệm của x2 + x – 12 
Nên x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)
Như vậy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .
2
a
P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x + 6
= (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
b
P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3) 
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) (Đfcm).
3
Ta có : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1) = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5).
Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120.
4
Ta có x,y > 0 và 
Vì a> b > 0 nên và . Vậy x < y.
5
1/. Xét khoảng x < -2 ,ta có: -3x + 2 = 14x = - 4.
2/. -2 x < 1, ta có : -x + 16 = 14 x = 2. (loại)
3/. 1 x < 3, ta có : x + 4 = 14 	 x = 10 (loại).
4/. x 3 , ta có: 3x – 2 = 14 x = 
Vậy phương trình trên có nghiệm là x = - 4 và 	x = .
6
Dựng tam giác cân BIC như tam giác AFB có góc đáy 150 . 
Suy ra : (1) .
Ta có (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).
Từ (1) và (2) suy ra : đều .
Đường thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: = 300 ( góc ngoài của ).
Suy ra: = 900 ( vì = 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH là đường trung trực của . Vậy cân tại C . Suy ra : CF = CB (3)
Mặt khác : cân tại F . Do đó: FD = FC (4).
 Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
 Vậy đều.
 GiảI bằng phương pháp khác đúng cho điểm tương đương.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM VI
Cõu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thỡ x2 -2x -1 = a-1 
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) 
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 
A chia hết cho x4 + x2 + 1 
.1đ
1đ
1đ
1đ
Cau 2 :(2đ
Cú (= + 2(
(= p + 2 vậyP+2=3
suy ra P = 1
0.75đ
0,75đ
0.5đ
Cõu 3: (3đ)
 giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đỳng được x> 3 
b, Cộng 1 vào mỗi phõn thức rồi đặt nhõn tử chung 
(x+100)() = 0 S = 
1đ
0.5đ
1đ
0.5đ
Cõu 4:
3đ
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vỡ tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 
 x = ; y = ; z= 
P = = = 
 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
1đ
Cõu 5: (2đ)
+ Hai tam giỏc ADC và BEC cú: 
 Gúc C chung. 
 (Hai tam giỏc vuụng CDE và CAB đồng dạng)
 Do đú, chỳng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra:BEC=(vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn tại H theo giả thiết).
Nờn do đú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A.
 Suy ra: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
b)
2đ
Ta cú: (do~)
mà (tam giỏc AHD vuụng võn tại H)
nờn (doABH Đồng dạng CBA)
Do đú BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
 suy ra: 
0,5đ
1đ
0,5đ
c)
2đ
Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A, nờn tia AM cũn là phõn giỏc gúc BAC.
Suyra: , 
vỡ~nờn (DE//AH)
Do đú: 
1đ
1đ
Cõu 6
Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta cú 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vỡ p là số nguyờn tố nờn:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả món)
Hoặc: a2+a+1 =2 điều này khụng xảy ra vỡ a >1
Vởy trong cỏc số tự nhiờn cú dang 2p+1 (p là số nguyờn tố) chỉ cú 1 số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.
1đ
0,5đ
0,5đ
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM VII
Bài
 Nội dung
Bài1
a)
2đ
b)
2đ
 3y-x=6 x=3y-6 
Thay vào ta cú A=4
Vỡ: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. 
Đặt : chứng minh bài toỏn
Nếu x+y+z=0 thỡ: x3+y3+z3=3xyz đpcm
Bài 2:
a)
1,5đ
b)
1,5đ
=0
phươngtrỡnh: 
2x(8x-1)2(4x-1)=9 
đặt :64x2-16x+0,5=k
Ta cú pt : (k+0,5)(k-0,5)=72
Với k=8,5 Ta cú x= 
Với k=-8,5 phương trỡnh vụ nghiệm 
Vậy phương trỡnh cú 2nghiệm x=-1/4và x=1/2
Bài 3
a)
1.5đ
b)
1.5đ
cú: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5) = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) 
vỡ a nguyờn nờn a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tớch 5 số nguyờn liờn tiếp nờn(2) 
5a(a-1)(a+1)là tớch của 3số nguyờn liờn tiếp với 5 nờn chia hết cho 30
Từ (1); (2) suy rađpcm
b,Từ bài toỏn trờn ta cú: x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2 x5-x+2 cú tận cựng là 2 hoạc 7 (khụng cú số chớnh phương nào cú tận cựng là 2hoặc 7) 
Vậy: x5-x+2 khụng thế là số chớnh phương với mọi x
Cõu4
2đ
đặt A= = = = 
tacú x+ >0 Nờn A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
cõu 5
a)
b.
c)
Ta cú : (1)
Tương Tự: (2)
(3) 
Từ (1); (2); (3) ta cú: =
b) ỏp d ụng tớnh chất đường phõn giỏc vào cỏc tam giỏcABC, abi, aic: suy ra 
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ 
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD 
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 
 Tức tam giỏc ABCđều
Cõu6
2đ
 cú 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) 
Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c)
 1+c2=(b+c)(a+c) 
đpcm 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM VIII
BÀI
NỘI DUNG
Bài 1
a)
b)
c)
A= ĐKXĐX{0;1;-1}
A=
A=
Tacú:1-A=>0 khi x-1<0 suy ra x<1
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta cú:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1
A= 1+
Vỡ x nguyờn nờn x-1 nguyờn để A là số nguyờn thỡ x-1là ước của 1
Hoặc x-1=1 suy ra x=2
Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)
 Vởy x=2 là giỏ trị cần tỡm
Bài 2:
Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vỡ a2+b2+c2=1
Nếu abc >0 ta cú:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1
A=(a+b+c+1)2+abc(1)
Nếu: abc<0 ta cú:
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc
Biến đổi được :A=(1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)
Vỡ ỡ a2+b2+c2=1nờn -1 nờn (1+a)(1+b)(1+c)
Và -abc nờn A (2)
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)
Bài 3:
a)
b)
Biến đổi phương trỡnh về:
Đkxđ: y {3; }
3y+1=-2y+6
y=1(thoả món) vậyphương trỡnh cú nghiệm duy nhất y=1
Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 
(x2-2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là cỏc số nguyờn nờn b=-2; c=5
Khi đú P(1) =12-2.1+5 =4
Bài 4:
b)
Chứng minh Tam Giỏc BEC đồng dạngTam giỏc DCM
 theo tỉ số 1/2
Từ đú chứng minh:CK=ED (1)
EB=BC (2) 
=1350 (3)
từ: (1);(2);(3)suy ra: 
Chứng minh tứ giỏc DEKM là hinhchữ 
nhật 
Suy ra tam giỏc CKM vuụng cõn tại M 
H là trung điểm củaCM
AI//DM (cựng vuụng gúc với DE) HI//DM (T/c đường trung bỡnh) nờn A; ;I;H thẳng hàng (1)
Cỏc tam giỏc CIH; CHK vuụng cõn tại Cvà H nờn KH= CI =DI
Mà DI//KH nờn tứ giỏc DIKH là hỡnh bỡnh hành
Lại cú tứ giỏc DEKM là hỡnh chữ nhật
Do đú EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK 
vậy: GIH (2)
Tử (1); (2) ta cú A;I;G;H thẳng hàng
Bài 5:
Với x≠ 0 ta cú 3x4>0; 3x2>0 ta cú
(x2)3 <y3<(x+1)3 nờn phương trỡnh vụ nghiệm
Với x=0 ta cú y3=1 suy ra y=1
Phương trỡnh cú nghiệm nguyờn duy nhất(x;y)=(0;1)
ĐỀ IX
Bài 1: 
	a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c. Chứng minh a3 + 2c = 3ab
	b/ Với giỏ trị nào của x thỡ phõn thức sau bằng 0? P = 
Bài 2: Cho biểu thức: Q = 	
a/ Rỳt gọn Q.
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của a để Q đạt giỏ trị nguyờn.	
Bài 3: Giải phương trỡnh: 	
Bài 4: Cho tam giỏc ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H. Chứng minh: 
Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD . M là điểm tựy ý trờn đường chộo BD .Kẻ ME vuụng gúc với AB, MF vuụng gúc với AD.
a/ Chứng minh DE = CF, DE vuụng gúc với CF.
b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.
c/ Xỏc định vị trớ điểm M trờn BD để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
ĐỀ X
Bài 1: a/ Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:x5 – 5x3 + 4x
b/ Cho a + b = 1. Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
Bài 2: a/ Cho a;b;c 0, a + b + c =1 và = 0
 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1
b/ Giải phương trỡnh: 	
Bài 3: Cho biểu thức: M = 
a/ Tỡm điều kiện xỏc định của biểu thức M.
b/ Rỳt gọn biểu thức M.
c/ Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x;y) để biểu thức M cú giỏ trị bằng 3.
Bài 4: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chộo AC, BD. Chứng minh rằng: 
a/ Diện tớch tam giỏc AOD bằng diện tớch tam giỏc BOC.
b/ Tớch của diện tớch tam giỏc AOB và diện tớch tam giỏc COD bằng bỡnh phương diện tớch tam giỏc BOC.
ĐỀ XI
Bài 1: a) Xỏc định a để cho đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
	b) Tỡm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2: a) Cho biểu thức: P = 
	Rỳt gọn rồi chứng minh P khụng õm với mọi giỏ trị cuả x.	 
b) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thỡ a = b = c
Bài 3: a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:
	A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
	b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giỏc thỡ A > 0
Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc A,B,C,D của hỡnh bỡnh hành lần lượt cắt nhau tại E,F,G,H.
	a) Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
	b) Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề một đỉnh của hỡnh bỡnh hành ABCD.
	c) Hỡnh bỡnh hành ABCD cần cú thờm điều kiện gỡ để EFGH là hỡnh vuụng? 
ĐỀ XII
Bài 1: Cho biểu thức: M = : 
 a. Rỳt gọn M
 b.Tỡm x nguyờn để M đạt giỏ lớn nhất.
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0.
Bài 3:
 a. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
 b. Cho cỏc số x,y,z thỏa món đồng thời: x + y + z = 1: x+ y+ z= 1 và x+ y+ z= 1.
 Tớnh tổng: S = x+y+ z
Bài 4:
 a. Giải phương trỡnh: + + = 
 b. Giải phương trỡnh với nghiệm là số nguyờn: 
 x( x + x + 1) = 4y( y + 1).	
Bài 5:
 Cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
Tớnh tổng: 
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chứng minh: H cỏch đều ba cạnh tam giỏc DEF.
Trờn cỏc đoạn HB,HC lấy cỏc điểm M,N tựy ý sao cho HM = CN. 
 Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luụn đi qua một điểm cố định.
ĐÁP ÁN IX
Cõu
í
Nội dung
Điờm
1
a
a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 	
3ab = 3(x + y)(x2 + y2) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 	
Vậy: a3 + 2c = 3ab
b
Biến đổi được P = 
Lý luận được mẫu thức > o với mọi x. 
P = 0 (x +1)2(x2 - x + 1) = 0 (x +1) = 0 x = -1 
2
a
Biến đổi Q = = (a-2; a -) 
Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b
Q nguyờn a + 2 là ước của 2 a+2 a 
3
 (x-2008)	
Vỡ 	
Nờn x -2008 = 0 x = 2008	
Vậy S = 	
4
5
a
C/m AEMF là hỡnh chữ nhật suy ra MF = AE
C/m ∆MFO vuụng cõn tại F suy ra MF = FD
Suy ra AE = FD 	
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF 
ADE =DCF
ADE+EDC = 900
DCF+EDC = 900 	
CF DE	
b
C/m tương tự